基于T-S模糊模型的間歇過程的迭代學習容錯控制

王立敏，楊繼勝，于晶賢，李秉蕓，高福榮

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基于T-S模糊模型的間歇過程的迭代學習容錯控制

王立敏1，楊繼勝1，于晶賢1，李秉蕓1，高福榮2

（1遼寧石油化工大學理學院，遼寧撫順113001；2香港科技大學化學與生物分子工程系，香港）

間歇過程不僅具有強非線性，同時還會受到諸如執(zhí)行器等故障影響，研究非線性間歇過程在具有故障的情況下依然穩(wěn)定運行至關重要。針對執(zhí)行器增益故障及系統(tǒng)所具有的強非線性，提出一種新的基于間歇過程的T-S模糊模型的復合迭代學習容錯控制方法。首先根據間歇過程的非線性模型，利用扇區(qū)非線性方法建立其T-S模糊故障模型，再利用間歇過程的二維特性與重復特性，在2D系統(tǒng)理論框架內，設計2D復合ILC容錯控制器，進而構建此T-S模糊模型的等價二維Rosser模型，接著利用Lyapunov方法給出系統(tǒng)穩(wěn)定充分條件并求解控制器增益。針對強非線性的連續(xù)攪拌釜進行仿真，結果表明所提出方法具有可行性與有效性。

間歇過程；2D T-S模糊模型；模糊迭代學習容錯控制；過程控制；穩(wěn)定；系統(tǒng)工程

引 言

現(xiàn)代制造業(yè)的生產過程主要分為連續(xù)型和間歇型兩類，其中間歇過程因其適應高質量、多品種和多規(guī)格的市場要求，近年來越來越受到人們的重視。目前，間歇生產過程已廣泛應用于精細化工、生物制品、藥品生產、農產品深加工等小批量高附加值的工業(yè)生產領域。

隨著工業(yè)產品社會需求量的與日俱增，自動控制系統(tǒng)的規(guī)模逐漸擴大、復雜性日益增加。因此，當生產設備長時間處在復雜的條件下進行生產操作時，故障發(fā)生的可能性也就隨之增加。而系統(tǒng)一旦發(fā)生故障，不僅可能影響產品質量和生產效率，還可能會造成重大的財產損失和人員傷亡。從安全生產和經濟效益綜合考慮，當系統(tǒng)發(fā)生故障后，希望系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且盡量保證一定的控制性能，為此需要研究系統(tǒng)的容錯控制技術。

由于間歇過程具有高度的非線性、滯后、時變和數學模型不確定等特征，這使得間歇過程的控制問題一直被認為是化工等行業(yè)中的一項極具挑戰(zhàn)性的課題，目前已引起研究者廣泛關注，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新性成果[1-6]。迭代學習控制（ILC）方法已廣泛用來實現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤及控制優(yōu)化，結合間歇過程本身具有重復性等優(yōu)點，由Shi等[7]提出了一種復合ILC——即由沿時間方向的反饋控制策略及沿周期方向的ILC策略相結合的策略得以應用[3,8-25]。

由于T-S模糊模型能夠有效地用來描述復雜的非線性系統(tǒng)，而利用在線性系統(tǒng)中的一些成熟的控制算法可直接應用到模糊控制中，從而促進了模糊控制的發(fā)展并出現(xiàn)大量的創(chuàng)新性成果[26]。文獻[27]基于T-S模糊模型提出了保證車輛橫擺穩(wěn)定性的廣義預測控制。文獻[28]針對非線性切換系統(tǒng)，提出了基于T-S模型的有限時間￥控制。但是研究成果都應用在連續(xù)系統(tǒng)中，在間歇過程中結果較少。

本文將間歇過程的非線性模型用T-S模糊模型進行表示，在2D系統(tǒng)理論框架內，將此模型轉化為等價的2D Rosser模型。在系統(tǒng)可能發(fā)生執(zhí)行器增益故障問題時，利用2D Lyapunov函數方法，以LMIs形式給出故障系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。利用MATLAB中的LMI工具箱可以很方便地進行容錯控制器求解。針對具有強非線性的連續(xù)攪拌釜，進行仿真，結果表明所提出方法的可行性與有效性。

1 問題描述

考慮由如下形式表示的強非線性間歇過程

其中，(t,k)∈,(t,k)∈,(t,k)∈分別表示系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)輸出及系統(tǒng)控制輸入；,分別表示在批次內的運行時刻與批次；T表示一個批次運行的總時間；[(t,k),(t,k)]表示與系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入相關的非線性函數；[(t,k)]表示與系統(tǒng)狀態(tài)相關的非線性函數。

由于系統(tǒng)發(fā)生故障不可避免，那么在執(zhí)行器發(fā)生故障時（部分失效故障、完全失效故障和卡死故障3種），系統(tǒng)實際輸入F(t,k)將不等于(t,k)。在此，本文僅考慮執(zhí)行器部分失效故障情況，系統(tǒng)實際輸入表示為F(t,k)=u(t,k)。參數假定其變化在一個已知的范圍內

(3)

因此，含有部分失效的執(zhí)行器故障的系統(tǒng)可描述為

利用文獻[29]提供的局部扇區(qū)非線性方法并考慮間歇過程在時間及批次上的二維特性，上述系統(tǒng)可用如下離散模糊故障模型描述

(5)

控制目標為：在系統(tǒng)存在執(zhí)行器增益故障的情況下，設計一個容錯控制律，使得過程的輸出盡可能地跟蹤一個給定的期望軌跡(t)，定義

引入下面的記號和定義

(7)

其中，

由式(3)和式(8)，存在一個未知矩陣0使得

=(+0)(9)

其中，

|0|≤0≤(10)

2 魯棒模糊迭代容錯控制器設計

2.1 等價二維描述

對于如式(5) 所描述的間歇過程，引入迭代學習控制律

這里，(t,0)為迭代算法的初始值，(t,k)∈R是待設計的ILC的更新律。ILC設計的目標是確定更新律(t,k)∈R，使得(t)跟蹤(t)。

定義

(13)

式中，(,)代表系統(tǒng)輸出與給定輸出之間的誤差，((t,k))代表變量(t,k)沿方向的誤差。

由式(5) 與式(13) 得

其中

對于系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差，考慮一種特殊的情況，即C=,=1,2,…,，則可得到

(16)

引入如下的2D-ILC的迭代更新律，對于規(guī)則，其迭代更新律設計如下

(17)

其中，為待求的控制器增益。則系統(tǒng)整體的2D T-S模糊迭代學習更新律為

那么，2D閉環(huán)模糊故障系統(tǒng)如下

(19)

其中，0被稱為K-界，0k被稱為T-界。

定義2：對于標量>0，如果2D閉環(huán)模糊故障系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且對零初始條件和任意干擾，系統(tǒng)的被控輸出滿足

那么，稱該系統(tǒng)具有魯棒￥性能。魯棒￥性能表示了被控輸出對于干擾的最大敏感度。的取值越小，表明系統(tǒng)的干擾抑制性能越好。因此，在進行控制器的設計時，應該將極小化。

（3）對于任意界條件和任意容許的滿足 (2) 的執(zhí)行器故障

其中，滿足上式的最小的稱為系統(tǒng)的2D收斂指標（2D-CI）。

引理2：若表示對于所有時刻所激活的規(guī)則數，當時，有

引理3：設和為適維矩陣或向量，對于>0，下列不等式成立

2.2 容錯控制器設計及系統(tǒng)結構

定理1：針對系統(tǒng)（19），對于所有(1<≤)表示所激活的規(guī)則數，假設，給定常數0<,<1，若存在正定對稱矩陣，半正定對稱矩陣以及矩陣(=1,2,…,)，和標量>0，使得如下矩陣不等式（LMIs）成立

(21)

其中

證明：假設存在正定對稱矩陣，半正定對稱矩陣，使得

(22)

則有

其中，=+,,= diag{h,v}。

由式(23)及引理2，式(24)右端可得

(25)

定義=max{,}，即有0<<1，則有

對于任意的整數0>0,0>0,>0，則有

……

對于上述不等式組求和可得

由引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)的收斂指標不大于。

對于式（22），利用Schur引理可得

對式(27)，左乘、右乘矩陣diag{,}，再利用引理2和Schur引理便可得式(20) 成立，證畢。同理可證，式（21）成立。

定理2：對于給定的實數>1, 0<,<1，若存在塊對角矩陣，其中使得如下不等式成立

其中，

，

,

選擇更新律=-1則系統(tǒng)是2D容錯的，且魯棒￥性能指標小于。

其中，令

，

括號內部分可等價表示為

由定理2中式(29)可得

2.3 設計算法

在此情況下，可直接運用定理1進行控制器的設計。為了保證所設計的容錯迭代學習控制系統(tǒng)沿和方向上均具有良好的收斂性，因此，設計控制器時需同時對系統(tǒng)的“水平”和“垂直”收斂指標進行優(yōu)化，考慮到非線性優(yōu)化算法的復雜性，在實際中，可采用如下加權優(yōu)化算法。

算法1：加權優(yōu)化算法

給定加權因子0≤≤1，求解如下優(yōu)化問題1：

Subject to Eq(20)Eq(21)

其中，

若優(yōu)化問題1有可行解，且有*<1，則可設計容錯迭代控制器。

在此情形下必須考慮系統(tǒng)的￥問題，利用定理2設計控制器。此時需要同時考慮收斂指標，收斂指標以及2D魯棒￥性能指標看作待優(yōu)化的決策變量，則需要求解非線性優(yōu)化問題。若，收斂指標已知，則采用如下優(yōu)化算法。

算法2：魯棒￥優(yōu)化控制算法

給定期望的收斂指標上界0<,<1，求解如下優(yōu)化問題2：

Subject to Eq.(29)

若優(yōu)化問題2有可行解，則可設計迭代更新律。

3 仿真案例

考慮文獻[11]中研究的強非線性連續(xù)攪拌釜：

其中，各變量與常量參數與文中一致。令1=,2=A,=C，代入參數后，將每次加熱冷卻看作一個批次，則對于批次，考慮執(zhí)行器增益故障影響，擴展文獻[30]中描述的扇區(qū)非線性方法至二維情況，利用PDC方法，上述的非線性模型轉化為

(32)

其中

,

，

（），

控制目標為使反應釜溫度跟蹤給定曲線

仿真共進行50個批次，每個批次運行600步。為評價控制效果，引入評價指標()

在真實的工業(yè)體系中干擾的存在不可避免，因此，分為如下兩種情況來討論容錯系統(tǒng)的魯棒性。

情形1：重復擾動

在該情形中，假設=0.2×[sincos]T取=0.2，根據定理2，計算控制器增益為

圖1為在具有外界重復擾動的情況下，閉環(huán)漸進穩(wěn)定控制時部分批次的輸出跟蹤效果，經過前幾個批次的不穩(wěn)定運行后，從第16個批次開始，無論時間方向還是批次方向，系統(tǒng)可以達到零誤差跟蹤，控制器可實現(xiàn)2D魯棒控制。在第20批次時系統(tǒng)發(fā)生故障，盡管控制性能變差，但經過幾個批次后，仍然能實現(xiàn)零誤差跟蹤。圖2顯示所有批次的（）。

圖1 重復擾動下的批次響應

Fig.1 Some batches response under repeated disturbance

情形2：非重復擾動

該情形中，假設=(0.3 0.3)×，其中是(0,1) 間的隨機數。給定=0.75,=0.15，根據定理2及算法2得到執(zhí)行器增益

圖3為在具有外界非重復擾動的情況下，閉環(huán)漸進穩(wěn)定控制時部分批次的輸出跟蹤效果，經過最初幾個批次的不穩(wěn)定運行后，從第16個批次開始，無論方向還是方向，系統(tǒng)盡管受非重復擾動影響不能實現(xiàn)零誤差跟蹤，但是系統(tǒng)基本可以達到良好的跟蹤，控制器可實現(xiàn)2D￥控制。在第20批次，執(zhí)行器發(fā)生故障，從圖3(c)可以看出，系統(tǒng)跟蹤性能變差，在第29批次時，如圖3(c)所示，系統(tǒng)甚至可達到未發(fā)生故障時的跟蹤效果，從圖4[所有批次的（）]也可明顯看出。

圖3 非重復擾動下的一些批次響應

Fig.3 Some batches response under unrepeated disturbance

4 總 結

針對具有執(zhí)行器故障及非線性的間歇過程，本文提出了一種基于T-S模糊模型的2D迭代學習容錯控制策略。利用局部扇區(qū)非線性化方法及二維系統(tǒng)框架，將上述過程轉化為等價的2D T-S模糊故障模型。設計基于狀態(tài)反饋的2D迭代學習容錯控制策略并給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。所設計的容錯控制律保證了系統(tǒng)即使發(fā)生故障仍然能夠穩(wěn)定。針對一個強非線性CSTR的仿真，證明了系統(tǒng)的有效性與實用價值。

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Iterative learning fault-tolerant control for batch processes based on T-S fuzzy model

WANG Limin1, YANG Jisheng1, YU Jingxian1, LI Bingyun1, GAO Furong2

(1College of Sciences, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, Liaoning, China;2Department of Chemical and Biomolecular Engineering, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong, China)

Batch processes are not with highly nonlinearity, but also suffer from the actuator failures. Study of the stability of nonlinear batch processes under failure conditions is of great significance. With considering on the actuator gain faults and the highly nonlinearity, a new T-S fuzzy model-based iterative learning fault-tolerant control method is proposed for nonlinear batch process. Firstly, the T-S fuzzy model is employed to represent the nonlinear batch process. Then a 2D compound iterative learning fault-tolerant controller is proposed by exploiting the 2D and repetitive nature of batch processes, and the equivalent 2D Rosser model of the fuzzy model is constructed. Lastly, the sufficient condition guaranteeing the system stable is given through a Lyapunov function method, and the controller gains are designed in terms of linear matrix inequalities (LMIs). Simulation to a highly nonlinear continuous stirred tank reactor (CSTR) demonstrates the feasibility and efficiency of the proposed method.

batch processes; 2D T-S fuzzy model; fuzzy iterative learning fault-tolerant control;process control;stability;systems engineering

10.11949/j.issn.0438-1157.20161608

TB 114.43

A

0438—1157（2017）03—1081—09

國家自然科學基金項目 (61433005)；遼寧省高等學校優(yōu)秀人才支持計劃項目(LJQ2014039)；廣東省創(chuàng)新團隊項目(2013G076)。

2016-11-14收到初稿，2016-12-01收到修改稿。

聯(lián)系人：王立敏，高福榮。第一作者：王立敏（1976—），女，博士研究生，副教授。

2016-11-14.

s: WANG Limin, wanglimin0817@163.com; GAO Furong, kefgao@ust.hk

supported by the National Natural Science Foundation of China (61433005), Liaoning Province Colleges and Universities Talents Support Program (LJQ2014039) and Guangdong Innovative and Entrepreneurial Research Team Program (2013G076).