楊虎+吳學(xué)文
數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分,一直受到數(shù)學(xué)教育家的普遍關(guān)注,近年來中考中蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)文化價(jià)值的試題也頗受各地命題者的青睞。本文以近兩年部分省市的中考題為例,賞析中考試題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化。
一、鑲?cè)胫袊糯鷶?shù)學(xué)文化
世界上每個(gè)民族都有自己的文化,也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。古代中國也不例外,其傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著輝煌的成就。中國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用為主,卻也在算法上得到了長足的發(fā)展?!毒耪滤阈g(shù)》中的“勾股”;《周髀算經(jīng)》中的“趙爽弦圖”,都以算法見長;《易經(jīng)》中的方法論、計(jì)數(shù)原理;《算法統(tǒng)宗》里的方程與不等式思想;楊輝(賈憲)三角以及負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開根法,祖沖之的圓周率計(jì)算都是我們寶貴的民族數(shù)學(xué)文化。
例1(2016年孝感)《九章算術(shù)》是東方數(shù)學(xué)思想之源,該書中記載:“今有勾八步,股一十五步,問勾中容圓徑幾何?!逼湟馑紴椋骸敖裼兄苯侨切?,勾(短直角邊)長為8步,股(長直角邊)長為15步,問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少步?!痹搯栴}的答案是 步。
分析:根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊,再由公式[r=a+b-c2]確定出內(nèi)切圓半徑,進(jìn)而得到直徑。
賞析:《九章算術(shù)》共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問題,分為九章。其中第九章“勾股”,利用勾股定理求解的各種問題,絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會生活密切相關(guān)的。本題正是以當(dāng)時(shí)人們的生活為背景提出的數(shù)學(xué)問題,對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活問題的能力起到了很好的訓(xùn)練。這里求解看似信手拈來,實(shí)際上要順利解決本題,要求學(xué)生對勾股定理以及直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式熟練掌握才行。
例2(2016年孝感)如圖1是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,圖中的四個(gè)直角三角形是全等的,如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍,那么[tan∠ADE]的值為 ?
分析:小正方形EFGH面積是[a2],則大正方形ABCD的面積是[13a2],則小正方形EFGH邊長是[a],則大正方形ABCD的邊長是[13a],設(shè)AE=DH=x,利用勾股定理求出x,最后利用正切函數(shù)即可解答。
賞析:《周髀算經(jīng)》原名《周髀》,是算經(jīng)的十書之一,中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作。它在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應(yīng)用,以及怎樣引用到天文計(jì)算。三國時(shí)代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋,并創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,利用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,給出了勾股定理的詳細(xì)證明。故圖1也稱為“趙爽弦圖”。其既具嚴(yán)密性,又具直觀性,為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一,代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。本題以“趙爽弦圖”為平臺,考查了正方形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識點(diǎn),滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。
例3(2016年紹興)我國古代《易經(jīng)》一書中記載,遠(yuǎn)古時(shí)期,人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量,即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”,如圖2,一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié),滿七進(jìn)一,用來記錄孩子自出生后的天數(shù)。由圖可知,孩子自出生后的天數(shù)是( )。
A.84 B.336 C.510 D.1326
分析:本題主要考查規(guī)律探索,因?yàn)椤皾M七進(jìn)一”,所以從右往左依次排列的繩子,分別代表結(jié)繩數(shù)乘以7的0、1、2、3次冪的天數(shù)。
賞析:以《易經(jīng)》規(guī)律為源頭的中華傳統(tǒng)文化的世界觀和方法論包含了:對立統(tǒng)一、陰陽互根、陽逆陰順、此消彼長、物極必反等規(guī)律以及中華文化的核心和精髓——和諧意識。其中結(jié)繩計(jì)數(shù)這種方法,不但在遠(yuǎn)古時(shí)候使用,而且一直在某些民族中沿用下來。在我國古代的甲骨文中,數(shù)學(xué)的“數(shù)”,它的右邊表示一只右手,左邊則是一根打了許多繩結(jié)的木棍:“數(shù)”者,圖結(jié)繩而記之也。本題鑲?cè)搿敖Y(jié)繩計(jì)數(shù)”是對學(xué)生冪的運(yùn)算的考查以及“滿七進(jìn)一”的進(jìn)制的理解。
二、嵌進(jìn)世界歷史中的數(shù)學(xué)文化
中考試題中嵌進(jìn)很多世界歷史中的數(shù)學(xué)文化名人、軼事、名題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識,融知識性與趣味性一體,讓人耳目一新,給學(xué)生提供一個(gè)“面向世界”數(shù)學(xué)的平臺。
例4(2016年株洲)已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)(Fermat point)。已經(jīng)證明:在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中,當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí),P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。若點(diǎn)P是腰長為[2]的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn),則PD+PE+PF= 。
分析:“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn),若給定一個(gè)△ABC的話,從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小,這個(gè)特殊點(diǎn)對于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè)。基于這些理解,學(xué)生能正確作出圖形,問題就順利得到解決。
賞析:皮埃爾·德·費(fèi)馬,法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差,其對數(shù)論最有興趣,亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn),故被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”?!百M(fèi)馬點(diǎn)”在生活中有重要的應(yīng)用,例如“有三個(gè)城市,要蓋一個(gè)交通中心,到這三個(gè)城市的距離最短”就屬于這一類型的問題。數(shù)學(xué)來源于生活,需要我們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的慧眼。
例5(2015年常州)數(shù)學(xué)家哥德巴赫通過研究下面一系列等式,作出了一個(gè)著名的猜想。
4=2+2; 12=5+7;
6=3+3; 14=3+11=7+7;
8=3+5; 16=3+13=5+11;
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11;
……
通過這組等式,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 (請用文字語言表達(dá))。
分析:本題是一道以數(shù)學(xué)家哥德巴赫為背景的新穎試題,其實(shí)質(zhì)是通過已知的幾個(gè)式子尋找規(guī)律,再用文字表達(dá)。當(dāng)然試題直接滲透了對數(shù)學(xué)主流文化的考查,如果學(xué)生喜歡課外閱讀,知道哥德巴赫猜想的話,就可以直接寫出答案。endprint
賞析:謝爾賓斯基地毯是數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基提出的一個(gè)分形圖形,與謝爾賓斯基三角形基本類似,不同之處在于謝爾賓斯基地毯采用的是正方形進(jìn)行分形構(gòu)造, 而謝爾賓斯基三角形采用的等邊三角形進(jìn)行分形構(gòu)造。其將一個(gè)實(shí)心正方形劃分為的9個(gè)小正方形,去掉中間的小正方形,再對余下的小正方形重復(fù)這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。本題是通過幾何圖形的變化,要求學(xué)生從面積關(guān)系上尋找規(guī)律,圖形越“挖”越復(fù)雜,重復(fù)進(jìn)行達(dá)到極限。
三、數(shù)學(xué)文化滲透教學(xué)的思考
1.重視數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值及意義
數(shù)學(xué)文化在本質(zhì)上體現(xiàn)了文化整體育人的基本要求,也是素質(zhì)教育的基本要求。隨著課改的持續(xù)推進(jìn),對數(shù)學(xué)文化的研究也更加深入。中小學(xué)課堂中數(shù)學(xué)文化已滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué),旨在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中真正受到文化感染,產(chǎn)生文化共鳴,體會數(shù)學(xué)的文化品位,體察社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng)。
數(shù)學(xué)文化滲透了數(shù)學(xué)這一門學(xué)科發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì),它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程,而且還探索影響這種過程的各種因素,以及數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對整個(gè)人類文明所帶來的影響。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)史中的重大事件、名人、趣事,不但可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且可以使學(xué)生受到科學(xué)方法論的啟迪,培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀、價(jià)值觀,通過數(shù)學(xué)文化的熏陶,促進(jìn)學(xué)生健全人格的形成,其意義十分重大。
2.正視數(shù)學(xué)文化的教育路徑與手段
注重?cái)?shù)學(xué)文化的育人功能是素質(zhì)教育的一種美好的理念,在具體實(shí)施過程中還需各方努力。特別是一線教師,數(shù)學(xué)文化的教育實(shí)施還有好多工作要做,如何讓所有學(xué)生一樣體驗(yàn)并領(lǐng)會數(shù)學(xué)的文化性,提高每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生更好地適應(yīng)課程改革中不斷出現(xiàn)的變化創(chuàng)新和素質(zhì)教育的新需求等,這些問題將有待于教育專家、一線教師在實(shí)踐中繼續(xù)不斷探索和總結(jié)。數(shù)學(xué)文化教學(xué),也絕不是教學(xué)生簡簡單單地死記硬背幾條數(shù)學(xué)文化知識,而是要遵循繼承、弘揚(yáng)、創(chuàng)新的發(fā)展路徑,注重?cái)?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展,不斷地挖掘、創(chuàng)造性地開展教學(xué)。
筆者以為,在中考試題中滲透數(shù)學(xué)文化,是新課程理念下數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容與能力改革考查的目標(biāo)之一。近幾年來,中考數(shù)學(xué)試題在數(shù)學(xué)文化的考查上作出了大膽的嘗試,諸如本文所列舉的題目都是各地中考數(shù)學(xué)文化試題的典范。但是試題的考查方式與內(nèi)容還是顯得過于單一,所以筆者還是繼續(xù)呼吁中考試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí),應(yīng)當(dāng)注意與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合,注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵,通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式、選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化。當(dāng)然我們也期待更多的專家、教師編撰更多的有思想、有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)文化題目來,讓數(shù)學(xué)文化試題的考查更加厚重,有內(nèi)涵。
(作者單位:甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校;甘肅省隴南市西和縣太石河鄉(xiāng)崖灣小學(xué))
責(zé)任編輯 陳建軍endprint