高考中的數(shù)列求和問(wèn)題

李向虹

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)和核心考點(diǎn)，數(shù)列求和問(wèn)題能考查對(duì)數(shù)列的整體認(rèn)識(shí)，能夠體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想，因此數(shù)列求和在高考中占有很重要的地位，是每年必考的考點(diǎn)。下面是我總結(jié)的數(shù)列求和問(wèn)題的幾種常用解法，供參考。

一、方法匯總

1、公式法

（1）等差數(shù)列求和公式：

（2）等比數(shù)列求和公式：

（3）

2、分組求和法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

3、裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).常見的裂項(xiàng)公式

① ；

② .

4、倒序相加法

把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

5、錯(cuò)位相減法

主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

6、并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.

例Sn=1002-992+982-972+…+22-12=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.

二、典例剖析

題型一 分組轉(zhuǎn)化法求和

例1.已知數(shù)列{an}，an=n，設(shè)bn=2an+（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和.

解：由an=n，可得bn=2n+（-1）nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，

則T2n=（21+22+…+22n）+（-1+2-3+4-…+2n）. （分組）

記A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，

則

B=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（2n-1）+2n]=n. （分組求和）

故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n-2.

提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論.

題型二 錯(cuò)位相減法求和

例2.已知=2n-1，bn=2n-1，設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：由=2n-1，bn=2n-1，故，于是

（設(shè)制錯(cuò)位）

①-②可得：， （錯(cuò)位相減）

故Tn=6-.

注意：（1）在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式；

（2）若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

題型三 裂項(xiàng)相消法求和

例3.已知函數(shù)f（x）= xa的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），令=an=

，n∈N*.記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2017=

________.

解析 由f （4）=2，可得4a=2，解得a=，則f （x）=.

（裂項(xiàng)）

（求和）

注意：抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).endprint