《植樹問題2——方陣》的教學(xué)思考與實踐研究

陳俊

中圖分類號；G623.5

《數(shù)學(xué)課程標準》提出：“數(shù)學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！毙抡n程鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，主動探究，提倡“算法多樣化”并能建立簡單的數(shù)學(xué)模型。但在平時教學(xué)中常常遇到這樣幾個問題：算法“多樣化”后要不要“優(yōu)化”？是不是都要“優(yōu)化”？怎樣的方法才是“最優(yōu)的”？數(shù)學(xué)模型什么時候建？要建立怎樣的數(shù)學(xué)模型？

一.擇實探究——方法多樣

《數(shù)學(xué)課程標準》明確指出：由于學(xué)生的生活背景和思考角度的不同，每位學(xué)生的思維水平的差異性必然導(dǎo)致所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡方法的多樣化。而方法多樣化帶來的另一個現(xiàn)實要求是適時引導(dǎo)學(xué)生對多種方法進行比較分析，找出其中的規(guī)律，最終實現(xiàn)方法的優(yōu)化。但是，在教學(xué)中，方法多樣化與合理優(yōu)化的關(guān)系到底該怎么處理？怎樣把握其中的“度”呢？

【案例1】《植樹問題2——方陣》

情景引入

師：你們看，這里有幾盆花？

師簡介：“用25盆花擺成了5行5列的正方形陣形叫5×5的方陣?！保ò鍟悍疥嚕?/p>

師：“現(xiàn)在老師拿掉中間的花（課件演示中空方陣），最外面一層每邊擺5盆（每個頂點都要放一盆），總共需要幾盆？

揭題：研究方陣

擇實探究

師：為了方便研究，我們把盆花用點表示。

5×5的方陣最外一層共有幾個點？你有幾種方法？（提供研究單）

生獨立探究、小組合作——四人小組交流——展示匯報（要求說出思路和理由）

方法一：5×4-4=16 方法二：（5-1）×4=16 方法三：（5-2）×4+4=16

方法四：5×2+（5-2）×2=16 方法五：5×5-（5-2）×（5-2） =16

師：“比較這五種方法，你有什么想說的？”

生說：雖然這幾種方法看上去不一樣，但其實都考慮到四個頂點，重復(fù)算就減掉，沒有算就加進。

方法六：8×2=16 方法七：2×8=16

師（指著方法六和七）：“那你們看這兩種方法怎么想到？”

生1：“我是把它分成兩類，然后數(shù)一下。”

生2：“我是兩個兩個數(shù)的。”

師：“那你們看這兩種方法怎么樣？”

生：“當(dāng)每行的個數(shù)比較少的時候還可以，但每行的個數(shù)比較多的時候就不方便了。”

師：“每種方法都有它的優(yōu)點你比較喜歡哪一種？”（生自己思考自己喜歡的一種）

師：“每位同學(xué)擅長的也都不一樣，請你記住一種你最欣賞的方法?！?/p>

【思考】

其實優(yōu)化的過程只是學(xué)生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制灌輸?shù)倪^程。對一個個體而言，他總是使用自身熟悉或習(xí)慣的算法解決問題，因此，個體在解決問題時根本沒有必要掌握多種算法，教師應(yīng)該幫助學(xué)生建立幾種方法之間的聯(lián)系。

二.準確拿捏——擇時建模

《數(shù)序課程標準》提出學(xué)生要親身經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程。那么在建模的過程中，我們也常常遇到這樣幾個問題：在不強調(diào)數(shù)量關(guān)系和未學(xué)過字母表示的數(shù)的情況下要不要建模？什么時候建模比較合適？要建立怎樣的數(shù)學(xué)模型比較恰當(dāng)？

【案例1】第一次建模

在學(xué)生學(xué)習(xí)了方陣每邊5個點后，分小組合作探究當(dāng)每邊其它點數(shù)時，用自己喜歡的方法計算出總點數(shù)，然后找出內(nèi)在規(guī)律。

教師提供研究單：

最外層每邊放的個數(shù)（4個頂點都要放） 最外層一共放的個數(shù)

我發(fā)現(xiàn)每邊n個時，總個數(shù)是

通過研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生知道每個具體個數(shù)時能用自己的方法算出總個數(shù)，但當(dāng)每邊n個時，學(xué)生不知所然。

學(xué)生1：“老師，n是幾個？”

學(xué)生2：算出總個數(shù)是n，問其怎么想的，說：“n表示不知道，那么總個數(shù)也是不知道，所以用n表示?！?/p>

【反思】這是一次失敗的嘗試（平行班試教），是不是因為四年級的學(xué)生還沒有學(xué)過字母表示數(shù)的原因？還是數(shù)學(xué)模型的建立需要些什么？筆者進行了第二次嘗試。

【案例2】第二次建模

1.鞏固方法：在研究每條邊5個棋子的方陣后，師出示：“如果每條邊改成10個棋子，你能求出總顆數(shù)嗎？”

學(xué)生用自己喜歡的方法列式計算，匯報。（學(xué)生列出算式后，問他采用的是哪種方法。）

2.生活運用：圍棋盤的最外層每邊能放25個棋子。最外層一共可以放幾個棋子？

①25×4-4=96 ②（25-1）×4=96

③（25-2）×4+4=96 ④25×2+23×2=96

⑤25×25-23×23=96

3.因勢利導(dǎo)：師：“如果每條邊有n個棋子你還能用你的方法列出算式嗎？”

生1：“n×4-4”。

師：“他用的是哪一種方法？”

生：“第一種?！?/p>

師：“那如果用其它的方法你也能列出算式嗎？”

生2：“（n-1）×4”。

生3：“（n-2）×4+4”。

【思考】《數(shù)學(xué)課程標準》倡導(dǎo)以“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式。在之前放手讓學(xué)生獨立思考和小組討論并沒有得出基本的模型，經(jīng)歷第二次嘗試在加深理解、鞏固練習(xí)和因勢利導(dǎo)下學(xué)生自然而然地得出了自己那種方法的基本模型。

思考第一次建模為什么失??？數(shù)學(xué)模型需要學(xué)生有獨立自主的研究能力和知識的抽象概括能力。顯然第一次是老師理想狀態(tài)下的建模學(xué)習(xí)，小學(xué)生的認知水平、學(xué)習(xí)能力并沒有達到這種狀態(tài)。在第二次建模中堅持讓學(xué)生用同一種方法解決不同情形的問題，從而能輕而易舉地讓學(xué)生對每一個算式用精確的語言進行描述。當(dāng)學(xué)生對自己的方法理解到位同時能用語言描述時也是建立數(shù)學(xué)模型的水到渠成時。

【結(jié)語】學(xué)生的思維存在差異性和層次性，我們的老師需要慢慢等待，不應(yīng)為了優(yōu)化而優(yōu)化，為了建模而建模，一切建立在學(xué)生的基礎(chǔ)上。讓每位孩子的潛能都得到開發(fā)，每位孩子在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都得到不同的發(fā)展。