巧借“模型”，搭建數(shù)學素養(yǎng)提升的橋梁

潘倩萍

摘 要：借助模型來教學，教師需要借助其直觀形象性，使學生能接受教師的教學；同時要在生活中尋找實例來豐富模型，使他們感受到模型的生活價值所在；然后引導學生大膽尋找可以拓展的實例，增進學生創(chuàng)新與應用模型的意識；最后要引導學生從內心認同模型的意義，培養(yǎng)積極的學習態(tài)度。

關鍵詞：數(shù)學模型；學習素養(yǎng)；探究；志趣

有效的數(shù)學學習要實現(xiàn)“舉一反三”，即讓學生在數(shù)學學習中能夠觸類旁通，解決同類問題，為了達到這一效果，教師必須“授之以漁”。怎么實現(xiàn)“漁”的傳授？似乎一言難盡，學生接受了“漁”，能否高效率“捕魚”？好像也一片茫然……

近年來，對小學數(shù)學建模的討論越來越多，建模是實現(xiàn)有效學法指導的基礎。“數(shù)學建?！?，即把現(xiàn)實中的實際問題提煉、抽象為數(shù)學模型，求出模型的答案，檢驗其合理性，并用這個數(shù)學模型來解決現(xiàn)實生活中的問題。借助模型來教學，旨在搭建一座學生數(shù)學學習素養(yǎng)提升的橋梁，從知識與能力、過程與方法、情感與態(tài)度等多個角度促進學生學習品質的提高。

一、樹立意識，搭建模型與直觀之橋

很多同行認為數(shù)學規(guī)律本身是簡單的，課堂教學的重點應該放在規(guī)律的運用上，這就忽視了模型得出的過程，使數(shù)學知識建立在一知半解的基礎上，給學生今后的學習留下了憑感覺、想當然的陰影。比如算式5×3與3×5表示不同的意義，但由于乘法交換律的運用，學生就會將不同的意義模糊化甚至等同起來，如何防止知識的負遷移成為數(shù)學教師必須思考的問題。

其實對學生而言，數(shù)學規(guī)律背后的模型是非常重要的，建模使數(shù)學知識變得理性。由于小學生的認知離不開直觀形象思維，所以搭建模型與直觀之間的聯(lián)系非常有必要。

以人教版小學數(shù)學四年級下冊“乘法交換律”為例，我們可以出示一幅圖（如圖1），讓學生用不同的方法來列式求總數(shù)：圖中表示小明爸爸整齊地種了3行樹，每行5棵。用加法算是5+5+5=15（棵），用乘法算是5×3=15（棵）；如果從列的角度來分析，小明爸爸種的是5列樹，每列3棵，此時用加法算為3+3+3+3+3=15（棵），用乘法算為3×5=15（棵）。所以5×3與3×5表示的意義不一樣，但它們的結果是一樣的。在進行了幾次同類嘗試與比較后，教師可以把具體數(shù)字換成a與b，所以a×b=b×a（如圖2）。這樣的圖示，可以看成是乘法交換律的直觀模型，它只表示不同運算方式的結果相同，而其算式的意義是不一樣的。這樣就溝通了乘法的意義與乘法交換律之間的關系，甚至把加法與乘法之間的關系也清晰地表達出來了，使知識形成的軌跡非常清晰，避免了互相之間的干擾，促進了數(shù)學學習方式從只求結果到重視過程的轉變。

二、追根溯源，搭建模型與現(xiàn)實之橋

“建?！保鋵嵕褪菐椭鷮W生不斷經歷將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學模型的過程并進行解釋和運用。以下結合兩位教師利用同一素材教學“減法”的片段進行分析。

片段1

師：（出示兩幅圖）從這兩幅圖中，你看到了什么？

生1：我看到了圖上有7個小朋友在澆花，后來有3個小朋友走了，剩下還有4個小朋友。

師：你真棒！還可以怎么說？

生2：原來是7個小朋友一起在花園里，后來走掉3個小朋友，剩下的就只有4個小朋友了。

師：很好！那你說應該怎樣列式計算呢？

生：7-3=4。

教師豎起大拇指，然后板書，接著教學減號、被減數(shù)、減數(shù)、差等概念及算式的讀法。

片段2

師：（出示圖畫）請大家分別觀察兩幅圖，這兩幅圖的意思連起來表示什么呢？

生：我發(fā)現(xiàn)左邊圖上有7個小朋友在花園里，后來右邊的圖上走掉了3個，只剩下4個小朋友了。

師：嗯，你觀察得非常細心，那你能按這個意思提出一個問題嗎？

生：本來有7個小朋友在花園里澆花，后來走了3個，還剩下幾個？

師：對，現(xiàn)在我們用小三角形代表圖上的小朋友，把這個變化的過程擺一擺，看誰擺得又對又快。（教師巡視指導學生操作，然后請一位學生將小三角形擺在黑板上情境圖下面）

師：很好，如果有7個小朋友在公園里澆花，后來有3個小朋友走，剩下的是4個；同樣，我們如果有7個小三角形，拿掉其中的3個，剩下的也是4個，這兩種情況我們都可以用同一個算式表示——

生：7-3=4。

師：這里的7表示什么？3和4又表示什么呢？

……

師：真好！大家再想一想，7-3=4 還可以表示什么呢？請同桌互相說一說，然后我們進行全班交流。

生1：箱子里有7瓶礦泉水，喝掉3瓶，還剩4瓶。

生 2 ：樹林里有7只小松鼠在一塊兒玩，跑走了3只，還剩4只。

……

相比較而言，在上述第一個片段中，教師的教學停留在知識傳授的層面，就事論事，一覽無余。第二個片段除了能夠充分展示知識形成的過程之外，還能有機滲透數(shù)學建模，訓練學生從具體形象中抽象出數(shù)學知識的能力，并借助實際操作進行知識內化。還通過聯(lián)想讓知識進一步得到推廣與運用，使7-3=4有了更多的生活原型，體現(xiàn)了模型的意義。可見，讓學生在課堂上還原數(shù)學模型形成的過程，這將使數(shù)學真正走向生活化，與兒童的生活息息相關而充滿情趣。

三、未雨綢繆，搭建模型與拓展之橋

運用建模來進行小學數(shù)學教學，要為學生今后的學習提供有效的遷移手段，使之承上啟下，縱橫貫通。比如三年級“元角分”的教學。

師：你知道“0.6元”到底是多少錢嗎？

生：0.6元就是6角。

師：老師用一個長方形來表示1元 （多媒體展示），你能從這個長方形中涂出表示0.6元的那一塊嗎？

生：1元就是10角，把1元平均分成10份，每份正好是1角，所以6份正好就是6角。

師：對，那我們以前學過的知識中，有什么也是這樣把一個圖形平均分成多份，然后通過涂出其中的一部分來表示需要的那個數(shù)的呢？

生：分數(shù)。

師：對，0.6元用分數(shù)表示是多少元呢？

生：元。

師：太好了，原來 0.6 元就相當于元！現(xiàn)在老師還買了一塊橡皮，它的價格是 0.9元，那么0.9元是多少錢？如果我們現(xiàn)在再用這樣的長方形表示 1元，那 0.9元又該怎么涂呢？

師：接下來我們再來看看筆記本的價格，（出示圖）請看圖，你知道它的價格了嗎？剛才的小數(shù)是“零點幾”的，現(xiàn)在怎么成了“一點幾”了呢？

生：因為現(xiàn)在老師展示的有兩個長方形，第一個顏色是滿的，那它表示的是完整的1元。第二個長方形平均分成10份，其中涂色的正好是4份，表示4角，就是0.4元，這樣兩個長方形合起來表示的是1.4元……

上述教學過程緊緊圍繞小數(shù)與十進位分數(shù)間的聯(lián)系而展開教學，讓學生充分探索。借助直觀圖形，讓學生畫出了一位小數(shù)的模型，這種模型是小數(shù)與分數(shù)間轉換的憑據(jù)，也為后邊兩位、三位小數(shù)學習時的畫圖表示打下了基礎，所以具有很大的拓展功能，可見有效的建模教學能使數(shù)學知識框架化與系統(tǒng)化，有利于知識的歸類復習。

四、深入本質，搭建模型與志趣之橋

“興趣是最好的老師”，但志趣是興趣的高級階段，它是學習者對學習內容本身的興趣而引發(fā)的。借助建模，我們可以有效引導學生的數(shù)學學習興趣向志趣轉變。在教學“雞兔同籠”問題時，有位教師借助“三步走”實行了對“‘雞兔同籠為什么讓古今數(shù)學家著迷？”這一問題的有效引導。

第一步：激疑

“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里飼養(yǎng)，并且去數(shù)頭和腳的事嗎？我們的祖先為何要把 ‘雞兔同籠流傳至今？” （打出問題：“雞兔同籠”問題為什么讓古今數(shù)學家著迷？）——針對“原生態(tài)”的 “雞兔同籠”問題發(fā)問，部分學生一開始也認為這樣的問題想出來真是腦殘！但這種念頭很快被“流傳至今”的事實所掩蓋與碰撞，在認知沖突的引領下，學生積極參與探究。

第二步：釋疑

正當全班學生對老師提出的“為何著迷”一臉迷茫時，教師讓學生先研究 “蛙鵝同游”和 “人狗同行”這兩個問題。隨后，師生共同研究“李老師在信封里放著5元和2元的紙鈔，一共是8張，有34元，請問5元與2元各有幾張？”并討論這個問題和“雞兔同籠”問題有什么相似之處。通過比較，學生發(fā)現(xiàn)兩者有很多相同的地方，都需要求出甲乙兩類事物各有幾個。

第三步：釋懷

站在問題的“高點”再度回望探究之旅，學生總結感受之后，教師給予強化總結。至此，學生真切感受到了模型解決問題的好處：原來模型不僅是模型，而是為了解決一大片同類問題，實現(xiàn)數(shù)學學習的“牽一發(fā)而動全身”。模型正是這樣的數(shù)學寶典！

由此可見，借助模型開展數(shù)學教學，旨在使學習素養(yǎng)得到綜合全面的培養(yǎng)：引導學生認識到模型的直觀形象性，從心底能接受教師的教學；在生活中尋找實例來豐富模型，能使學生感受到模型的生活情趣性；引導學生進行大膽探究，尋找可以拓展的實例，感悟模型的應用廣泛性；在總結階段引導學生從內心認同模型的意義，可以培養(yǎng)積極的學習態(tài)度與情感。