多想少算視角下2017年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題分析*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃成世

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

多想少算視角下2017年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題分析*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃成世

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué)，其核心價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)就是想問(wèn)題和想問(wèn)題如何解決.因此，高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念.［1］“多想少算”就自然成為高考數(shù)學(xué)命題的基本原則.研究發(fā)現(xiàn)，“多想少算”的命題理念在2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（共六套）中得到了充分體現(xiàn)，值得思考與玩味.這六套試題中的一些題目，若能靈活運(yùn)用“多想少算”的一些策略（如利用重要結(jié)論，利用對(duì)稱性，利用補(bǔ)體法，觀察法，將問(wèn)題特殊化，利用極限，發(fā)掘隱含條件，回避分類討論，利用設(shè)而不求等），就能充分感受“多想少算”的威力與魅力.

一、利用重要結(jié)論

利用重要結(jié)論解題，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，尤其是對(duì)于選擇題和填空題可以達(dá)到秒殺的效果.需要說(shuō)明的是，數(shù)學(xué)中的重要結(jié)論不應(yīng)去死記硬背，而是應(yīng)在理解或直覺(jué)的基礎(chǔ)上去記憶.

例1（2017年全國(guó)卷Ⅰ理）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

二、利用對(duì)稱性

對(duì)稱美是一種重要的數(shù)學(xué)美.高考命題專家特別青睞用“對(duì)稱美”理念設(shè)計(jì)試題.考生若有數(shù)學(xué)審美意識(shí)，充分發(fā)掘題目中的數(shù)學(xué)美的信息（包括圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等），往往能快速找到解題思路，并大幅度減少運(yùn)算量，從而達(dá)到“想美少算”的目的.

例2（2017年全國(guó)卷Ⅲ理）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（ ）.

解析：由于函數(shù)y=x2-2x的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，且函數(shù)ex-1+e-x+1的圖像也關(guān)于x=1對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱.又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有唯一零點(diǎn)，所以零點(diǎn)只能為x=1，因此（f1）=-1+2a=0，解得.故選C.

例3 （2017年全國(guó)卷Ⅰ文）已知函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x），則（ ）.

A.f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增

B.f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減

C.y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱

解析：由于f（2-x）=ln（2-x）+lnx=f（x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故選C.

評(píng)注：如果函數(shù)f（x），滿足?x∈D，恒有f（a+x）=f（bx），那么函數(shù)的圖像有對(duì)稱軸；如果函數(shù)f（x），滿足?x∈D，恒有f（a-x）=-f（b+x），那么函數(shù)f（x）的圖像有對(duì)稱中心這兩個(gè)結(jié)論是處理對(duì)稱問(wèn)題的基本工具，很有用.

三、利用補(bǔ)體法

補(bǔ)體法的本質(zhì)是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問(wèn)題.補(bǔ)體法就是將原已知幾何體進(jìn)行修補(bǔ)與改造（即“造形”），使新幾何體成為比較熟悉的特殊的幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、錐體、臺(tái)體、球體等，再利用新幾何體的性質(zhì)，探求問(wèn)題簡(jiǎn)便解法的思想方法.“造形”是構(gòu)造圖形的簡(jiǎn)稱.“造形”含有創(chuàng)造性的成分，這需要考生具有創(chuàng)新意識(shí).

例4（2017年全國(guó)卷Ⅱ理）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）.

解析：此題把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，把直線BC1平移到AD1，則異面直線AB1與BC1所成角為∠B1AD1.

因?yàn)椤螦BC=120°，所以∠B1A1D1=180°-120°=60°，從而

在△AB1D1中，由余弦定理，得cos∠B1AD1=，故選D.

例5 （2017年全國(guó)卷Ⅲ理）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是______.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）

解析：由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，所以在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖1所示，連接DE，則DE⊥BD，所以DE∥b.

老頭子慢慢的從一堆破舊衣服里爬出來(lái)，露出一個(gè)白發(fā)蒼蒼滿是熱汗的頭顱，發(fā)紅的小臉上寫著疲倦的微笑，離開了傀儡后，就把傀儡重新扶起，自言自語(yǔ)的說(shuō)著：“王九，好小子，你真干。你瞧，我說(shuō)大爺會(huì)來(lái)，大爺不全來(lái)了嗎？你玩得好，把趙四這小子扔倒了，大爺會(huì)大把子銅子兒撒來(lái)，回頭咱們就有窩窩頭啃了。瞧，你那臉，大姑娘樣兒。你累了嗎？怕熱嗎？（他一面說(shuō)一面用衣角揩抹他自己的額角。）來(lái)，再來(lái)一趟，好勁頭，咱們趕明兒還上南京國(guó)術(shù)會(huì)打擂臺(tái)，給北方掙個(gè)大面子！”

圖1

由圖可知③正確.

很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，則直線AB與a所成角的最大值為90°，④錯(cuò)誤.

故選②，③.

四、觀察法

觀察是認(rèn)識(shí)事物的基本方法，也是尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之思路的基本策略.

例6 （2017年全國(guó)卷Ⅱ文）過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M（M在x軸上方），l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則點(diǎn)M到直線NF的距離為（ ）.

思路2：由于直線l過(guò)焦點(diǎn)，容易聯(lián)想到圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程

五、將問(wèn)題特殊化

運(yùn)用特殊化策略是解答選擇題和填空題最常用的簡(jiǎn)便方法.從特殊到一般是人們思考問(wèn)題的根本方法，也是探求解題思路的基本策略.［1］

解析：對(duì)于一些選擇題和填空題，可以用特殊值法解之.可令m=1，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)M在y軸上時(shí)，剛好滿足∠AMB=120°且是最大值，如果再增大m很明顯不成立，排除B、D.再令m=4，則焦點(diǎn)在y軸上，通過(guò)計(jì)算最大值∠AMB≤120°，故選A.

六、利用極限

利用極限的思想方法，可以簡(jiǎn)潔明快地判斷超越函數(shù)在極限狀況下的圖像趨勢(shì).

圖2

解析：當(dāng)x→+∞，則y→+∞，所以排除B、C；當(dāng)x→0，y→+∞，排除A，故選D.

七、發(fā)掘隱含條件

解析：本題要抓住以b為半徑作圓A，根據(jù)雙曲線的圖像性質(zhì)，則必定有A與M（N）的連線垂直x軸.又因?yàn)椤螹AN=60°，則，又由a2+b2=c2，則

評(píng)注：本題解法充分運(yùn)用挖掘隱含條件的方法，表面上可能只是把b當(dāng)作圓A的半徑，但更深的挖掘卻發(fā)現(xiàn)能與雙曲線的虛半軸長(zhǎng)b聯(lián)系起來(lái)，使本題的計(jì)算量大大減少.

八、回避分類討論

評(píng)注：這里巧妙地避免了對(duì)x取值范圍的全面討論，使解答顯得簡(jiǎn)潔明快.

九、利用設(shè)而不求

“設(shè)而不求”是一種很有用的數(shù)學(xué)解題策略，采用設(shè)而不求的方法，往往可以避免盲目推理和計(jì)算而造成的大量煩瑣工作，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷、快速的解題效果.

例11 （2017年全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

解析：設(shè)2x=3y=5z=t，則t＞1.

由2x=t，得2x=2log2t=log2t2，即

即有3y＜2x＜5z.故選D.

“多想少算”作為一種基本的數(shù)學(xué)解題策略，遠(yuǎn)不止上述九種，還有很多.在2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（共六套）中，涉及“多想少算”的題目也并不止這些題目，其他一些題目也明含或暗含了“多想少算”的理念，值得研究.

1.趙思林，李興貴.多想少算——解高考數(shù)學(xué)題的基本策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（12）.被人大復(fù)印《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2011年4期全文轉(zhuǎn)載.F

教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（ZY16001）；內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級(jí)學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目（T160009，T160010，T160011）．趙思林系本文通迅作者.