含源項雙曲守恒方程的保平衡HLL格式*

彭國良，王仲琦，張俊杰，任澤平，謝海燕，杜太焦

（1.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100081；2.西北核技術(shù)研究所，西安 710024）

引言

含源項的雙曲守恒方程在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如氣體動力學(xué)[1]、淺水波[2]、天文模擬[3]、血液流動[4]等.源項的存在會改變方程解的性質(zhì)，當(dāng)方程趨于穩(wěn)態(tài)時，通量梯度與源項應(yīng)處于完全平衡的狀態(tài)，但由于網(wǎng)格離散誤差，傳統(tǒng)的計算格式不能保證平衡狀態(tài)，導(dǎo)致解在平衡態(tài)附近有虛假的振蕩.許多物理問題實際上是穩(wěn)態(tài)解的小擾動，如果計算格式設(shè)計不好，離散誤差可能淹沒實際的擾動解.尤其計算網(wǎng)格較為粗糙時，這種誤差更大.使用非常細(xì)的網(wǎng)格可以減少離散誤差，但對大尺度問題細(xì)網(wǎng)格的計算成本過高.因此，設(shè)計保平衡格式對解決大尺度流動模擬具有重要意義.

為減少平衡態(tài)附近的離散誤差，學(xué)者們發(fā)展了很多保平衡格式.Cui[5]和Ozcan[6]通過將動量方程的源項空間積分后合并到壓力項，發(fā)展了保平衡中心迎風(fēng)格式(WB-CU).計算中發(fā)現(xiàn)這種方法存在的問題是壓力不能保正，對高空大氣等低密度、低壓力問題容易出現(xiàn)負(fù)壓力.文獻(xiàn)[7]介紹了通過引進(jìn)新的變量將含源項的非守恒方程變?yōu)槭睾惴匠痰男问?，源項與壓力等變量的離散保持一致，從而保證平衡.這種方法求解的是原問題的松弛方程，對大尺度高空大氣擾動問題，其計算精度較差.Chalons 等[1,7]和Franck 等[8]利用基于Lagrange 投影的方法，求解Lagrange 坐標(biāo)形式下含源項的近似Riemann 問題，針對Euler 方程發(fā)展了新的保平衡格式.這類方法精度較高，但向波系更復(fù)雜的磁流體等問題推廣時計算較復(fù)雜，對已有成熟程序的改動也比較大.本文基于常見的HLL 有限體積方法[9-11]，發(fā)展了一種新的保平衡格式，期望盡可能簡單地實現(xiàn)含源項雙曲守恒方程保平衡的求解.

1 含源項的HLL 近似Riemann 求解器

含源項的雙曲守恒方程為

式中，U為待求解變量，F(xiàn)為矢通量，Q為源項.

如圖1所示，方程（1）的HLL 近似Riemann 解為

圖1 HLL 近似Riemann 解示意圖Fig.1 The sketch of HLL approximate Riemann solvers

式中，SL表示左行波的最大波速，SR代表右行波的最大波速.

在控制體[xL,xR]×[0,T]內(nèi)，式(1)可寫成積分形式[12]：

式中，?x=xR?xL.另外，等式左邊可寫成

比較兩式右邊可得

通量項F的表達(dá)式為

將式(5)代入可得

源項的平均值可近似寫成

從而得到計算格式為

含Van-Leer 限制器的二階守恒重構(gòu)格式為[13]

時間積分可用2 階Runge-Kutta 方法，即

2 保平衡HLL格式

對含重力源項的一維流體Euler 方程，方程（1）中的各項可寫成

波速為

式中，a為聲速.最大波速為

對含重力源項的一維理想磁流體方程，有

波速為

式中，a，c分別為聲速、磁聲波速.最大波速為

平衡態(tài)時u為0，與u相關(guān)的對流輸運(yùn)通量也要為0，故需對通量計算公式(7)進(jìn)行修正.利用文獻(xiàn)[5]使用的技巧，以磁流體方程的通量式(15)為例，速度u為0 時，對流通量的第1，3，4，5 分量也應(yīng)為0.故式(7)可以寫成

式中，上標(biāo)（i）表示第i個分量，H(u)為與速度相關(guān)的修正項，需滿足

可取

式中，C和m是與精度有關(guān)的計算參數(shù)，本文中C取1000，m取6.

傳統(tǒng)的HLL 格式的通量項為[9]

對比式(18)和式(21)可知，新格式與傳統(tǒng)格式相比，僅需很小的改動.

下面以理想磁流體方程為例證明本文提出的修正HLL 格式滿足保平衡的要求，即格式在平衡態(tài)時能恢復(fù)為靜力平衡方程.Euler 方程的情形的證明也可同理得到.

平衡態(tài)時，滿足條件uL=uR=0.由式 (15)可得

代入式(18)可得

化簡為

即穩(wěn)態(tài)情況下計算的方程變?yōu)?xp=ρg，滿足靜力平衡條件.故本文提出的格式是保平衡格式.

3 數(shù)值算例

等溫大氣的擾動算例是用來測試保平衡格式的常用算例[5,6,8]，但一般文獻(xiàn)中設(shè)置的計算尺度較小.本文測試在大尺度條件下各種格式的效果.

3.1 大尺度大氣流體的擾動

設(shè)大氣的初始條件為

g=9.8 m/s2,c=300 m/s,l=80 km,xc=50 km,η=1 Pa

式中，.設(shè)大氣為理想氣體，比熱比取1.67，計算域為[10,90]km，邊界條件采用文獻(xiàn)[14]給出的靜態(tài)等溫邊界：

時間積分采用2 階Runge-Kutta 積分，重構(gòu)方法采用含Van-Leer 限制器的二階守恒重構(gòu)格式.網(wǎng)格數(shù)取兩組：N=20 和N=100，分別用傳統(tǒng)的HLL 格式、本文提出的WB-HLL 格式、松弛格式（relax）、Lagrange 投影格式（LA）和WB-CU 格式計算，計算時長100 s.另外，用WB-HLL 格式計算了N=1000 的情形作為參考的精確解.由于計算中WB-CU 格式出現(xiàn)負(fù)壓力無法完成計算，下面只比較其他4 種格式.

圖2 給出了不同格式和網(wǎng)格計算的擾動速度.由于松弛格式計算結(jié)果與其他格式相差較大，為了便于比較，在圖2(b)中沒有展示松弛格式計算的結(jié)果.從圖中可以看出，相同網(wǎng)格精度下，WB-HLL 格式與Lagrange 投影格式精度相當(dāng)，比傳統(tǒng)的HLL 格式計算精度更高；網(wǎng)格加密時，WB-HLL 格式也比傳統(tǒng)的HLL 格式收斂更快.

圖2 不同格式計算的流體擾動速度：(a)網(wǎng)格數(shù)N=20；(b)網(wǎng)格數(shù)N=100Fig.2 Fluid perturbed velocities with different schemes:(a)grid number N=20;(b)grid number N=100

3.2 大尺度大氣磁流體的擾動

為驗證WB-HLL 格式在磁流體問題中的計算效果，我們將3.1 小節(jié)的算例改成磁流體算例.由于Lagrange 投影格式推廣到磁流體問題時較為復(fù)雜，本算例僅比較WB-HLL 格式和HLL 格式.初始條件為

圖3 給出了磁流體方程不同格式和網(wǎng)格計算的擾動速度，圖4 給出了不同格式和網(wǎng)格計算的磁場結(jié)果.從圖中可以看出，對磁流體方程，與傳統(tǒng)的HLL 格式相比，WB-HLL 格式計算精度更高，收斂更快.

圖3 不同格式計算的磁流體擾動速度：(a)網(wǎng)格數(shù)N=20；(b)網(wǎng)格數(shù)N=100Fig.3 MHD perturbed velocities with different schemes:(a)grid number N=20;(b)grid number N=100

圖4 不同格式計算的磁流體磁場：(a)網(wǎng)格數(shù)N=20；(b)網(wǎng)格數(shù)N=100Fig.4 MHD magnetic results with different schemes:(a)grid number N=20;(b)grid number N=100

4 結(jié)論

本文構(gòu)造了含源項的HLL 型近似Riemann 求解器，對通量計算格式進(jìn)行修正，提出了保平衡的HLL 有限體積計算格式，并給出了保平衡證明.與經(jīng)典HLL 格式相比，本文的計算格式只需很小的改動.數(shù)值算例表明，針對大尺度含重力源項的Euler 方程，在精度與收斂速度方面，本文的新格式與Lagrange 投影方法相當(dāng)，與傳統(tǒng)HLL 格式相比有較大提高.針對大尺度含重力源項的理想磁流體方程，新格式在精度與收斂速度方面與傳統(tǒng)HLL 格式相比也有較大提高.