淺談基本不等式的初步教學(xué)

乃芳玉

【摘要】基本不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，高考必考，在選擇題，填空題，解答題中均有考查，常以一小一大的形式出現(xiàn)，分值在20分左右.高考中?？疾槔没静坏仁角笞兞炕虼鷶?shù)式的最值，具有靈活多變，技巧性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛的特點(diǎn).在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用的過(guò)程中容易出錯(cuò)，用基本不等式求最值時(shí)，對(duì)必備的三個(gè)條件的“一正、二定、三相等”不能有效的理解和應(yīng)用.對(duì)此，本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱淖龇?

【關(guān)鍵詞】基本不等式、條件、最值

中圖分類號(hào)：G633.6

【正文】

1 剖析基本不等式，領(lǐng)悟其本質(zhì)。

基本不等式的原型： （ ），當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào)，其本質(zhì)是刻畫了兩個(gè)正數(shù)的“和”與“積”之間的不等關(guān)系，所以運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵就是將“和”與“積”進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換。

2 例題分析，逐個(gè)突破，理解“一正、二定、三相等”意義

2.1“一正”

例1 若 ，求 的最小值

變式 若 ，求 的最大值.

反思 利用基本不等式求最值，首先，就是驗(yàn)證“ ”即“一正”，通過(guò)比較這兩個(gè)例題，可以有效幫助同學(xué)們理解其中的意義，“正”時(shí)可直接利用公式，“不正”時(shí)只要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，確定誰(shuí)是公式里的 ，也可以用公式求最值。

2.2“二定”

例2求 的最小值.

分析 本題在格式上與例1相似，按照公式的要求，如果直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，那么“一正”滿足，但 不是定值，因此得不到 的最值，所以本題的關(guān)鍵是“積定”。

解：

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取到等號(hào)。所以 的最小值為6

變式 已知

分析 前面我們分析過(guò)基本不等式的本質(zhì)，指出其本質(zhì)是兩個(gè)正數(shù)的“和”與“積”之間的不等關(guān)系，求“和”的最值時(shí)，“積”必須是定的，反之，求“積”的最值時(shí)“和”就必須是定的，本題是求“積”的最值，故尋求“和”定的關(guān)鍵。若直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，顯然“正”滿足，但 不是定值，故需要做適當(dāng)變形。

解：

取到等號(hào)，

反思 以上兩個(gè)題目突出了 “二定”這一特征，可以總結(jié)為積定和最小，和定積最大，為了突出這一特征，在選擇例題的時(shí)候，都是建立在“正”和“等”都滿足的基礎(chǔ)上，“不定”的時(shí)候通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃巍?gòu)造，直到“定”為止。

2.3“三相等”

例3已知函數(shù) .

（1）若 ，當(dāng) = 時(shí)，函數(shù)取最小值為

（2）若 ，當(dāng) = 時(shí)，函數(shù)取最小值為

（3）若 ，當(dāng) = 時(shí)，函數(shù)取最小值為

分析 顯然（1）同時(shí)滿足“一正、二定、三相等”三個(gè)條件，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 （在定義域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)取到最小值12。但對(duì)于（2）和（3），在它們的定義域內(nèi)沒(méi)有 ，因此 ，只滿足了“一正二定”，因此不能用基本不等式來(lái)求最值，但可借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性加以分析，得到最值，即因?yàn)楹瘮?shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以對(duì)于（2），當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 處取到最小值 ；對(duì)于（3），當(dāng) 時(shí)函數(shù) 在 處取到最小值37.

反思 本題通過(guò)對(duì)同一個(gè)函數(shù)式在不同的定義域下求最值，突出了用基本不等式求最值時(shí)“等”這一條件的重要性。通過(guò)比較，學(xué)生就能很容易理解“三相等”的意義，在以后用公式時(shí)就不會(huì)輕易犯錯(cuò)。

3、總結(jié)

對(duì)基本不等式的初次學(xué)習(xí)，學(xué)生們對(duì)“一正、二定、三相等”三個(gè)條件的含義往往是似懂非懂，尤其是對(duì) “等”的理解多半是含糊不清，不管三七二十一，一看到倒數(shù)形式，不加以驗(yàn)證，就直接用基本不等式，屢屢犯錯(cuò)還不知所以。以上三個(gè)例題層層深入，逐個(gè)突破，能讓學(xué)生能夠充分理解了“一正、二定、三相等”三個(gè)條件的含義，解決了似懂非懂的局面，而且能為后期靈活運(yùn)用基本不等式求更復(fù)雜的問(wèn)題提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)保證。

參考文獻(xiàn)

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[2]張羽佳 均值不等式使用條件及其解題技巧 ，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2010，（24）endprint