端部旋轉的圓柱形容器內的Stokes流*

王尕平，劉竟慧

（大連交通大學 土木工程學院，遼寧 大連 116028）

引言

端部旋轉所引起的容器內的流動問題是流體力學的經典內容之一，它被關注的原因在于兩個方面：理論上，它使得能夠在有限形狀規(guī)則的求解域中得到N-S 方程的精確解，從而能夠解析地研究流場的一些變化規(guī)律；工程上，它所產生的二次流對于工業(yè)過程的實現具有重要的作用，如渦輪機、化學反應器和磁盤存儲工業(yè)等.許多學者在中等Reynolds 數范圍內研究了這個問題.Pao[1]、Bertelà和Gori[2]、Duck[3]采用有限差分法研究了單端、兩端部旋轉的圓柱形容器內的流線、速度場、壓強場等隨Reynolds 數Re=?R2/ν、外形比A=h/R(R為端部半徑，Ω為端部旋轉的角速度，h為圓柱容器的高度，ν為流體的運動黏性系數）的變化規(guī)律.Dijkstra 和Van Heijst[4]從數值和實驗兩方面研究了小外形比條件下端部反向旋轉的容器內流場的漩渦結構和駐點隨兩端部速度比的變化規(guī)律.Vogel[5]采用系統(tǒng)的實驗研究了單端旋轉圓柱容器內的渦破裂現象.Escudier[6]驗證并發(fā)展了Vogel 的實驗，在其基礎上研究了容器外形比和Reynolds 數對渦破裂的影響規(guī)律.Valentine 和Jahnke[7]研究了兩端部以相同角速度旋轉時容器內渦破裂與單端旋轉的不同規(guī)律.Gelfgat 等[8]研究了被限制的旋轉流中的漩渦分離流的觸發(fā)機理，他們認為局部離心力的最大值是流場中循環(huán)區(qū)域形成的主要原因.此外，Kahouadji和Witkowski[9]通過數值和實驗探討了底部旋轉、上部為自由液面的圓柱形容器內流動的穩(wěn)定性、流場中二次漩渦產生和消失的機理.Mukherjee 和Steinberg[10]通過實驗研究了上部轉盤驅動的圓柱形容器中的流場結構和轉盤上的摩擦因數隨Reynolds 數的變化規(guī)律.

以上研究揭示了中等Reynolds 數范圍內端部旋轉容器中的一些流動規(guī)律，關于Stokes 流的研究卻較少見.近年來，對偶方法在力學領域得到了許多應用，如彈性力學、結構力學、動力學、最優(yōu)控制、流體力學等[11-16]，展示了該方法的廣泛適用性，同時也得到了許多有意義的成果.本文將z坐標模擬為時間，將對偶方法引入到端部旋轉的圓柱形容器內的流動問題，并對容器內的流動進行了研究.研究結果展示了不同外形比和不同端部旋轉條件下，流場的速度分布、應力分布，揭示了Stokes 流的一些特點.

1 對 偶 方 法

1.1 柱坐標系下Stokes 流問題的基本描述和對偶方程

當流動的特征尺度和特征速度很小或者運動黏度很大時，相應的Reynolds 數很?。碦e?1），此時流體的慣性力與黏性力相比可以忽略不計，這種流動稱為Stokes 流.

端部旋轉驅動的圓柱形容器內流體的流動可視為空間柱坐標系(r,θ,z)下的軸對稱(?/?θ=0)問題.ur，uθ和uz分別表示徑向速度分量、環(huán)向速度分量和軸向速度分量.根據流動的特點，徑向和軸向流動速度均為零，則速度可表示為u={0,uθ,0}T.流動區(qū)域如圖1所示，圓柱形容器的半徑為a，高度為h，原點O位于圓柱形容器的左端圓心處，容器的側邊固定，則有

當容器的單端或兩端部旋轉時，將驅動容器內的流體運動.圖1所示為圓柱形容器的左端部以角速度 ?旋轉.若容器的左端和右端均旋轉，則為兩端旋轉的容器內的流動問題.

圖1 圓柱形容器的幾何示意圖Fig.1 The geometry of the cylindrical container

流體的本構方程為

式中 μ為動力黏性系數，pres為壓強.由于該流動的特殊性，不可壓流體的連續(xù)方程自動滿足，流體的控制方程為

將z坐標模擬為時間,并引入記號則相應的Lagrange 函數為

引入對偶變量

由上式可以看出對偶變量是同應力相關的物理量，稱其為廣義應力.記速度和其對偶變量的矢量形式為q={uθ}，p={p},則可引入Hamilton 函數：

對上式應用變分，有

則可得到Hamilton 對偶方程

和齊次側邊界條件(1).方程(8)的具體形式為

式 中微分算子Dr=?/?r，Dθ=?/?θ.可以看出，方程(9)由柱坐標系下流體的本構方程和控制方程組成.

1.2 共軛辛正交歸一關系

定義w={q,p}T為全狀態(tài)向量,則對偶方程(9)可以寫為

式中H為Hamilton 算子陣.分離變量，方程(10)的解可寫成如下形式：

定義辛內積：

并且本征解之間存在著共軛辛正交歸一關系：

由于解空間的完備性[17]，任意空間狀態(tài)向量w總是可以展開成本征解的線性組合：

1.3 零本征解

如果本征解λ=0，則方程(12)為

方程(17)的具體形式為

在邊界條件(1)下求解上式，可得到零本征解：

然而，當r=0時，容器軸線上流體的速度應為有限值，因此上式中的常數C=0，即式(19)是零解.并且由此可知，不存在一階約當形式的本征解滿足因此問題不存在零本征解.

1.4 非零本征解及問題解的形式

本征值λ ≠0時，

Hψ=λψ.（20）

上式展開為

其對應的非零本征解為

將上式代入邊界條件(1)，則可得到

由上式可解得 λm.

由于 λm為實數，且非零本征解總是以辛共軛的形式出現，因此由非零本征解的線性組合表示的非零本征值解的具體形式為

1.5 端部條件和展開系數

取容器的半徑a為 特征長度，μ為特征動力黏度，為特征時間，將各物理量無量綱化.以R，Z分別表示r，z方向的無量綱坐標；Uθ表示θ方向的無量綱速度；表示無量綱切應力.容器的外形比A=h/a也是容器的無量綱高度，無量綱非零本征值為ηm=aλm.為了方便，做如下約定：下文中以 λm表示無量綱非零本征值.

端部旋轉問題的解應滿足容器兩端(Z=0,Z=A)的兩個端部速度條件：

將方程(24)代入邊界條件(25)中得

式(27)中的系數表達式為

將展開式(26)在N項后截斷，得到一個由 2N個方程組成的方程組(27).求解該方程組，可解出 2N個展開系數從而得到問題的近似解.在實際計算中，N越大，所得近似解的精度越高.定義平均誤差為式中Uθ(Rk)|Z=0表示計算得到的速度，Uθ|Z=0表示給定的邊界速度.取M=100，這表示在R∈[0,1)區(qū)間上取100 個等分點（R=1 點除外是因為該點速度自動為零）.當N=50時，本文中所給算例的平均誤差均小于0.02，因此在計算中取N=50.

2 計算結果及分析

2.1 單端旋轉的無限長容器內的流動

考慮單端旋轉的無限長圓柱形容器內的流動，容器左端旋轉，則端部條件為

圖2 給出了距離旋轉端Z=6的距離范圍內，容器內流體的速度、應力等高線.從圖中可以看出，在旋轉端與容器壁面交界處附近區(qū)域，流體的速度較大，而在遠離旋轉端區(qū)域，流體的速度迅速減小，這說明了Stokes 流問題中邊界的影響不能及遠的特點.端部旋轉時，雖然端部的速度Uθ（Uθ=R）隨著R的增加而增大，但在R=0處速度為零，且由于圓柱形容器的壁面是靜止的，因此在容器內，橫截面上流體速度的最大值在01區(qū)域，一直穩(wěn)定在此位置.事實上，由式(24)可以看出，容器內遠離端部邊界處，流動是由低階項決定的，即的最大值位置位于R≈1/2處.應力的整體分布與速度類似，最大值位于旋轉端部與容器壁面交界處，在遠離旋轉端部區(qū)域，橫截面上最大應力位于R≈1/2附近.這是因為在交界處，旋轉端部的速度為Uθ|R=1=1，靜容器的壁面速度為零，流體的速度由Uθ|R=1=1快速降為零，從而使交界處的速度梯度最大；隨著距離交界處的距離增大，流體的速 度梯度越來越小，應力 τˉzθ也隨之減小，并且橫截面上應力的最大值也穩(wěn)定在固定位置.

圖2 無限長容器內的流動：(a)速度U θ等高線；(b)應力 zθ等高線Fig.2 The flow in the semi-infinite cylindrical container:(a)the contours of velocity U θ;(b)the contours of stress zθ

2.2 兩端部同向同速旋轉的容器內的流動

考慮兩端部同向旋轉的圓柱形容器內的流動，兩端部旋轉的角速度為?Z=0=?Z=A=1，則端部條件為

分別取容器的外形比（無量綱高度）A=1,2,6，計算流場的速度分布情況.圖3 給出了不同外形比A時，流場速度Uθ的等高線圖.從圖中可以看出，與一端旋轉的無限長圓柱形容器內的流動相似，速度Uθ隨著距離端部距離的增加而迅速減小，當容器外形比A增加時，旋轉端部對距離端部較遠處的流動影響較小，并且在距離端部單位距離內，速度Uθ均衰減到2%左右.值得注意的是：雖然流場中的流動是由于兩端部同步同速旋轉而引起的，但是，流場內的流動并不是與端部邊界的運動相一致的，而是沿著軸向衰減，遠離端部處，速度沿著徑向呈類似于拋物線分布；在流場內部，速度均不為零；在半徑R≈0.5的環(huán)形面附近位置，流體的速度最大.此外，容器兩端部同向旋轉時，容器內流體的速度分布關于Z=A/2對稱分布.

圖3 兩端部以角速度?=1同向旋轉時，不同外形比的容器內流動速度U θ的等高線：(a)A=1；(b)A=2；(c)A=6Fig.3 The contours of velocity U θ in cylindrical containers with two ends rotating at the same angular velocity ?=1 and different geometric aspect ratios:(a)A =1;(b)A=2;(c)A=6

2.3 兩端部反向同速旋轉的容器內的流動

考慮兩端部反向旋轉的圓柱形容器內的流動.兩端部旋轉角速度??Z=0=?Z=A=1，問題的端部條件為

與兩端部同向同速旋轉的容器內的流動問題相同，分別取容器的外形比（無量綱高度）A=1,2,6，計算流場的速度分布情況.圖4 給出了A=1,2,6時，流場中速度Uθ的等高線圖.由圖3 和圖4 可以看出，兩端部反向旋轉與同向旋轉兩種情況下，流場的速度分布既有相似之處，也有明顯的不同.相似之處在于速度Uθ隨距離邊界距離的增加而迅速減小，并且在遠離端部的地方，流體的速度最大值的位置在半徑R≈0.5環(huán)形面位置.不同之處在于：首先，兩端部反向旋轉問題中，在Z=A/2截面上，流體速度Uθ=0，此截面也是左右兩部分流體運動方向不同的分界面，而在兩端部同向運動問題中，不存在這樣一個截面.其次，在兩端部反向旋轉問題中，整個流場中的流體運動速度是關于Z=A/2截面反對稱分布；而在兩端部同向旋轉問題中，整個流場速度關于Z=A/2截面對稱分布.

圖4 兩端部以角速度?=1反向旋轉時，不同外形比的容器內流動速度U θ的等高線：(a)A=1；(b)A=2；(c)A=6Fig.4 The contours of velocity U θ in cylindrical containers with two ends counter rotating at angular velocity ?=1 and different geometric aspect ratios:(a)A=1;(b)A=2;(c)A=6

2.4 端部為應力條件時容器內的流動

考慮一端旋轉的無限長圓柱形容器內的流動.容器左端旋轉、右端靜止.問題的端部條件以應力形式給出：

圖5 給出了端部剪切應力以拋物線形式給出時，流場的速度和應力分布情況.由圖中可以看出，端部為應力條件時，流場的速度和應力的衰減特性、遠離端部邊界處的速度和應力分布特性與端部為速度條件時非常相似.事實上，對于容器中的低Reynolds 數流而言，無論端部為速度條件還是應力條件，它們均是為流體的運動提供動力，而Stokes 流本身的特性決定了流場速度和應力的分布特性.

圖5 端部應力條件時，外形比為A=6的容器內的流動：(a)速度U θ等高線；(b)應力 zθ等高線Fig.5 With stress condition at the end,the flow in the cylindrical container for A=6:(a)the contours of velocityU θ;(b)the contours of stresszθ

3 結論

本文通過將z坐標模擬為時間，建立Hamilton 對偶方程.利用本征解空間的完備性和本征解之間的共軛辛正交關系，給出了問題解的展開形式、并求得問題的解.對不同端部旋轉條件下的圓柱形容器內流體的流動情況的研究結果顯示：

1）邊界對容器內流體速度和應力的影響隨著距離邊界距離的增加而減弱.容器的外形比A越大，旋轉端部對容器內部流體的影響就越小，反之則越大.

2）容器兩端部同向旋轉時，容器內流體的速度分布關于Z=A/2對稱分布，且容器內流體的速度均不為零；而容器兩端部反向旋轉時，流場的速度關于Z=A/2反對稱分布，且在橫截面Z=A/2上，流體的流動速度為零.

3）容器端部旋轉時，流場內部的流動并不是與端部邊界的運動同步，流體最大速度在徑向的位置隨著距離端部距離的增加而逐漸向流場內部移動，遠離端部邊界處，流動速度的最大值位于半徑R≈0.5處.

4）當端部條件以應力形式給出時，流場的速度和應力分布與端部為速度條件時相似.