讓“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)成為圓錐曲線中解題的利器

龍 耒 楊 莉

(湖北省宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)，湖北 宜昌 443000)

讓“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)成為圓錐曲線中解題的利器

龍 耒 楊 莉

(湖北省宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)，湖北 宜昌 443000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂)》擬將提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它將與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想一起構(gòu)成高中數(shù)學(xué)的“四基”.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，形成創(chuàng)新能力，就應(yīng)該讓學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).而積累經(jīng)驗(yàn)的目的就是為了更好地運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中形成的“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)，就應(yīng)該成為圓錐曲線中解題的利器.

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);定義優(yōu)先

[文1]指出，所謂數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí).人教A版教材將圓錐曲線的統(tǒng)一定義作為閱讀材料呈現(xiàn)給學(xué)生，顯然新課標(biāo)降低了對(duì)統(tǒng)一定義的要求，也大大降低了學(xué)習(xí)的難度，這樣反而凸顯了第一定義的重要性.本文所講述的定義就是指圓錐曲線的第一定義.本文通過(guò)幾個(gè)案例解決兩個(gè)問(wèn)題，一是如何讓學(xué)生形成“定義優(yōu)先”的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；二是如何利用“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解題.

一、獲得經(jīng)驗(yàn)

人教A版2-2教材設(shè)計(jì)三個(gè)問(wèn)題情境，通過(guò)具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，分別得到橢圓、雙曲線和拋物線的定義.在前兩個(gè)問(wèn)題情境中，學(xué)生可以通過(guò)動(dòng)手操作，畫出橢圓和雙曲線.第三個(gè)問(wèn)題情境學(xué)生運(yùn)用幾何畫板畫出拋物線.在這三個(gè)問(wèn)題情境中，學(xué)生參與的就是數(shù)學(xué)基本活動(dòng).根據(jù)活動(dòng)得到的結(jié)論就是橢圓、雙曲線和拋物線的定義，這種體驗(yàn)一定會(huì)給學(xué)生留下深刻的印象.這就為后來(lái)在教師的引導(dǎo)下根據(jù)定義推導(dǎo)三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ).

案例1 (人教A版2-2 P49 A組第1題)

學(xué)生看到這個(gè)問(wèn)題后，會(huì)自然地聯(lián)想到用直接法求曲線的方程.于是，相當(dāng)一部分學(xué)生會(huì)模仿求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程，對(duì)原代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行變形和化簡(jiǎn)，從而得到點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)方程判斷出點(diǎn)M的軌跡是橢圓.當(dāng)學(xué)生解決完這個(gè)問(wèn)題后就會(huì)恍然大悟，自然會(huì)想起橢圓的定義.題目中的代數(shù)關(guān)系式可以轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系式：|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6，學(xué)生此時(shí)會(huì)運(yùn)用橢圓的定義直接得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，然后寫出曲線的方程.

案例2 (人教A版2-2 P49 A組第7題)

如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

案例3 (人教A版2-2 P62 A組第5題)

如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

學(xué)生在完成這兩個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中肯定會(huì)遇到困難，教師應(yīng)該幫助學(xué)生從題目中線段的垂直平分線的性質(zhì)入手，引導(dǎo)學(xué)生作出輔助線.

從而得到 |QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r>|OA|.(案例2)

|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=r<|OA| (案例3)

學(xué)生會(huì)根據(jù)這兩個(gè)幾何關(guān)系式，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義，得到點(diǎn)Q的軌跡分別是橢圓和雙曲線.

學(xué)生隨著對(duì)這些本質(zhì)相同、情景多樣的問(wèn)題的解決，所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)量也不斷增加，并逐步擺脫圓錐曲線的具體活動(dòng)情境，從中概括出這些具體活動(dòng)情景所具有的共同本質(zhì)特征：圓錐曲線的問(wèn)題，要優(yōu)先考慮定義，這樣思考不僅能快速找準(zhǔn)解題方向，而且所得到的結(jié)果也是最直接最簡(jiǎn)單的，并呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，以及化繁為簡(jiǎn)之神奇，從而使前面獲取的經(jīng)驗(yàn)逐步升華到更高的思維層次.

二、運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)

案例5 (人教A版2-2 P50 B組第2題)

一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線.

學(xué)生首先會(huì)作出圖形，然后通過(guò)圖形探究三個(gè)圓內(nèi)在的本質(zhì)關(guān)系.設(shè)所求動(dòng)圓的半徑為R，根據(jù)題意得

|PO1|=2+R，|PO2|=10-R,

∴|PO1|+|PO2|=2+R+10-R=12>|O1O2|=6.

部分學(xué)生會(huì)根據(jù)這個(gè)幾何關(guān)系式聯(lián)想到橢圓的定義，從而先得到動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓，然后求出橢圓的方程.學(xué)生會(huì)通過(guò)這個(gè)問(wèn)題再次體會(huì)“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)，并且會(huì)將這一經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)化，再遇到類似問(wèn)題，“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)會(huì)指導(dǎo)學(xué)生去解題.

設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為m，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為n， 半焦距長(zhǎng)為c.

令|PF1|=r1，|PF2|=r2，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得

r1+r2=2m，r1-r2=2n，則r1=m+n，r2=m-n

在△PF1F2中，由余弦定理得

即(m+n)2+(m-n)2-4c2=(m+n)(m-n),

此題抓住點(diǎn)P是橢圓和雙曲線的公共點(diǎn)，充分利用了橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理來(lái)建立等量關(guān)系，從而使問(wèn)題得到解決.

三、結(jié)束語(yǔ)

隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，學(xué)生們?cè)诮忸}中就會(huì)發(fā)現(xiàn)，“定義優(yōu)先”的經(jīng)驗(yàn)不僅僅在解決動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題時(shí)更加便捷，而且這種經(jīng)驗(yàn)會(huì)隨著學(xué)習(xí)的深入不斷得到升華.因?yàn)樗麄儠?huì)發(fā)現(xiàn)，任何圓錐曲線的問(wèn)題都不會(huì)脫離定義而存在，圓錐曲線的核心本質(zhì)就是定義.實(shí)際上也是如此，許多復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題，就是妙用圓錐曲線的定義，就可以化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.“定義優(yōu)先”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一定會(huì)成為學(xué)生解決圓錐曲線問(wèn)題的利器.

[1]張奠宙，竺仕芬，林永偉.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的界定與分類[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)．2008(5).

[2]牛川勇．圓錐曲線定義在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：高中數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(9).

G632

A

1008-0333(2017)22-0033-02

龍耒(1976.8-)，湖北宜昌人，中學(xué)一級(jí)教師，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).楊莉(1976.1-)，湖北宜昌人，中學(xué)一級(jí)教師，本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)．

責(zé)任編輯：楊惠民]