帶有界干擾的LPV系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制綜合方法

賈自成，趙 敏

(上海理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程系, 上海 200093)

帶有界干擾的LPV系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制綜合方法

賈自成，趙 敏

(上海理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程系, 上海 200093)

針對帶有界干擾的多胞描述約束LPV系統(tǒng)，提出一種魯棒預(yù)測控制綜合方法，設(shè)計(jì)保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器。為減少計(jì)算的復(fù)雜性，采用線性矩陣不等式求解預(yù)測控制無窮時(shí)域最小-最大優(yōu)化問題，獲得狀態(tài)反饋控制律，將該控制率施加到系統(tǒng)，證明了算法的可行性和系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法有效性。

LPV系統(tǒng)；有界干擾；魯棒預(yù)測控制；LMI；閉環(huán)穩(wěn)定性

AbstractConsider a kind of polytopic described LPV system with bounded disturbances, a synthesis of robust model predictive control is proposed, which adopts a category of state feedback controller. In order to reduce the computational complexity, a stability guaranteed state feedback control law is achieved by solving the min-max optimization problem of the worst-case infinite time horizon cost function. And the proposed robust MPC algorithm can asymptotically stabilized the state-delayed LPV system. And an example proves the effectiveness of the algorithm.

KeywordsLPV system; bounded disturbances; robust MPC; LMI; closed-loop stability

模型預(yù)測控制(MPC)因能夠有效地處理系統(tǒng)輸入輸出和狀態(tài)約束問題而備受工業(yè)界青睞[1]。 然而由于被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，實(shí)際應(yīng)用中往往無法獲得精確描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，因此模型與系統(tǒng)的失配可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的控制性能變差，甚至不穩(wěn)定[2]。而魯棒預(yù)測控制就是解決此類問題的有效方法之一，其能夠在模型不確定的情況下獲得系統(tǒng)的最優(yōu)控制率，從而保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

近年來，魯棒預(yù)測控制器綜合的研究主要集中在保證穩(wěn)定性的前提下，如何降低在線計(jì)算量、提高控制性能和擴(kuò)大系統(tǒng)初始可行域[3-5]等幾個(gè)方面。文獻(xiàn)[6]中提出了針對多胞描述系統(tǒng)的無窮時(shí)域min-max優(yōu)化問題，運(yùn)用將無窮時(shí)域的控制輸入固定為唯一的狀態(tài)反饋律，并在線計(jì)算該反饋律的方法，較好地解決了多面體描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。由于凸多面體不確定系統(tǒng)與具有多胞形結(jié)構(gòu)的LPV系統(tǒng)的相似性，可以將凸多面體不確定系統(tǒng)的魯棒模型預(yù)測控制思想用于LPV系統(tǒng)的控制。

LPV系統(tǒng)可以描述很多實(shí)際系統(tǒng)在內(nèi)的非線性和時(shí)變特性，能夠用線性控制理論的方法解決非線性系統(tǒng)的問題。近幾年，有關(guān)線性變參數(shù)(LPV)系統(tǒng)的研究得到了控制界的高度關(guān)注。針對具有多胞形結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，文獻(xiàn)[7]給出了將一般LPV系統(tǒng)表示成多胞形結(jié)構(gòu)的方法。文獻(xiàn)[8]提出一種基于多面體不變集的魯棒模型預(yù)測控制(RMPC)算法。文獻(xiàn)[9]給出一種離線狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法來研究LPV系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[10]提出一種基于多面體描述系統(tǒng)的魯棒非線性模型預(yù)測控制策略。文獻(xiàn)[11]針對具有受限和有界擾動(dòng)的非線性系統(tǒng), 給出了 min-max 預(yù)測控制輸入狀態(tài)實(shí)際穩(wěn)定的充分條件。

本文針對一類帶有有界干擾的多胞描述約束LPV系統(tǒng)，以保證系統(tǒng)性能為目標(biāo)，給出一種魯棒預(yù)測控制綜合方法，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，采用線性矩陣不等式求解無窮時(shí)域魯棒預(yù)測控制最小-最大優(yōu)化問題，獲得狀態(tài)反饋控制律，并施加到系統(tǒng)。

1 問題描述

考慮如下帶有有界干擾的離散多胞描述LPV系統(tǒng)

x(k+1)=A(θk)x(k)+B(θk)u(k)+DW(k)y(k)=Cx(k)+Eu(k)

(1)

控制目標(biāo)：設(shè)計(jì)魯棒預(yù)測控制器，使系統(tǒng)在反饋控制律u(k+i|k)=Fx(k+i|k),?i≥0的作用下保證系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定。為獲得滿足性能要求的控制律，在每個(gè)時(shí)刻求解如下min-max優(yōu)化問題

i))，Θ>0,Ψ>0,分別為對稱正定加權(quán)矩陣。通過求解優(yōu)化問題(2)獲得一系列控制律，僅將當(dāng)前時(shí)刻的控制律施加到系統(tǒng)，在下一時(shí)刻將優(yōu)化問題滾動(dòng)進(jìn)行下去直到滿足控制要求[12]。當(dāng)系統(tǒng)存在較大干擾時(shí)，如果忽略干擾的影響，會(huì)使控制器設(shè)計(jì)的較為保守，無法達(dá)到更好的控制效果，因此本文提出了一種考慮干擾影響的LPV系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制綜合方法。

2 魯棒預(yù)測控制律綜合

為了便于計(jì)算，以目標(biāo)函數(shù)最差值的上界替代原目標(biāo)函數(shù)，首先對LPV系統(tǒng)(1)定義如下二次函數(shù)

V(x(k))=x(k)TPx(k),P>0

(3)

(4)

定理1在k時(shí)刻若存在正定矩陣Q，Y，γ>0，以及長矩陣F=YQ-1，使得如下線性矩陣不等式

(5)

(6)

同時(shí)成立，在反饋控制律u(k+i|k)=Fx(k+i|k)作用下，二次函數(shù)V(·)滿足如下約束條件

V(x(k+i+1|k))-V(x(k+i|k))≤ -(x(k+i|k)TQ1x(k+i|k)+u(k+i|k)TRu(k+i|k))

(7)

證明

二次函數(shù)V(x(k))=x(k)TPx(k),P>0等價(jià)于

滿足

x(k|k)TPx(k|k)≤γ

其中，γ>0定義Q=γP-1>0，根據(jù)引理1，等價(jià)于

滿足

將u(k+i|k)=Fx(k+i|k)和式(1)代入式(7)得

(8)

并且

w(k+i|k)Tw(k+i)≤x(k+i|k)Tx(k+i)

(9)

式(8)和式(9)成立，如果存在λ>0使得

(10)

將Q=γP-1,Q>0和Y=FQ代入式(10)，左右兩邊同乘以Q,根據(jù)引理1即可得到

(11)

因此式(7)就等價(jià)于式(11)。這樣問題就被轉(zhuǎn)化為

(12)

由于J(k)有界，因此當(dāng)i→∞時(shí)，x(i)→0，即V(∞)→0，因此將不等式(4)左右兩端從i=0→∞分別相加可得

-V(x(k|k))≤-J∞(k)

(13)

故目標(biāo)函數(shù)最大值將滿足如下不等式

(14)

綜上所述，可給出帶有狀態(tài)時(shí)滯和輸入約束的LPV系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制綜合方法。

算法1

(1)在k時(shí)刻，求解如下半定規(guī)劃問題

(15)

(2)將控制律u(k+i|k)=Fx(k+i|k)施加到LPV系統(tǒng)；

(3)令k=k+1，返回(1)，直到滿足控制要求。

3 閉環(huán)魯棒穩(wěn)定性分析

在根據(jù)算法1獲得最優(yōu)控制律后，給出算法的魯棒穩(wěn)定性分析。以二次函數(shù)(3)作為Lyapunov函數(shù)，并證明它是隨時(shí)間嚴(yán)格下降的，從而可以證明閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

引理2假設(shè)優(yōu)化問題(12)在k時(shí)刻是可行的，在式(12)中唯一與測量狀態(tài)x(k|k)=x(k)有關(guān)的LMI是

因此，為了證明(1)，僅需證明該LMI對未來的測量狀態(tài)x(k+i|k+i)=x(k+i)是滿足的。

由于

x(k+i+1|k)TPx(k+i+1)-x(k+1|k)TPx(k+i|k)≤-x(k+i|k)TQ1x(k+i|k)-u(k+i|k)TRu(k+i|k)<0

(16)

因此，

x(k+i+1|k)TPx(k+i+1|k)

(17)

考慮狀態(tài)在k+1時(shí)刻的測量值，則存在[A(k)B(k)]∈Ω使得

x(k+1|k+1)=x(k+1)= (A(k)+B(k)F)x(k|k)+D(k)W(k|k)

(18)

顯然x(k+1|k)TQ-1x(k+1)≤1必導(dǎo)致

x(k+1|k+1)TQ-1x(k+1|k+1)<1

所以式(12)在k時(shí)刻的可行解也是其在k+1時(shí)刻的可行解，類似地，針對k+2、k+3等，可以得到與之相同的結(jié)果，即優(yōu)化問題(12)是可行的。

定理2對于已知的干擾和約束條件，如果算法1在k時(shí)刻有可行解，則由算法1獲得的控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定。

證明假設(shè)優(yōu)化問題(12)在k=0時(shí)刻存在可行解，那么根據(jù)式(1)和式(12)在任何時(shí)刻k也存在可行解。在每個(gè)時(shí)刻k優(yōu)化問題(12)是凸優(yōu)化，存在唯一最優(yōu)解。在k+1時(shí)刻，由于P(k+1)是最優(yōu)解而P(k)僅僅作為可行解，所以下式成立

x(k+1|k+1)TP(k+1)x(k+1|k+1)≤x(k+1|k+1)TP(k)x(k+1|k+1)

(19)

又因?yàn)槭?13)成立，所以

x(k+1|k)TP(k)x(k+1|k)

(20)

x(k+1|k)是預(yù)測狀態(tài)而x(k+1|k+1)是實(shí)測狀態(tài)，因此式(19)導(dǎo)致

x(k+1|k+1)TP(k)x(k+1|k+1)

(21)

結(jié)合式(19)和式(20)得出

x(k+1|k+1)TP(k)x(k+1|k+1)

(22)

4 仿真驗(yàn)證

考慮文獻(xiàn)[15]中的LPV系統(tǒng)

xk+1=A(θk)xk+B(θk)uk+Dwk

滿足輸入約束|uk|≤5，其中

假設(shè)參數(shù)向量θk=[θk1,θk2]T在每個(gè)時(shí)刻 都能得到，并且滿足約束-1≤θk1≤1，系統(tǒng)初始狀態(tài)為x0=[-17.5,75],R=1,Q=[1 0；0 1]時(shí)，仿真結(jié)果如下圖所示。

圖1 控制輸入軌跡圖

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖1和圖2表明閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是有界的，而且控制輸入在每一時(shí)刻都是滿足約束條件的。在有界干擾的條件下，系統(tǒng)也是趨于穩(wěn)定的。綜上，仿真結(jié)果表明LPV系統(tǒng)對有界持續(xù)擾動(dòng)是狀態(tài)穩(wěn)定的。

5 結(jié)束語

針對帶有界干擾的多胞描述約束LPV系統(tǒng)，提出一種魯棒預(yù)測控制綜合方法，設(shè)計(jì)保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器。為了減少計(jì)算的復(fù)雜性，采用線性矩陣不等式求解預(yù)測控制無窮時(shí)域最小-最大優(yōu)化問題，獲得狀態(tài)反饋控制律，并施加到系統(tǒng)。證明了算法的可行性和系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法有效性。

[1] Peters Z. Polytopic decomposition of linear parameter-varying models by tensor-product model transformation [D]. Budapest: Budapest University of Technology and Economics,2006.

[2] 席裕庚.預(yù)測控制[M].北京: 國防科技出版社,2003.

[3] 席裕庚,李德偉.預(yù)測控制定性綜合理論的基本思路和研究現(xiàn)狀[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2008,34(10):1225-1234.

[4] 丁寶倉,楊鵬.基于標(biāo)稱性能指標(biāo)的離線魯棒預(yù)測控制綜合[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2006,32(2): 304-310.

[5] 丁寶倉,鄒濤.約束時(shí)變不確定系統(tǒng)的輸出反饋預(yù)測控制綜合[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2007,33(1): 78-83.

[6] Kothare M, Balakrishnan V, Morari M. Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities[J].Automatica,1996,32(10): 1361-1379.

[7] Kanev S,Verhaegen M.Roust asymptotically stablefinite-horizonMPC[J].Automatic,2006,42(12):2189-2194.

[8] 王明昊,劉剛,趙鵬濤,等.多胞約束LPV系統(tǒng)多面體不變集RMPC算法[J].控制與決策，2013,28(11):1661-1666.

[9] 趙敏.基于離線狀態(tài)觀測器的LPV系統(tǒng)預(yù)測控制[J].控制工程,2013,20(6):1671-7848.

[10] 黃驊,何德峰,俞立.基于多面體描述系統(tǒng)的魯棒非線性預(yù)測控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2012, 38(12): 1906-1912.

[11] Limon D, Alamo T, Salas F, et al. Input to state stability of min-max MPC controllers for nonlinear systems with bounded uncertainties [J].Automatica, 2006, 42(5): 797-803.

[12] Ding B.Constrained robust model predictive control via parameter dependent dynamic output feedback[J].Automatica, 2010, 46 (9): 1517-1523.

[13] Boyd S L，Ghaoui E F,Feron E,et al. Linear matrix inequalities in system and control theory[C]. Philadelphia,PA:Studies in Applied Mathematics,1994.

[14] 丁寶蒼.預(yù)測控制的理論與方法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

[15] Ding B, Xi Yu, Cychowski M T,et al. An synthesis approach for out put feedback robust constrained model predictive control [J]. Automatic, 2008, 44(1): 258-264.

A Robust Predictive Control Synthesis Method for LPV Systems with Bounded Disturbances

JIA Zicheng，ZHAO Min

(Department of Control Science and Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

TP301.6

A

1007-7820(2017)10-104-04

2016- 12- 02

賈自成(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：預(yù)測控制。趙敏(1979-)，女，博士，講師。研究方向：非線性系統(tǒng)/LPV系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制等。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.10.028