行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性

章茜

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 浙江 杭州 310053)

行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性

章茜

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 浙江 杭州 310053)

負(fù)相依在統(tǒng)計(jì)分析和可靠性理論中有著廣泛的應(yīng)用.研究了一類行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性.利用矩不等式和有效的截尾方法,建立了行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性的充要條件,從而推廣了吳群英等建立的關(guān)于一類NA隨機(jī)變量序列的完全收斂性的結(jié)論.

行為兩兩NQD陣列;加權(quán)和;完全收斂性

0 引 言

定義1對于隨機(jī)變量X和Y,若?x,y∈R,有

P(X≤x,Y≤y)≤P(X≤x)P(Y≤y),

則稱X和Y是NQD(negatively quadrant dependent)的;若?i≠j,Xi和Xj是NQD的, 則稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是兩兩NQD列.

上述定義由統(tǒng)計(jì)學(xué)家LEHMAMN[1]于1966年提出. 兩兩NQD列是一類非常廣泛的隨機(jī)變量序列, 例如兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量列以及NA(negative association)[2]列就是其特例. 因此, 對兩兩NQD列的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值. 目前,關(guān)于兩兩NQD列的極限研究已有許多結(jié)果,詳見文獻(xiàn)[3-7].近年來,GUT等[8]獲得了一類獨(dú)立同分布且均值為零的隨機(jī)變量序列的完全收斂性,吳群英等[9]將其推廣到NA隨機(jī)變量序列的情形.受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文將文獻(xiàn)[9]的定理1.3推廣到更為一般的行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的情形.

定義2隨機(jī)變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}被隨機(jī)變量X控制是指:如果存在一常數(shù)C>0,使得對任意的n≥1,i≥1,x≥0,有P(|Xni|≥x)≤CP(|X|≥x).

本文中,an?bn表示存在常數(shù)c>0,使得對所有n≥1, 有an≤cbn.an≈bn表示對所有n≥1, 有an?bn以及bn?an.I(A)表示集合A的示性函數(shù),#A表示集合A中元素的個數(shù).

1 引 理

引理1[3]設(shè)隨機(jī)變量X和Y是NQD的,則

(1)EXY≤EXEY;

(2)對?x,y∈R,有P(X>x,Y>y)≤P(X>x)P(Y>y);

(3)若f,g同為非降(或非增)函數(shù),則f(X)與g(Y)仍為NQD的.

則有

引理3[7]令{Xn,n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量列, 那么對于任意的n≥1以及x≥0, 有

2 主要結(jié)果及證明

E|X|exp(lnα|X|)<∞

(1)

(2)

證明先證式(1)?式(2).

aniXniI(|aniXni|≤bn)+bnI(aniXni>bn),

(aniXni-bn)I(aniXni>n).

注意到

因此欲證式(2)，只需證明

由EXni=0及Markov不等式，先證

E|X|exp(lnα|X|)<∞蘊(yùn)含著

(至少存在2個k，使得ankXnk>bn).

則

E|X|exp(lnα|X|)<∞.

現(xiàn)在, 證明式(2)?式(1). 顯然,式(2)蘊(yùn)含著

(3)

則有

因此, 對于足夠大的n，有

由引理1得{aniXni}仍然為兩兩NQD陣列. 由引理3,有

(4)

由式(3)及式(4), 有

根據(jù)I4<∞的證明過程,

E|X|exp(lnα|X|)≈

證畢.

注文獻(xiàn)[9]定理1.3描述的是一類NA隨機(jī)變量序列的完全收斂性定理，本文將此定理推廣到更一般的行為兩兩NQD隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的情形，在增加權(quán)條件的基礎(chǔ)上，通過采用不同的截尾方法，亦得到了類似的結(jié)論.

[1]LEHMAMNEL.Someconceptsofdependence[J].AnnMathStat,1966,37:1137-1153.

[2] JOAG-DEVK, PROSCHAN F. Negative association of random variables with applications[J].Ann-Statist,1983(11):286-295.

[3] 吳群英.兩兩NQD列的收斂性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,45(3):617-624. WU Q Y. Convergence properties of pairwise NQD random sequences[J].ActaMathematicaSinica,2002,45(3):617-624.

[4] 陳平炎.兩兩NQD隨機(jī)序列的Lr收斂性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A輯,2008,28(3):447-453. CHEN P Y.Lrconvergence for pairwise NQD random variables[J].ActaMathematicaScientia:SerA,2008,28(3):447-453.

[5] 方煒，郭明樂.行為兩兩NQD陣列加權(quán)和的矩完全收斂性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(5):761-772. FANG W, GUO M L. Complete moment convergence of weighted sums for arrays of row-wise pairwise NQD random variables[J].ChineseJournalofEngineeringMathematics,2013,30(5):761-772.

[6] 邱德華,甘師信.兩兩NQD列隨機(jī)變量序列的完全收斂性[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,59(3):285-290.

QIU D H, GAN S X. Complete convergence for sequence of pairwise NQD random variables[J].JournalofWuhanUniversity:NaturalSciencesEdition,2013,59(3):285-290.

[7] MI-HWA K. On Complete convergence for weighted sums of pairwise negatively quadrant dependent sequences[J].CommunicationsofKoreanStatisticalSociety,2012,19(2):247-256.

[8] GUT A, STADTMULLER U. An intermediate Baum-Katz theorem[J].StatistProbabLett,2011(10):1486-1492.

[9] WU Q Y, JIANG Y Y. Complete convergence and complete moment convergence for negatively associated sequences of random variables[J].JournalofInequalitiesandApplications,2016(1):1-10.

[10] LI D L, RAO M B, WANG X C. Complete convergence of moving average processes[J].StatistProbabLett,1992(14):111-114.

ZHANG Qian

(Mathematics Teaching and Research Section, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China)

Negative dependence is important and widely used in multivariate statistical analysis and reliability theory. The purpose of this paper is to study a kind of complete convergence for weighted sums of pairwise negatively quadrant dependent (NQD) sequences withEX=0,E|X|exp(lnα|X|)<∞,α>1.By applying moment inequality and truncation methods, the sufficient conditions of complete convergence theorem of weighted sums for arrays of row-wise pairwise NDQ random variables are established, which extends to the case of weighted sums of pairwise negatively quadrant dependent sequences with imposing weighted condition. Our results generalize corresponding result obtained by WU et al.

arrays with row-wise pairwise negatively quadrant dependent sequences; weighted sums; complete convergence

O 211.4

：A

：1008-9497(2017)05-538-04

2016-10-06.

章茜(1984-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2955-4600，女，碩士，講師，主要從事概率極限理論研究，E-mail：qiwa_007@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.007

Completeconvergenceforweightedsumsofarrayswithrow-wisepairwisenegativelyquadrantdependentsequences. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(5):538-541