夯基固本構(gòu)系統(tǒng) 溯 源納新謀優(yōu)化
——例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中試卷講評(píng)的探索與思考

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

夯基固本構(gòu)系統(tǒng) 溯 源納新謀優(yōu)化
——例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中試卷講評(píng)的探索與思考

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

教育是培養(yǎng)人的社會(huì)活動(dòng)，學(xué)校教育是根據(jù)社會(huì)發(fā)展需要和受教育者成長(zhǎng)需要，有目的、有計(jì)劃、有組織地培養(yǎng)人的活動(dòng).考試是一定組織中的考試主體根據(jù)考試目的的需要，選擇運(yùn)用有關(guān)資料，對(duì)考試客體某方面或諸方面的素質(zhì)水平進(jìn)行測(cè)度、甄別和評(píng)價(jià)的一種社會(huì)活動(dòng).［1］教育是目的，考試是方法.考試從屬于教育活動(dòng)，具有測(cè)量、激勵(lì)、反饋、診斷、矯正和發(fā)展等功效，它能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)學(xué)生心理和意志品質(zhì)的健康發(fā)展，實(shí)現(xiàn)“以考促學(xué)”；它能促使教師發(fā)現(xiàn)教與學(xué)中的問(wèn)題，通過(guò)研究進(jìn)行完善，實(shí)現(xiàn)“以考促教”.

人之行為，皆有目的，為了達(dá)到目的，采取某些方法.目的不明，方法就失去意義.考試不是課程結(jié)束的標(biāo)志，而是學(xué)習(xí)再深入的起點(diǎn)與過(guò)程，教學(xué)中要通過(guò)教育考試具有的督導(dǎo)、發(fā)展、導(dǎo)向等功能，實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與提升學(xué)生綜合素質(zhì)的教育目的.下面以高三復(fù)習(xí)試卷的測(cè)評(píng)為載體，談?wù)劰P者對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解，不足之處，敬請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

一、案例分析

1.模式識(shí)別不力，無(wú)的放矢

當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一種基本模式，聯(lián)想到一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，以此為索引，在記憶儲(chǔ)存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.［2］如果學(xué)生模式識(shí)別不合理，將會(huì)導(dǎo)致無(wú)計(jì)可施或陷入命題者設(shè)計(jì)的圈套中.解決這類(lèi)問(wèn)題的基本程序是認(rèn)真讀題、細(xì)致分析、似然聯(lián)想、比對(duì)確認(rèn)、嘗試優(yōu)化等，盡可能“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”，用無(wú)窮的智慧來(lái)代替繁雜的操作.例1 已知集合

集合P的所有非空子集依次記為M1，M2，…，M31，設(shè)m1，m2，…，m31分別是上述每一個(gè)子集內(nèi)元素的乘積，如果P的子集中只有一個(gè)元素，規(guī)定其積等于該元素本身，那么m1+m2+…+m31=_______.

解析：記T=m1+m2+…+m31，則T為f的展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)之和減去1，令x=1，則T=f（1）-1=6-1=5.

點(diǎn)評(píng)：不少學(xué)生無(wú)法揭示問(wèn)題本質(zhì)，只能分別求出m1，m2，…，m31，耗時(shí)費(fèi)力.為什么如此構(gòu)造函數(shù)，怎么想到賦值x=1？解題教學(xué)講究瓜熟蒂落、自然天成.教師只有講好“解題背后的故事”，學(xué)生才能知其然并知其所以然，進(jìn)而提升解題能力.m1，m2，…，m31由M1，M2，…，M31決定，透過(guò)結(jié)果或形式能否找到問(wèn)題的一般規(guī)律？

T是P中任意n（n=1，2，3，4，5）個(gè)元素乘積的和，類(lèi)比聯(lián)想原型：關(guān)于正整數(shù)2160，求：

（1）它有多少個(gè)不同的正因數(shù)？

（2）它的所有正因數(shù)的和是多少？

解析：（1）N=2160=24×33×5，所以2160的正因數(shù)為P=2α×3β×5γ的形式，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，r=0，1.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得2160的正因數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×2=40.

（2）式 子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展開(kāi)式的值就是40個(gè)正因數(shù)之和.所以所有正因數(shù)之和為31×40×6=7440.

算術(shù)基本定理，又稱質(zhì)因數(shù)分解定理，即每一個(gè)大于1的整數(shù)都能分解成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，把質(zhì)因數(shù)按照由小到大的順序排列在一起，相同的因數(shù)的積寫(xiě)成冪的形式，那么這種分解方法是唯一的.將整數(shù)分解為連乘積的形式，根據(jù)自然數(shù)在質(zhì)因數(shù)下分解唯一的性質(zhì)，可構(gòu)建自然數(shù)與各質(zhì)因數(shù)指數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)原型，可知例1重在考查對(duì)應(yīng)關(guān)系、乘法計(jì)數(shù)原理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程等，構(gòu)造函數(shù)法只是形式不同而已.為什么要賦值？如何進(jìn)行賦值？根據(jù)題設(shè)條件，借助合理賦值出現(xiàn)解題目標(biāo)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題目的.賦值的背后是解函數(shù)方程，先由分析法求值尋根，再用綜合法賦值表達(dá).將原型中（其值均為1）抽象成x，然后又賦值（x=1）回來(lái).解答利用分解與整合先求出每個(gè)括號(hào)內(nèi)的值再求積，優(yōu)化思維，提高解題效率.

2.漠視問(wèn)題特性，事倍功半

美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾在《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》一書(shū)的扉頁(yè)上說(shuō)：“假如讓我把全部的教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么.要探明這一點(diǎn)并據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師鄭瑄認(rèn)為課堂教學(xué)要“循天（數(shù)學(xué)教育教學(xué)的自然規(guī)律）而事，因地（學(xué)生成長(zhǎng)發(fā)展的自然規(guī)律）制宜，唯求自然，方得始終.”類(lèi)似地，數(shù)學(xué)解題時(shí)必須明晰目標(biāo).只有弄清題設(shè)與結(jié)論，抓住問(wèn)題的特性與共性，才能因時(shí)而動(dòng)，隨機(jī)應(yīng)變，而不至于淪為簡(jiǎn)單的、枯燥的機(jī)械勞動(dòng).

點(diǎn)評(píng)：解法1通過(guò)模式識(shí)別認(rèn)定本題類(lèi)型為“已知三角函數(shù)的圖像求解析式，進(jìn)而確定相關(guān)的性質(zhì)”，按部就班操作.解法2從函數(shù)的圖像與性質(zhì)出發(fā)，利用圖像變換，直奔目標(biāo)，事半功倍.眾所周知，中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力是指中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的，能夠?qū)W(xué)習(xí)對(duì)象（客體）進(jìn)行辨別、篩選的，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種個(gè)性心理特征.中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力是影響學(xué)習(xí)成績(jī)的重要因素，二者有著較高的正相關(guān).大部分學(xué)生還沒(méi)有養(yǎng)成良好的解題自我監(jiān)控的習(xí)慣，不能選擇合適的解題策略，其深層原因是學(xué)生學(xué)到的是“死”的知識(shí)、方法與技能，遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)只能和盤(pán)推出，無(wú)法通過(guò)分析、比較、鑒別等手段將已有知識(shí)與技能等按需分配.

3.系統(tǒng)構(gòu)建脫節(jié)，無(wú)力為繼

數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維.系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考查認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法.系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知，并提高研究的質(zhì)量和效率.系統(tǒng)思維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn).［3］課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過(guò)程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考.［4］通過(guò)學(xué)習(xí)構(gòu)建數(shù)學(xué)整體，從整體上把握事物的聯(lián)系，樹(shù)立整體意識(shí)和全局思想，提高系統(tǒng)思維水平.現(xiàn)實(shí)中，碎片化教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生接受凌亂化，遇到相關(guān)問(wèn)題，無(wú)法實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的架構(gòu)與連貫，知識(shí)與思想方法的融合，知識(shí)向能力及智慧的延伸.

例3 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，BC邊上的高為，則的最大值為_(kāi)_____.

解法2：設(shè)a=2，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0），則A（m，，所以

解法3：設(shè)a=2，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0），則，所以，整理得（t2-1）m2-2（t2+1）m+2t2-2=0（※）.

圖1

當(dāng)t2=1時(shí)，m=0；

當(dāng)t2≠1時(shí)，（※）式的判別式Δ=-4（t4-6t2+1）≥0，得且t2≠1，即且t≠1.

點(diǎn)評(píng)：解法1利用“算二次”思想得到a，b，c，sinA的關(guān)系，代入余弦定理整體代換構(gòu)建關(guān)于A的三角函數(shù)，借助“二合一”（）公式求出函數(shù)的最大值.解法2根據(jù)目標(biāo)為齊次式的特征，利用正弦定理化角為邊，根據(jù)點(diǎn)C的軌跡利用解析法構(gòu)建目標(biāo)關(guān)于變量m的函數(shù)，然后利用均值不等式（或利用函數(shù)的性質(zhì)）求解.解法3根據(jù)目標(biāo)式的齊次關(guān)系巧妙設(shè)元，先利用判別式法求出新元的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為新元的函數(shù)最值問(wèn)題.不少學(xué)生使用解法1得到a2=2bcsinA（或過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，利用可得sinA=2sinBsinC）后思維斷線，使用解法2得到后不知該往何處發(fā)展實(shí)不應(yīng)該，使用解法3不會(huì)用判別式法等.學(xué)生的核心素養(yǎng)如何體現(xiàn)？在遇到教師沒(méi)有教過(guò)的問(wèn)題，能（善）用教師已經(jīng)教過(guò)的知識(shí)來(lái)對(duì)付.

圖2

例4 如圖2，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為正三角形，側(cè)面都是菱形，且A1在底面ABC上的投影為BC的中點(diǎn)O.

（1）證明：側(cè)面BCC1B1為正方形；

（2）求二面角C-AB-C1的正切值.

解析：（1）連接OA，△ABC為正三角形，且O是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥BC.因?yàn)锳1在底面ABC上的投影為BC的中點(diǎn)O，所以O(shè)A1⊥BC，OA∩OA1=O，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥AA1.因?yàn)锳A1∥BB1，所以BC⊥BB1.又BCC1B1為菱形，所以側(cè)面BCC1B1為正方形.

圖3

（2）方法1：由題意，知OA，OB，OA1兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖3所示，設(shè)AB=2，則A，設(shè)平面ABC1的法向量為n=（x，y，z），則令x=1，得根據(jù)題意可得平面ABC的法向量為m=（0，0，1），則cos〈m，n，所以，即二面角C-AB-C1的正切值為

圖4

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生解決第（1）問(wèn)暢通無(wú)阻，處理第（2）問(wèn)多用向量坐標(biāo)法，遺憾的是少數(shù)學(xué)生無(wú)法建構(gòu)聯(lián)系，一招不慎（點(diǎn)C的坐標(biāo)表示錯(cuò)誤），滿盤(pán)皆輸.學(xué)生在考試中及試卷校對(duì)時(shí)均偏愛(ài)向量坐標(biāo)法，害怕傳統(tǒng)方法.其深層原因是學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足、分析能力不強(qiáng)、思維能力不高，解題時(shí)遭遇知識(shí)混淆，思維脫軌等冷遇.當(dāng)然，理論根基不牢也會(huì)導(dǎo)致向量坐標(biāo)法錯(cuò)誤百出，如知識(shí)張冠李戴，公式移花接木等.恩格斯說(shuō)過(guò)：“思維是地球上最美麗的花朵”.美國(guó)數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”教師教學(xué)要從疑問(wèn)與驚奇開(kāi)始，用問(wèn)題撥動(dòng)學(xué)生的心弦，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)情感的融合、數(shù)學(xué)思維的提高與數(shù)學(xué)文化的升華.

4.深度學(xué)習(xí)缺乏，浮于表象

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供選擇和發(fā)展的空間，為學(xué)生提供多層次、多種類(lèi)的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和對(duì)未來(lái)的人生規(guī)劃的思考.”布魯納說(shuō)過(guò)：“探索是數(shù)學(xué)的生命線”.通過(guò)探究學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，還學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)方法，獲得了情感體驗(yàn)等.現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，師生教與學(xué)有量無(wú)質(zhì)，充滿著困惑與彷徨，數(shù)學(xué)理解始終在低層次中徘徊，與見(jiàn)微知著、觸類(lèi)旁通相距甚遠(yuǎn).學(xué)生遇到問(wèn)題往往被命題人牽著鼻子走，找不到較好的解題途徑.

例5已知函數(shù)f（x）=|x-2|-a|x+3|.

（1）若a=-1，求f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|x-2|+|x+3|.

方法2：f（x）的幾何意義是數(shù)軸上一點(diǎn)P（x，0）到A（-3，0）與B（2，0）的距離之和，所以當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，f（x）的最小值為5.

方法3：f（x）=|2-x|+|x+3|≥|2-x+x+3|=5，當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤2時(shí)等號(hào)成立.

若a≥1，當(dāng)x≥2時(shí)不合題意.

若-1＜a＜1，當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以有f（x）≥（f2）=-5a≥2，得；當(dāng)-3≤x＜2時(shí)，（fx）單調(diào)遞減，所以有（fx）≥（f2）=-5a≥2，得；當(dāng)x＜-3時(shí)，（fx）單調(diào)遞減，所以有f（x）＞f（-3）=5≥2恒成立.所以有（通過(guò)圖像可以得x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值）

若a=-1，函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，f（x）=5為常數(shù)函數(shù)，符合題意.

若a＜-1，函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞減，在（-3，+∞）上單調(diào)遞增，所以有f（x）≥f（-3）=5≥2，符合題意.所以a＜-1.

方法2：f（x）≥2恒成立，即|x-2|-a|x+3|≥2恒成立.

當(dāng)x=-3時(shí)，a∈R.

方法5：由f（x）≥2恒成立，即a|x+3|≤|x-2|-2恒成立，而在同一坐標(biāo)系下，分別畫(huà)出函數(shù)h（x）=a|x+3|與g（x）的圖像，如圖5所示，由圖像可得.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

x y=g（x）（2，-2）y=h（x）y（-3，0）O

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（1）問(wèn)，方法1為零點(diǎn)分段法，通過(guò)絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉函數(shù)f（x）中的絕對(duì)值，進(jìn)而利用函數(shù)的圖像（性質(zhì)）解答；方法2利用絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)論清晰直觀；方法3為公式法，利用絕對(duì)值的三角不等式求函數(shù)的最值，驗(yàn)證最值成立的條件頗為關(guān)鍵.對(duì)于第（2）問(wèn)，方法1為函數(shù)最值法，去絕對(duì)值需要對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論，再考慮（各子）函數(shù)單調(diào)性需要對(duì)a的范圍進(jìn)行劃分，事無(wú)巨細(xì)，過(guò)程繁雜，最終的結(jié)論是各類(lèi)情況中a的范圍的并集；方法2為分離參數(shù)法，通過(guò)對(duì)x進(jìn)行劃分，由邏輯關(guān)系可知最終的結(jié)論是各類(lèi)情況中a的范圍的交集；方法3與方法4均利用了必要性解題策略（可以在的基礎(chǔ)上求函數(shù)f（x）的最值來(lái)檢驗(yàn)結(jié)論），利用a的邊界值（上界）進(jìn)行消元，以靜制動(dòng)，其中方法3利用分段函數(shù)的性質(zhì)，方法4直接利用（多個(gè)絕對(duì)值的和）函數(shù)最值的性質(zhì)直接求解；方法5為數(shù)形結(jié)合法，通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖像直觀地得出問(wèn)題的結(jié)論.深度學(xué)習(xí)的程度決定著解題方法的優(yōu)劣，思維水平高的學(xué)生能審時(shí)度勢(shì)、氣定神閑地選用解題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)一招制敵；反之，思維水平低的學(xué)生常常望文生義、跼蹐不安中嘗試解題的“原始”方案，往往勞而無(wú)功.

5.文化底蘊(yùn)淡薄，流于形式

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和追求形式化的特點(diǎn).目前，中學(xué)數(shù)學(xué)教育往往篩去了“文化”（數(shù)學(xué)精華），只留下“技術(shù)”（機(jī)械操作），將數(shù)學(xué)演變?yōu)榧兇馔评砼c計(jì)算的科學(xué)，淪為考試測(cè)試的工具，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思想和精神了解膚淺，對(duì)數(shù)學(xué)宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握粗陋，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)索然無(wú)趣甚至心生厭惡.解題時(shí)在封閉的“孤島”上搜尋、演繹著可靠的邏輯，呆板地、枯燥地演練充斥著符號(hào)、數(shù)字的游戲.缺乏鮮活思維的勞作，難以激發(fā)學(xué)生的興趣，無(wú)法提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和鑒別能力，更談不上領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的魅力.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線BD和AC相交且交E于B、D兩點(diǎn)，使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出直線BD的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)：第（1）問(wèn)的兩種解法均為常規(guī)解法，上面給出第（2）問(wèn)的解法為通性通法.為什么OM的斜率是，四邊形ABCD的面積最大值為，你能一眼看出它嗎？結(jié)論是否具有一般性？通過(guò)坐標(biāo)的伸縮變換可知（基本結(jié)論證明較為簡(jiǎn)單，證明過(guò)程略）：對(duì)于橢圓（a＞b＞0），通過(guò)x′=x，y′=my （ 其 中）進(jìn)行變換，橢圓變換為圓x2+y2=a2，變換前坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A，B，C，…與變換后坐標(biāo)系x′Oy′內(nèi)的點(diǎn)A′，B′，C′，…對(duì)應(yīng).則有以下結(jié)論：①若A，B，C三點(diǎn)共線，則A′，B′，C′三點(diǎn)仍然共線；若AB∥CD，則A′B′∥C′D′；②若AB的斜率為k，則A′B′的斜率為mk；若C分線段AB的比為λ，則C′分線段A′B′的比為λ；特別的，若C為線段AB的中點(diǎn)，則C′為線段A′B′的中點(diǎn)（其中k為AB的斜率）；④變化后封閉圖形的面積是變換前對(duì)應(yīng)封閉圖形面積的m倍，如S△A′B′C′=mS△ABC.

數(shù)學(xué)文化主要包括數(shù)學(xué)的歷史、思想、方法、精神，以及數(shù)學(xué)與人類(lèi)其他知識(shí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)等.只有弄清問(wèn)題的背景，通曉來(lái)龍去脈，才能知其然并知其所以然，在學(xué)到問(wèn)題結(jié)論的同時(shí)，深化了對(duì)問(wèn)題的過(guò)程性理解，感悟了兩者之間的聯(lián)系，顯示了數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值.美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因早在1986年就批評(píng)過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)：“各級(jí)各類(lèi)小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)都把數(shù)學(xué)作為一門(mén)孤立的學(xué)科來(lái)講授，而很少將其與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái).”［5］我們的教學(xué)在為學(xué)生的升學(xué)考試負(fù)責(zé)的同時(shí)，更要對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展和幸福人生負(fù)責(zé)，采用文化育人，繼承與發(fā)展無(wú)數(shù)先哲為我們留下的寶貴的精神財(cái)富.

二、教學(xué)思考

1.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

美國(guó)教育家戈溫認(rèn)為：“教材是好的思維或情感的媒介，是思想或過(guò)程的權(quán)威記錄，是概念或知識(shí)實(shí)體的編制者，是增加意義和豐富經(jīng)驗(yàn)的刺激物，是具有潛能可促使新事件發(fā)生的過(guò)去事件的記錄.”回歸教材是前提，夯實(shí)基礎(chǔ)是保證，提升能力是目標(biāo).目前，很多教師無(wú)視教材，熱衷于在魚(yú)龍混雜的各種資料中游弋.對(duì)照各類(lèi)試題，能夠清楚地發(fā)現(xiàn)“題在書(shū)外，根在書(shū)中”.它們或是教材內(nèi)容的遷移，或是教材例習(xí)題的簡(jiǎn)單變式、重組或拓展，或以教材閱讀材料為背景設(shè)置問(wèn)題等.如例5的本質(zhì)為含兩個(gè)或以上絕對(duì)值的函數(shù)的最值問(wèn)題，文獻(xiàn)6中有第四章“2.1實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)”的問(wèn)題3：如圖6，在一條彎曲的河道上，設(shè)置了6個(gè)水文監(jiān)測(cè)站.現(xiàn)在需要在河邊建一個(gè)情報(bào)中心，從各監(jiān)測(cè)站沿河邊分

別向情報(bào)中心輔設(shè)專用通訊電纜，怎樣刻畫(huà)專用通訊電纜的總長(zhǎng)度？（分析與解答略）而以此為載體的高考試題有：2014年全國(guó)卷Ⅱ文理科第24題，2014年安徽卷文理科第9題，2014年福建卷文科第12題，2014年江西卷理科第11題、文科第15題，2014年重慶卷理科第16題，2016年全國(guó)丙卷文理科第24題等，以此為載體的自主招生題有2011年北約自主招生第7題等.絕對(duì)值個(gè)數(shù)的多寡及函數(shù)是否含有參數(shù)決定著試題解決的難易程度，進(jìn)而區(qū)分學(xué)生思維水平的高低.例6源自選修4-4第一章第1節(jié)“平面直角坐標(biāo)系”（1.1 平面直角坐標(biāo)系與曲線方程，1.2平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換），類(lèi)似的問(wèn)題有必修2第一章第2節(jié)直觀圖（直觀圖的畫(huà)法及原理）等，通過(guò)教材深度解讀及深入學(xué)習(xí)，以上問(wèn)題的解決水到渠成.

圖6

在高考復(fù)習(xí)時(shí)，（1）重新精讀教材內(nèi)容，升華對(duì)知識(shí)、思想方法的理解.仔細(xì)琢磨正文內(nèi)容，品味對(duì)正文的注解與旁批.理清問(wèn)題的引入、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、分析、總結(jié)等過(guò)程，感悟解決問(wèn)題的基本脈絡(luò)，從新的高度去溫習(xí)，可以形成一個(gè)更完整的認(rèn)識(shí)、更全面的理解.（2）挖掘教材例題和習(xí)題，強(qiáng)化例習(xí)題的遷移能力.新課學(xué)習(xí)時(shí)往往局限于基本任務(wù)的達(dá)成，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)從一題多解、一題多變、多題一解等角度重新審視，從命題者的角度對(duì)試題進(jìn)行加工與整合，從解題者的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解構(gòu)，并盡可能從現(xiàn)象中揭示本質(zhì).（3）通過(guò)拓展性欄目深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用.閱讀材料等拓展性欄目對(duì)教材相關(guān)內(nèi)容、思想的注解與延伸，新課學(xué)習(xí)時(shí)限于認(rèn)知水平，往往無(wú)法準(zhǔn)確領(lǐng)略其內(nèi)涵，復(fù)習(xí)時(shí)要從更高的角度系統(tǒng)地理解該內(nèi)容的博大精深.如通過(guò)必修2第一章的課題學(xué)習(xí)（正方體截面的形狀）來(lái)加深對(duì)截面及其性質(zhì)的理解與應(yīng)用.

2.重視探究，強(qiáng)化過(guò)程

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生在師生、生生對(duì)話交流中思維砥礪、增智怡情的過(guò)程.探究既是學(xué)習(xí)的主要特點(diǎn)，也是新課程改革所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式.探究教學(xué)是指在教師的指導(dǎo)下學(xué)生運(yùn)用探究的方式方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力的實(shí)踐活動(dòng).高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出“數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵”.寧連華等通過(guò)研究認(rèn)為：“數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的主流形式不是調(diào)查、實(shí)驗(yàn)性活動(dòng)，而是突出表現(xiàn)在以思維活動(dòng)為特征的問(wèn)題探索或解難題范疇.”［7］重視過(guò)程教學(xué)，就是讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分利用已有知識(shí)及生活經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)探求新知，把教材的間接經(jīng)驗(yàn)通過(guò)自身實(shí)踐去重新發(fā)現(xiàn)，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生正是通過(guò)探求知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，各種能力才得以發(fā)展.如：已知數(shù)列｛an｝共有9項(xiàng)，其中a1=a9=1，且對(duì)應(yīng)每個(gè)i∈｛1，2，3，…，8｝，均有則數(shù)列｛an｝的個(gè)數(shù)是_____.如何通過(guò)一系列運(yùn)算保證a1=a9=1呢？（面對(duì)相對(duì)陌生的問(wèn)題，產(chǎn)生了一定的認(rèn)知沖突）從首尾的狀態(tài)看，結(jié)果不變，需要怎樣的變換才能保證結(jié)果的“不變性”？（適度有效的自我引導(dǎo)或教師引導(dǎo)）平移變換或伸縮變換中加法與乘法的單位元是什么？現(xiàn)實(shí)情境與等比數(shù)列模型差異在哪里？（探尋相應(yīng)的知識(shí)能力儲(chǔ)備）數(shù)字“2，1，-”各需貢獻(xiàn)幾個(gè)？以哪一個(gè)數(shù)字為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)？（通過(guò)較強(qiáng)的反思監(jiān)控能力優(yōu)化解題過(guò)程）通過(guò)數(shù)列與變換的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可知（1≤i≤8）中有2k個(gè)2，2k個(gè)-，8-4k個(gè)1，且k的所有可能取值為0，1，2，數(shù)列｛an｝的個(gè)數(shù)是491.教師稚化自己的思維是化解難點(diǎn)的有效途徑，稚化思維是指在教學(xué)活動(dòng)中，教師把自己的外在學(xué)術(shù)性的話語(yǔ)權(quán)威隱蔽起來(lái)，不以知識(shí)豐富的指導(dǎo)者自居，而是把自己的思維降格到學(xué)生的思維水平，充分關(guān)注學(xué)生的原有知識(shí)儲(chǔ)備和經(jīng)驗(yàn)背景，有意識(shí)地返回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的思維，切合學(xué)生的心態(tài)，以與學(xué)生同樣的認(rèn)知興趣、同樣的學(xué)習(xí)情緒、同樣的思維情境、同樣的探究行為來(lái)完成教學(xué)的和諧共創(chuàng)，從而達(dá)到和學(xué)生的思維保持同頻共振的一種教學(xué)藝術(shù).通過(guò)過(guò)程探究，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生從貼地而行到云端跳舞.

3.構(gòu)建整體，理性思辨

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不只是為了會(huì)解某道題或某類(lèi)題，更重要的是激活與發(fā)展學(xué)生的思維，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果的最終表現(xiàn)形式應(yīng)該是學(xué)生變得越來(lái)越聰明.整體是事物的一種真實(shí)存在形式.數(shù)學(xué)也是一個(gè)整體，數(shù)學(xué)中的整體性既體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上.當(dāng)我們遇到一個(gè)問(wèn)題時(shí)，能自發(fā)立足局部、著眼整體，系統(tǒng)思維、理性思辨，發(fā)散中謀求策略方法，收斂中聚焦思維優(yōu)化.如例2中整體與局部的思辨，例3三角函數(shù)內(nèi)外的考量，例4第（2）問(wèn)傳統(tǒng)方法與向量坐標(biāo)法的比較等.又如：已知向量a，b的夾角為，|a|=1，若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，

|xa+2b|≥|a+b|恒成立，則|b|的取值范圍是________.可將條件“|xa+2b|≥|a+b|”平方整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用其判別式不大于0即得解法1，解法2是坐標(biāo)法，向量是代數(shù)與幾何溝通的橋梁，嘗試從向量和的幾何意義出發(fā)，如圖7所示，由可求得結(jié)果，即為解法3.

圖7

4.精心設(shè)計(jì)，教育無(wú)痕

德國(guó)一位學(xué)者有過(guò)一個(gè)精辟的比喻：將15克鹽放在你的面前，無(wú)論如何你難以下咽.但當(dāng)將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你在享用佳肴時(shí)，就將15克鹽全部吸收了.這表明要達(dá)成好的結(jié)果，手段與方法同樣重要.教育是心靈與心靈的融合，是靈魂與靈魂的對(duì)話，是智慧與智慧的碰撞，是生命與生命的互動(dòng).無(wú)痕教育是指把教育意圖和目的隱蔽起來(lái)，通過(guò)間接、暗示或迂回的方式（不知不覺(jué)、潛移默化、不留痕跡），給學(xué)生以教育的教育方式.它既是一種教育方式，更是一種育人技巧，是一種教育的美學(xué)哲學(xué)境界.將教育的意圖掩蓋起來(lái)，一種充滿人性關(guān)懷的超凡的教育智慧.教育無(wú)痕，彰顯出教育的最高境界：似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋潤(rùn)著生命；雖無(wú)痕，卻有聲有色；雖無(wú)痕，卻有滋有味；雖無(wú)痕，卻如歌如樂(lè)，如詩(shī)如畫(huà).德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)過(guò)：“我們認(rèn)為，教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授的本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞，而沒(méi)有興奮的情緒怎么能激勵(lì)人，沒(méi)有主動(dòng)性怎么能喚醒沉睡的人，沒(méi)有生機(jī)勃勃的精神怎么能鼓舞人呢？”贊可夫指出：“教學(xué)法一旦能觸及學(xué)生的情緒和意志領(lǐng)域，觸及學(xué)生的精神需要，這種教學(xué)法就能發(fā)揮高度有效的作用.”陶行知先生也有一個(gè)精辟的比喻“接知如接枝”.他說(shuō)：“我們要把自己的經(jīng)驗(yàn)做根，以這經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的知識(shí)做枝，然后別人的知識(shí)方才可以接得上去，別人的知識(shí)方才成為我們知識(shí)的一個(gè)有機(jī)部分.”如例1中構(gòu)造函數(shù)并賦值能極大地激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引領(lǐng)其自發(fā)地思考解法的緣由.教師在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)，用自己熱誠(chéng)、激情、真情帶動(dòng)學(xué)生的熱誠(chéng)、激情、真情.只有激情和真情才會(huì)在師生之間產(chǎn)生一種互相感染的效應(yīng)，從而不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，喚起學(xué)生的求知欲，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，進(jìn)而構(gòu)建知識(shí)體系，激活數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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