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    引入多樣情境,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
    ——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)列概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

    2017-10-13 05:05:20湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院張素婷
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
    關(guān)鍵詞:概念核心函數(shù)

    ☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 張素婷

    引入多樣情境,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
    ——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)列概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

    ☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 張素婷

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)需要的必備品格與關(guān)鍵能力,是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組指出,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征[1].

    如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)是教學(xué)實(shí)施者關(guān)心的問(wèn)題,凡是概念學(xué)習(xí)均能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).本文僅從數(shù)學(xué)情境這一環(huán)節(jié)以“數(shù)列概念”為例,探討如何在課堂教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),旨在拋磚引玉.

    一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要求

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》對(duì)數(shù)列概念教學(xué)的要求是通過(guò)日常生活中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)[2].所謂了解,就是對(duì)所學(xué)知識(shí)有初步的感性認(rèn)識(shí),知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么,會(huì)按照一定的程序和步驟操作,并會(huì)模仿地利用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.對(duì)于數(shù)列的概念而言,能由一些具體事例分析出數(shù)列的共同屬性,歸納出本質(zhì)屬性,能用數(shù)學(xué)符號(hào)給予表征,能通過(guò)觀察感知實(shí)際情境表示出數(shù)列,從而領(lǐng)悟數(shù)列與函數(shù)的關(guān)聯(lián)與區(qū)別,能識(shí)別哪些是數(shù)列,這是一個(gè)具體-抽象-具體的過(guò)程,是形象思維到抽象思維的過(guò)渡,滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,故而數(shù)列概念可作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)良好的培養(yǎng)基.

    二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理論基礎(chǔ)

    眾所周知,概念教學(xué)是課堂教學(xué)的重中之重,而數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程實(shí)則數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為,數(shù)學(xué)概念的抽象依靠抽象思維,是在對(duì)事物的數(shù)形屬性進(jìn)行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上,抽取出本質(zhì)屬性,舍棄其非本質(zhì)屬性,使認(rèn)識(shí)從感性的具體進(jìn)入抽象的規(guī)定,形成數(shù)學(xué)概念[1].

    以上述理論為依據(jù)來(lái)看數(shù)列概念教學(xué),數(shù)列作為一類特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象,是研究其他函數(shù)的基本工具,在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.因此,著眼于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),可以學(xué)生熟悉的客觀世界中的特殊函數(shù)模型為載體,構(gòu)建多樣化的問(wèn)題情境,讓學(xué)生經(jīng)歷如下幾個(gè)問(wèn)題的抽象思維過(guò)程:

    (1)每個(gè)問(wèn)題中所涉及的量與量之間有何數(shù)量關(guān)系?

    (2)能用數(shù)學(xué)的方式來(lái)表示嗎?如表格、圖像、通項(xiàng)公式(含遞推公式).

    (3)能抽象出上述問(wèn)題的共性嗎?

    (4)能概括出上述問(wèn)題的本質(zhì)屬性,并用符號(hào)化表達(dá)嗎?

    在觀察、分析、比較、概括的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),在這個(gè)過(guò)程中設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題情境顯得尤為重要.數(shù)列概念雖然簡(jiǎn)單,許多教師采用“天上掉下個(gè)林妹妹”式的方法直接給出數(shù)列的概念,省去了學(xué)生抽象概括的思維過(guò)程,這無(wú)疑是剝奪了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化思考和表達(dá)的機(jī)會(huì).由于數(shù)列這一概念是建立在函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上,可從特殊函數(shù)出發(fā),同化出數(shù)列的概念;另一方面,數(shù)列概念與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化密切相關(guān),可從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“形數(shù)”講起,甚至還可以從生活中的數(shù)列創(chuàng)設(shè)情境.總之,引入多樣化的情境能為數(shù)列的概念教學(xué)提供豐富的教學(xué)資源,為發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)提供感性的材料.

    三、多樣化的情境引入

    1.數(shù)學(xué)史情境

    數(shù)列的概念可從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”講起:畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一個(gè)基本的信條——萬(wàn)物皆數(shù),他們認(rèn)為世界萬(wàn)物都包含數(shù),都能用數(shù)來(lái)解釋.傳說(shuō),他們經(jīng)常在沙灘上用小石子擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).

    觀察圖1:

    圖1

    問(wèn)題1:圖1是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石頭擺出來(lái)的圖形,你能猜一猜他們想表示哪些數(shù)嗎?

    問(wèn)題2:你能不能嘗試著再接著往后畫(huà)出幾個(gè)圖形呢?它們分別表示哪些數(shù)?

    填表:

    表1 三角形數(shù)

    由于1,3,6,10,15,…這些數(shù)都能夠表示成三角形,他們就將其稱為三角形數(shù).類似地,他們還研究了正方形數(shù).

    活動(dòng):請(qǐng)大家嘗試畫(huà)一畫(huà)正方形數(shù)的圖形.看看你畫(huà)的和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家畫(huà)的是一樣的嗎?

    多媒體展示:

    圖2

    問(wèn)題3:圖2中的小石頭表示了哪些數(shù)?你能接著再往后寫(xiě)幾個(gè)數(shù)嗎?

    填表:

    表2 正方形數(shù)

    問(wèn)題4:請(qǐng)觀察表1、表2中的數(shù),這兩列數(shù)有什么共同特征?

    小結(jié):像這樣,按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

    問(wèn)題5:數(shù)列中不同的項(xiàng)能調(diào)換順序嗎?由此你認(rèn)為數(shù)列中的每一項(xiàng)與什么有關(guān)?

    小結(jié):數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它所在的順序(序號(hào))有關(guān),排在首位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(也稱首項(xiàng)),排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng),排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).為了研究方便,數(shù)列可以用符號(hào)表示成a1,a2,a3,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.

    可見(jiàn),數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)ak與其序號(hào)k(k=1,2,...,n,...)之間有著下列對(duì)應(yīng)關(guān)系:

    問(wèn)題6:從上述對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)看,你對(duì)數(shù)列有何更深的理解?

    問(wèn)題7:{an}和an所表示的含義一樣嗎?

    ……

    設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)課是數(shù)列章節(jié)的第一節(jié)課,也是概念課,需要學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的抽象思維過(guò)程,而抽象化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言難免枯燥,于是選擇了融入數(shù)學(xué)史的方式作為情境引入,意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛.引導(dǎo)學(xué)生跟隨哲人的步伐,回到古希臘與古人對(duì)話,以“形數(shù)”為載體,在畫(huà)圖填表等活動(dòng)中,逐步從具體走向抽象,用數(shù)形結(jié)合的思想方法助推建立起數(shù)學(xué)抽象,通過(guò)數(shù)列的符號(hào)化表達(dá),進(jìn)一步理解數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù),旨在提升數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí),進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象,從而獲得數(shù)列概念.

    2.生活情境

    等差數(shù)列可從生活中隨處可見(jiàn)的例子講起:

    你知道“麥田怪圈”嗎?麥田怪圈是在麥田或其他農(nóng)田上,通過(guò)這種力量把農(nóng)作物壓平而產(chǎn)生的幾何圖案(如圖3),這個(gè)麥田圈是由一組同心圓構(gòu)成,最里面的圓半徑為1m,其他的圓半徑

    依次增加1m.那么,同心圓半徑由內(nèi)向外依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列?由小到大的同心圓周長(zhǎng)依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列?

    圖3

    生活中還有許多這樣的數(shù)列,你能舉出這樣的例子嗎?

    ①下面小張雙十一在淘寶上買鞋時(shí)的尺碼(單位:cm):

    22,22.5,23,23.5,24,24.5,25,25.5.

    ②在過(guò)去的三百多年里,人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷慧星:

    1682,1758,1834,1910,1986.

    ③武漢劇院的雙號(hào)座位號(hào):

    38,40,42,44,46,…

    ④第一屆奧運(yùn)會(huì)始于1896年,此后每四年舉行一次:

    1896,1900,1904,1908,1912,1916,…

    問(wèn)題1:請(qǐng)觀察上述數(shù)列,它們有什么共同特征?

    小結(jié):像這樣,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為公差,通常用d來(lái)表示.

    問(wèn)題2:怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)表示等差數(shù)列的特征?

    問(wèn)題3:你能概括出什么是等差數(shù)列嗎?

    問(wèn)題4:分別作出它們的圖像,說(shuō)說(shuō)圖像有什么共同特征?

    設(shè)計(jì)意圖:能通過(guò)對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題的分析對(duì)比,觀察歸納,建立等差數(shù)列模型,讓學(xué)生繼續(xù)感受數(shù)列的函數(shù)特征,并進(jìn)一步理解數(shù)列作為函數(shù)的特殊性,將等差數(shù)列與一次函數(shù)進(jìn)行類比.

    3.故事情境

    等比數(shù)列的概念可從一個(gè)流傳已久的故事說(shuō)起:

    在古代,有一個(gè)聰明的大臣發(fā)明了國(guó)際象棋,國(guó)王想要獎(jiǎng)勵(lì)他,然而大臣卻只想要一些麥子,他說(shuō):請(qǐng)陛下在棋盤的第一個(gè)方格放1粒麥子,第二個(gè)方格放2粒麥子,第三個(gè)方格放4粒麥子,…以此類推,直到第64個(gè)方格.

    問(wèn)題1:麥子數(shù)形成的數(shù)列1,2,4,8,16,…有何特點(diǎn)?

    然而,數(shù)學(xué)概念的形成需要大量的實(shí)例反復(fù)感知,僅有這一個(gè)數(shù)列無(wú)法發(fā)現(xiàn)出等比數(shù)列的本質(zhì)屬性.因此,筆者對(duì)這個(gè)故事情境進(jìn)行了續(xù)集改編,從而得到另一個(gè)常見(jiàn)的等比數(shù)列:

    棋盤事件讓國(guó)王顏面盡失,但國(guó)王非常好學(xué),通過(guò)學(xué)習(xí),他對(duì)這種數(shù)列有了新的認(rèn)識(shí),于是他又召見(jiàn)了大臣,說(shuō):“我很遺憾國(guó)庫(kù)里沒(méi)有這么多麥子,但我這里有一根1米長(zhǎng)的金手杖,我決定在10天之后把它賞賜給你,但從今天起,我每天要拿走金手杖的一半.”[3]

    問(wèn)題3:這兩個(gè)數(shù)列有什么共同特征?

    問(wèn)題4:通過(guò)觀察,比較,你能歸納出等比數(shù)列的特征嗎?

    問(wèn)題5:你能類比等差數(shù)列的定義,概括出等比數(shù)列的概念嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)這個(gè)喜聞樂(lè)見(jiàn)的故事,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,讓學(xué)生在“新、奇、趣”的情境中感知等比數(shù)列的本質(zhì)特征,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用抽象化、符號(hào)化的語(yǔ)言概括出了等比數(shù)列的概念.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列,因此這里概念的形成完全可以類比等差數(shù)列,可進(jìn)一步理解概念與概念之間的聯(lián)系,在學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn),形成一般性的思考問(wèn)題的習(xí)慣,這也是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目的之一.

    數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),它能幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題[4].數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).本文試圖從情境引入環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)教學(xué)來(lái)尋求發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的途徑,如何更有效地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是可繼續(xù)研究的方向.

    1.章建躍.樹(shù)立課程意識(shí),落實(shí)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(5).

    2.中華人民共和國(guó)教育部:普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)),人民教育出版社2003年版.

    3.楊玉東,王兄.運(yùn)用關(guān)鍵性教學(xué)事件分析支撐中國(guó)式數(shù)學(xué)課例研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2015,24(3).

    4.彭翕成.例說(shuō)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].教育研究與評(píng)論,2016(5).

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