數(shù)學(xué)模型的魔力

曹祿巖

阿基米德說：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬起整個(gè)地球。同樣作為教師的我們幾乎每天都在尋求、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、并利用可以撬動(dòng)數(shù)學(xué)課堂的神奇支點(diǎn)，恰好數(shù)學(xué)模型為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭建了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的支點(diǎn)。

對于小學(xué)數(shù)學(xué)建模，由于小學(xué)生年齡小，思維層次比較低，所以并不是非要提升到真正建模的高度，而是從低年級開始培養(yǎng)學(xué)生建模的數(shù)學(xué)思想。小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)中倡導(dǎo)以“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式，今天就以我執(zhí)教的三年級數(shù)學(xué)廣角《有趣搭配》一課為例，由淺入深來體會(huì)數(shù)學(xué)建模的無窮魅力。

一、淺近，凸顯建模價(jià)值

怎樣建立數(shù)學(xué)模型？建立什么樣的數(shù)學(xué)模型？這就要求教師學(xué)會(huì)用智慧的眼光仔細(xì)尋找每個(gè)教學(xué)內(nèi)容中隱藏的數(shù)學(xué)模型。如果一個(gè)老師不曾在這些方面思考過，那么這樣的課堂上數(shù)學(xué)知識(shí)概念、命題、問題和方法等就很難見到數(shù)學(xué)模型的影子，學(xué)生也永遠(yuǎn)不能感受到數(shù)學(xué)模型的力量。《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！痹诖钆湟徽n中，我選擇了與學(xué)生喜愛的動(dòng)畫角色喜羊羊、美羊羊一起構(gòu)建搭配模型讓學(xué)生興趣高漲，面對與自己生活實(shí)際密切相關(guān)的問題，他們自然會(huì)有自己的解決之道。

師：今天美羊羊準(zhǔn)備去喜羊羊家做客，你能幫美羊羊搭配一下服裝嗎？搭配要求：一件上衣只能搭配一件下衣，看看用2件上衣和3件下衣搭配，一共有多少種不同的穿法？請同學(xué)們在圖片上連一連。

生展示匯報(bào)

生1：我用T恤搭配藍(lán)褲子、紅上衣搭配藍(lán)褲子、T恤搭配粉裙子、T恤搭配綠褲子、紅上衣搭配粉裙子、紅上衣搭配綠褲子，一共6種穿法。

生2：我先用T恤分別搭配三件下衣，再用紅上衣分別和三件下衣搭配，也是6種穿法。

師：同學(xué)們同意他們的想法嗎？

生：同意。

師：你覺得哪一種搭配方法更好，為什么？

生：我覺得第二位同學(xué)的方法好，這樣很有順序。

師：對，在搭配時(shí)我們可以先確定一個(gè)組長，然后有順序的進(jìn)行搭配。先確定第一件上衣當(dāng)組長，有順序的和3件下衣進(jìn)行搭配；再確定第二件上衣當(dāng)組長，有順序的和3件下衣進(jìn)行搭配。

師：同學(xué)們還有別的搭配方法嗎？能不能用下衣來當(dāng)組長呢？

生：可以先選藍(lán)褲子當(dāng)組長，分別和2件上衣搭配；再選粉裙子當(dāng)組長，分別和2件上衣搭配；最后選綠褲子當(dāng)組長，分別和2件上衣搭配。也能得到6種穿法。

師：看來同學(xué)們已經(jīng)掌握了搭配的秘訣：確定組長，有序搭配，這樣才能保證不重復(fù)、不遺漏。

第一階段用連一連、說一說的形式對有幾種搭配方法展開討論和交流，并在相互啟發(fā)和獨(dú)立思考的過程中得出共有六種搭配方法。這是針對具體的、最原始的搭配問題進(jìn)行發(fā)問，主要是激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生自己找出最好的解決辦法，向更高層次的學(xué)習(xí)邁進(jìn)；第二階段讓學(xué)生比較、思考、選擇， 通過不同搭配方法的比較，感悟有序搭配的好處，進(jìn)一步明確搭配問題的結(jié)構(gòu)模型，同時(shí)又讓學(xué)生很好地經(jīng)歷更高層次“數(shù)學(xué)化”的過程。確定組長，有序搭配這個(gè)模型初步建立起來，雖然這個(gè)模型都很簡單，但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)最簡單的也許就是最有價(jià)值的，它讓學(xué)生擁有了一個(gè)思維的拐杖。這個(gè)過程中學(xué)生都能積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲，使所有學(xué)生都得到發(fā)展，獲得成功的體驗(yàn)。

二、聚焦，凸顯建模核心

正如日本數(shù)學(xué)家米山國藏所說：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)問題的解決，核心問題都在于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，它是數(shù)學(xué)模型的靈魂。在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中要重視強(qiáng)調(diào)探究的過程，讓學(xué)生通過觀察、操作、分析、比較逐步形成自己的認(rèn)識(shí)，最終用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)概括鍛造出數(shù)學(xué)模型的核心。

師：如果沒有老師給你的圖片讓你來搭配，你有沒有簡單的好辦法？

生1：可以用圖形表示，○表示上衣，△表示下衣

先選第一個(gè)圓做組長，有順序的和3個(gè)△搭配；再選第二個(gè)圓做組長，有順序的和3個(gè)△搭配 。

生2：可以用數(shù)字表示，1、2表示上衣，3、4、5表示下衣

先選1當(dāng)組長，有順序的和3、4、5搭配；再選2當(dāng)組長，有順序的和3、4、5搭配。

生3：還可以用字母

生4：還可以用漢字

生5：……

在這個(gè)環(huán)節(jié)把課堂的活動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，體驗(yàn)符號(hào)在記錄中的作用，提煉搭配模型的核心。由于是自己勞動(dòng)所得，學(xué)生興趣盎然，一個(gè)個(gè)優(yōu)秀的設(shè)計(jì)方案讓人贊不絕口、耳目一新。整個(gè)過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。如果說前兩階段搭配幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)完整的模型建構(gòu)，第三階段就實(shí)現(xiàn)形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)向模型核心的復(fù)歸。只有這樣，才能讓學(xué)生領(lǐng)略到知識(shí)大廈頂峰的風(fēng)光無限，洞察根基深處的牢固奧秘，真正聚焦知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，讓建模的思維軌跡深深鐫刻在自己的知識(shí)體系。創(chuàng)設(shè)再次動(dòng)手操作情境，品嘗到了成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)力源泉。這樣學(xué)生對知識(shí)的掌握就比較牢固了，并能靈活運(yùn)用，既訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又培養(yǎng)了學(xué)生從生活中挖掘數(shù)學(xué)的意識(shí)。

三、縱深，凸顯建模內(nèi)涵

模型思想更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問題。成功的構(gòu)建好數(shù)學(xué)模型后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及現(xiàn)實(shí)生活中遇到的簡單的與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題是數(shù)學(xué)模型的生命力量的體現(xiàn)。

學(xué)生探索研究建立了搭配模型后，我又有梯度的設(shè)計(jì)了四個(gè)練習(xí)：

從三個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)；

用三個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)；

從喜羊羊家經(jīng)過羊村學(xué)校到懶羊羊家一共幾條路線；

懶羊羊一共準(zhǔn)備了多少種飲料和食品的不同搭配？

通過四個(gè)練習(xí)中實(shí)際應(yīng)用，模型應(yīng)用越來越熟練，最后學(xué)生驚奇的發(fā)現(xiàn)不用連線、不用數(shù)就可以直接用算式算出一共有多少種不同搭配方法。梯度練習(xí)的呈現(xiàn)，同時(shí)是變式練習(xí)，打破孩子的固有思維，豐富孩子的認(rèn)識(shí)，開闊孩子的視野，數(shù)學(xué)模型在應(yīng)用中得到了提升。

“認(rèn)識(shí)模型——建立模型——應(yīng)用模型”這個(gè)過程中學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型的每個(gè)環(huán)節(jié)，一步一個(gè)腳印的走來，學(xué)生不僅通過自己的努力建立了搭配模型，還體會(huì)到了發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造所帶來的成功體驗(yàn)。站在高點(diǎn)再回望探究之旅，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)就更加深入了，由此而產(chǎn)生的魔力，將深刻而持久地影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活。

數(shù)學(xué)模型形成是建立在經(jīng)歷的基礎(chǔ)上的，教師平時(shí)課堂上舍得時(shí)間，舍得力氣挖掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生在自主實(shí)踐中張開智慧的翅膀，使數(shù)學(xué)模型成為他們放飛潛能的天空，從而賦予數(shù)學(xué)模型生命的色彩，相信學(xué)生會(huì)成功利用好這個(gè)支點(diǎn)來撬起數(shù)學(xué)地球。endprint