從數學史中尋找教學智慧

吳潔瑩+劉逸晴+徐章韜

【摘要】將重構法運用于“求曲邊梯形的面積”這一節(jié)的教學，通過重構法重現(xiàn)數學知識的發(fā)生發(fā)展過程，設計教學活動，使學生獲得數學活動經驗.該課例表明，通過對數學教學問題產生原因的分析，能從數學史的角度提出解決這些問題的方法.

【關鍵詞】教學設計；數學史；重構法

1引言

目前數學教學中最主要的問題就是教師缺少好方法，教學方式缺乏新觀念，以致學生沒興趣.產生這些問題的原因主要有兩個方面：教師因素和學情因素.應試教育在我國數學教育中根深蒂固，雖然新課改以來，教師的觀念有所改變，但是多數的教學還是采取題海戰(zhàn)術；其次，教師對于學生的學習能力和學習心理掌握的不夠好，即沒有進行學情分析，這就導致在教學中難以實現(xiàn)教學目標.另外，雖然教材凝固了教材編寫者的心血，數學知識的精華，思想方法的精粹，但是從學生的角度來看數學教材，教材上的知識過于精簡；其次，學生覺得數學是枯燥無味的，數學知識的學習是充滿困難和挫折的，數學只是用來解題的，在生活中用處不大.下面，將從數學史的角度探索如何解決這些問題.

2方法

杜威說“教育就是經驗的改組或者改造”，學生數學學習的過程就是建立在已有經驗基礎之上的一個自我再創(chuàng)造的過程.從數學史中尋找智慧，即是從數學史尋找學生需要的數學活動經驗，以此幫助學生掌握數學知識.數學史揭示了數學概念、數學思想、數學術語的起源與發(fā)展歷史，數學公式、定理的發(fā)現(xiàn)過程，數學史還告訴我們數學是一種文化，數學與人類的其他領域有著密切的關系[1]，因此將數學史融入數學教學對于提高學生的學習興趣、指導教師設計好的教學過程，補充精簡的數學教材，改進當前的數學教學發(fā)展現(xiàn)狀有著一定的作用.將數學史中的智慧具體為學生需要的數學活動經驗的處理方法有以下三種：借鑒法、拓展法和重構法.

2.1借鑒法

借鑒不僅僅是指套用他人的成果，更多的是指借鑒他人的研究思路，實驗方法.運用借鑒法并不需要多大的創(chuàng)新，只需要參考歷史上數學家們的研究思路去教學.有研究表明數學家們的研究思路是符合學生的數學學習心理的，因此借鑒前人的研究思路和實驗方法，更容易發(fā)現(xiàn)在數學學習中學生所存在的一些知識上的問題.

2.2拓展法

拓展法是指從數學發(fā)生發(fā)展過程中產生的數學思想方法、概念、定理、公式中提煉出能夠豐富學生的精神境界，提高學生數學素養(yǎng)的各種養(yǎng)份，如個人吃苦耐勞、刻苦鉆研的精神，愛國主義精神，辯證唯物主義世界觀等等，并適時地滲透在課堂之中.在數學教學中，要讓學生明白數學是人類的一種文化活動，是人創(chuàng)造了數學，因此在數學學習碰到挫折困難是正常的，不必灰心喪氣，勇敢地面對困難才是正解.

2.3重構法

重構式是數學史融入數學教學的一種常用方法.重構源于計算機中程序代碼優(yōu)化的需要，將重構式運用于數學史與數學教育的融合中，就是重現(xiàn)一個知識點在數學史上發(fā)生、發(fā)展過程，以此獲得數學活動經驗，并運用發(fā)生教學法進行教學[1].教師不是將現(xiàn)成的知識教給學生，而是借助于歷史發(fā)展進行教學活動設計，實現(xiàn)知識的再創(chuàng)造，引導學生經歷數學史中數學概念、思想、方法發(fā)生發(fā)展的路徑，讓學生在過程中獲得數學活動經驗.重構式利用數學史能夠讓學生在知其然的基礎上知其所以然，以此了解知識的發(fā)生發(fā)展歷程，加深學生對知識概念的理解.重構式是指借鑒或重構知識發(fā)生、發(fā)展歷史，采用發(fā)生教學法進行教學.

3應用

在“曲邊梯形的面積”中，課本上是直接給出曲邊梯形的概念，然后給出思考題讓學生思考：如何將曲邊圖形轉化為直邊圖形？這一過程有些直接且容易使學生一頭霧水，但若重構割圓術的歷史，將其運用在求曲邊梯形的面積上，在教學中將能取得比書本上更好的結果.下文將以“曲邊梯形的面積”這一節(jié)為例，詳述如何重構割圓術知識，設計數學活動，從數學史中獲得數學活動經驗.

3.1知識特點類比

曲邊梯形面積是普通高中課程標準實驗教材教學（人教A版）《選修22》第一章“導數及其應用”中的第五節(jié)“定積分的概念”的第一課時，在學習曲邊梯形的面積之前，學生在必修3已經簡單學習過割圓術，“曲邊梯形的面積”這節(jié)課是學習定積分的導入課，教學的重點就是怎樣求曲邊梯形的面積.在劉徽用割圓術求圓的面積這種方法出現(xiàn)之前，人們只知道如何求直邊圖形的面積，如矩形、三角形的面積公式，而對怎樣求曲邊圖形的面積一無所知.把割圓術的方法運用到求曲邊梯形的面積上，就要考慮圓和曲邊梯形的相似點，經比較可得兩者具有的相似點有四個：一，都是幾何圖形；二，都是曲邊圖形；三，都可以進行分割；四，都沒有固定的、已知的求面積公式.

因此，劉徽能夠用割圓術的方法求出圓的面積，我們也可以重構割圓術知識求出曲邊梯形的面積.從割圓術中獲得分割、替代，求和，取極限的方法就是課程標準中要求學生掌握的數學活動經驗，重構割圓術知識就是提供求曲邊梯形的面積需要的數學活動經驗.

3.2思想方法類比

割圓術中采用的方法是用圓內切正多邊形的面積，無限逼近圓的面積.與圓周合體的這個正多邊形，就是不可再割的這個正多邊形，將其進行無窮小分割，再分割成無窮多個以圓心為頂點，以多邊形每邊為底的無窮多個小等腰三角形，這個底乘半徑為小三角形面積的兩倍，把所有這些底乘半徑加起來之和就是圓面積的兩倍，這其中就蘊含了以直代曲，無限逼近的思想.通常的“曲邊梯形的面積”這一節(jié)課的教學設計是這樣的：創(chuàng)設情境-提出概念-引導探究-應用新知-歸納總結-布置作業(yè).在以教師為教學主導的情況下，考慮到教學時間等因素，運用這種教學模式，教師往往會提醒學生用矩形分割曲邊梯形，分割時要等距的分割，分割后要先求和再取極限.但是為什么用矩形進行分割？為什么等距分割？為什么可以取極限等緣由并沒有給學生講清楚，學生會的也僅僅是運用四大步驟求曲邊梯形的面積，數學思想方法并不能滲透給學生.若能夠在“曲邊梯形的面積”這一節(jié)的教學時，從重構割圓術知識的角度進行教學設計將能取得更好的結果.endprint

以求一塊曲邊形的面積為例引出曲邊梯形的概念，回顧思考曲邊梯形與曾學過的哪些圖形相類似，引導學生回憶起圓也是曲邊圖形，再引出求圓面積的方法——割圓術，利用幾何畫板將割圓術的四大步驟（分割，近似替代，求和，取極限）逐步呈現(xiàn)，每呈現(xiàn)一個步驟就類比地讓學生思考如何去求曲邊梯形的面積，以此激發(fā)學生主動探究求曲邊梯形的面積的興趣，最后歸納出求曲邊梯形的面積的步驟，布置作業(yè).這樣的教學模式有利于學生掌握分割替代的方法，求和取極限的思想.

3.3活動經驗類比

利用重構法從割圓術中獲取智慧，獲得數學活動經驗，其關鍵在于能夠從割圓術中獲得分割曲邊梯形的工具與方法.割圓術中分割圓的工具是三角形，所以重構割圓術歷史時會發(fā)現(xiàn)分割曲邊梯形的工具也可以用直邊圖形，具體的直邊圖形是什么？可以是矩形，是梯形，最后用矩形進行分割，是為了計算時更簡單方便；割圓術分割圓的具體方法是用圓的內切正多邊形面積無限逼近圓的面積，用若干個全等三角形分割內切正多邊形，取極限就是為了使內切正多邊形的面積等于圓的面積，所以重構割圓術歷史時會發(fā)現(xiàn)分割曲邊梯形的方法也應該是用多邊形面積無限逼近曲邊梯形的面積，割圓術是用若干個全等的三角形去分割圓，但對于曲邊梯形來說不可能用若干個全等的直邊圖形分割，故只能對曲邊梯形的底進行等距分割，分割后得到各小矩形的面積，小矩形的面積之和就無限逼近曲邊梯形的面積.

總之，教師在教學中要適時地貫徹“曲邊梯形的面積中”的幾大思想與幾對矛盾：以直代曲，無限逼近的數學思想，有限與無限，近似與精確，直與曲的矛盾關系，幫助學生辯證地思考數學知識概念.

4升華

數學活動經驗的獲得已經成為數學課堂教學關注的主要目標之一，運用數學史的教育價值，以數學史為知識經驗的生長點，再根據歷史相似性原理設計教學活動，將能夠較好地培養(yǎng)學生對數學的基本認知以及個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質和關鍵能力.其理據很簡單：數學史可以幫助教師理解數學，提升個人對數學的洞察力和思考能力；教師將能夠自覺地從數學史中尋找教學智慧，更新教學方式、教學觀念，更好地教學；數學史還可以幫助教師理解學生，通過對數學史的學習，教師將能夠預測學生的數學學習中可能出現(xiàn)的問題，診斷學生認知錯誤的根源，并把其化為教學智慧，從而設計出能夠培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)和數學活動經驗的教學活動[2].

參考文獻

[1]汪曉勤.數學史與數學教育[J].教育研究與評論·中學教育數學，2014（1）：8-14.

[2]徐章韜，汪曉勤.HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘[J].數學教育學報，2016（6）：10-14.endprint