巧用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

張泓+徐德澤

數(shù)列的實(shí)質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集N﹡或N﹡的有限子集的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都可看作某一函數(shù)的解析式，因此?？汕捎煤瘮?shù)的思想去解決數(shù)列問題。

1. 函數(shù)思想在數(shù)列的通項(xiàng)公式中的巧用

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可變形為 =nd+ -d設(shè)A=d，B= -d，則 =An+B，這樣可把 看作自變量為n的一次函數(shù)。故就可根據(jù)數(shù)列的通向公式來判斷是否是等差數(shù)列，也可結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的類型。

例1數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式為 =3n+5，則該數(shù)列是﹙﹚

A公差為3的遞增的等差數(shù)列 B公差為5的遞增的等差數(shù)列

C首項(xiàng)為5的遞減的等差數(shù)列 D首項(xiàng)為5的遞增的等差數(shù)

解析：可選A。

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可變形為 =﹙ ﹚q ，設(shè)A= ， =Aqn﹙q≠1﹚，這樣就可把 看做是自變量為n的指數(shù)型函數(shù)，也可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷是否是等比數(shù)列。

例2數(shù)列﹛ ﹜的通項(xiàng)公式為 =3×2n，則此數(shù)列是﹙ ﹚

A 首項(xiàng)為3的等比數(shù)列 B 首項(xiàng)為2的等比數(shù)列

C 公比為2的等比數(shù)列 D 公比為3的等比數(shù)列

解析：可選C。

把等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式看作函數(shù)來解決相關(guān)問題就顯得較為方便。

2. 函數(shù)思想在數(shù)列的前n項(xiàng)和中的巧用

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可變?yōu)闉閟n= n2+（ - ）n，（d≠0）設(shè)A= ，B= - ，則sn=An2+Bn，這樣sn就可以看作以n為自變量的二次函數(shù)，可根據(jù)前n項(xiàng)和的公式來判斷是否是等差數(shù)列，也可利用求二次函數(shù)的最值的方法來求前n項(xiàng)和的最值問題了。而對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可變形為sn=– + ，設(shè)A= ，則sn=-Aqn+A。由此可見，非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 是關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)；而當(dāng) ≠0時(shí)，常數(shù)數(shù)列 =n 是關(guān)于n的正比例函數(shù)。

例3 一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？

解法1 由題意， >0，d﹤0，

故 最大等價(jià)于

≥0且 ≤0

即 +（n-1）（- ）≥0 且 +n（- ）≤0

解之，得6.5≤n≤7.5

∴n=7時(shí)，sn最大。

解法2 由于 =a +bn為n的二次函數(shù)，由 = ，可知其圖像的對稱軸為

n= =7

故當(dāng)n=7時(shí)， 取得最值。

而由題意， ﹥0，d﹤0.

故sn之最值為最大值。

解法3 ∵s3=s11，

∴3 + d=11 + d

∴d=- ﹤0

Sn=n（ + d）

=- （n-7）2+

∵ ﹥0，

∴- ﹤0，故當(dāng)n=7時(shí)， sn最大。

解法1是通過研究通項(xiàng)的符號，確定最大值時(shí)的取值的，這是研究最值問題的常規(guī)方法。解法2、解法3都是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)形求解的。運(yùn)用函數(shù)思想尋求最值，這是常用的解題方法。這里應(yīng)該注意：當(dāng)已知條件為 = 時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究最值最為方便。通過研究二次函數(shù)圖象的對稱軸，不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

在等差數(shù)列{an}中，若a1﹥0，且sp=sq（p≠q），則

若為p+q為偶數(shù)，則n= ，sn取得最大值；

若為p+q奇數(shù)，則n= 或 時(shí)，sn取得最大值。