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    讓概念課更加自然、合理

    2017-09-26 00:09徐雯雯
    關(guān)鍵詞:軌跡曲線方程

    徐雯雯

    一、 教學(xué)內(nèi)容

    人教版選修2—1第二章第一節(jié):曲線與方程

    二、教材分析

    曲線屬于“形”的范疇,方程則屬于“數(shù)”的范疇,它們通過直角坐標(biāo)系而聯(lián)系在一起,曲線的方程是曲線幾何的一種代數(shù)表示,方程的曲線則是代數(shù)的一種幾何表示。在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)可由它的坐標(biāo)來表示,而曲線是點(diǎn)的軌跡,所以曲線可用含x、y的方程來表示?!扒€和方程”這節(jié)教材,揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一,對(duì)解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響,曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化,是數(shù)學(xué)方法論上的一次飛躍。

    由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容,因而學(xué)生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí),只有透徹理解曲線和方程的意義,才能算是尋得了解析幾何學(xué)習(xí)的入門之徑。求曲線與方程的問題,也貫穿了這一章的始終,所以應(yīng)該認(rèn)識(shí)到,本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念,它既是對(duì)以前學(xué)過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的深化,又是學(xué)習(xí)圓錐曲線的理論基礎(chǔ),它貫穿于研究圓錐曲線的全過程,根據(jù)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì),是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合,在本章中得到了充分體現(xiàn)。

    三、教學(xué)目標(biāo)

    1.知識(shí)目標(biāo)

    1、了解曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;

    2、初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念;

    3、學(xué)會(huì)根據(jù)已學(xué)知識(shí)為切入點(diǎn),引起關(guān)注,引發(fā)數(shù)學(xué)思考進(jìn)而分析、判斷、

    歸納結(jié)論

    4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。

    2.能力目標(biāo)

    1、在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中,學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,探索出結(jié)論,并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn);

    2、能用所學(xué)集合知識(shí)理解新的概念,從中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸的思想方法,提高思

    維品質(zhì),發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

    3.情感目標(biāo)

    1、通過問題的引入,讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律;

    2、通過問題解決,培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì),以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

    四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

    1.教學(xué)重點(diǎn)

    理解曲線的方程和方程的曲線的概念

    2.教學(xué)難點(diǎn)

    對(duì)曲線的方程和方程的曲線間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解

    五、教學(xué)過程

    【問題引入】設(shè)計(jì)問題,激發(fā)興趣,提出問題

    問題1. 你能找到這些常見曲線(拋物線和橢圓)在現(xiàn)實(shí)生活的原型嗎?

    問題2. 構(gòu)成曲線的基本元素是什么?曲線如何形成?

    問題3. 請(qǐng)例舉一些學(xué)過的曲線

    問題4.我們可以用什么方法研究這些曲線?

    說明:1.通過問題串的形式,并且從學(xué)生熟悉的模型出發(fā),讓學(xué)生回顧構(gòu)成曲線的基本元素是點(diǎn),而曲線是滿足一定條件的點(diǎn)的軌跡。進(jìn)一步回顧以前所學(xué)習(xí)過的曲線,以及通過方程去研究直線與圓的基本思想,從而引出課題。

    2.教師設(shè)計(jì)了一個(gè)好的問題(情境),可以建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,喚起學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),引起學(xué)生的關(guān)注,引發(fā)數(shù)學(xué)思考,引出數(shù)學(xué)問題,并且在創(chuàng)設(shè)情境的過程中,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。

    【問題引學(xué)】提出問題,引發(fā)思考

    問題5

    曲線:一、三象限角平分線;

    方程:(1) ;(2) (3) 。

    你能找出第一、三象限角平分線的方程嗎?

    問題6:以后怎么看方程表示曲線,曲線表示方程?

    說明:從學(xué)生已學(xué)知識(shí)為切入點(diǎn),引起學(xué)生的關(guān)注,引發(fā)數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。使學(xué)生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、反思與建構(gòu)等思維過程。讓學(xué)生在問題中體會(huì)曲線的上的點(diǎn)與方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,引出概念。

    【概念形成】通過觀察歸納,形成概念,幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)理論

    曲線的方程、方程的曲線的定義:

    一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:

    (1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;

    (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn);

    那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線。

    說明:1.結(jié)合問題5、問題6,嘗試歸納,生成概念。在拿出(1)后可以問學(xué)生有沒有必要,(1)夠不夠?還有一個(gè)你覺得是什么?設(shè)法讓學(xué)生歸納出第二條。

    2.由特殊到一般,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,使新知的建構(gòu)順暢和自然,既體現(xiàn)在教師引導(dǎo)下學(xué)生自我建構(gòu),又使學(xué)生感到知識(shí)之間并不是孤立的,而是相互聯(lián)系的,他們是一個(gè)相互聯(lián)系的、密切相關(guān)的整體。

    3.深化概念:讓學(xué)生從集合的角度去體會(huì),曲線的點(diǎn)集用C表示,方程 的解集用F表示。條件(1)即 條件(2)即 ,所以 。讓學(xué)生去體會(huì)曲線的點(diǎn)與方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

    【例題分析】通過運(yùn)用,鞏固概念

    例1.請(qǐng)判斷正誤,并說明理由

    (1)到x軸距離等于1的點(diǎn)的軌跡方程為y=1;

    (2)三角形ABC的頂點(diǎn)A(0,-3),B(-2,0),C(2,0),D為BC中點(diǎn),則中線AD的方程為x=0.

    (3)已知點(diǎn)A(2,0),到點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為x2-4x+y2=0

    例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.

    說明:1.例1讓學(xué)生進(jìn)一步深化曲線和方程的定義,定義中的(1),(2)兩條缺一不可。并且提升到理論層次,讓學(xué)生指出如果不符合,不符合的是哪一條。2.例2首先引導(dǎo)學(xué)生如何證明。引導(dǎo)學(xué)生從兩方面進(jìn)行證明。點(diǎn)和解指的都是有關(guān)集合中的全體元素,怎樣解決全體問題。讓學(xué)生體會(huì)用“任意一個(gè)”代表“全體”是數(shù)學(xué)證明中常用的方法。最后師生共同來歸納證明已知曲線的方程的一般方法和步驟。第一步,設(shè) 是曲線C上任一點(diǎn),證明 是 的解;第二步,設(shè) 是 的解,證明點(diǎn) 在曲線C上。

    并且進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感受證明已知曲線的方程與證明充要條件的聯(lián)系,使學(xué)生把現(xiàn)有的知識(shí)與以前的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系。

    數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固,通過練習(xí),可以糾正錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),促使對(duì)概念的正確理解。

    【課堂小結(jié)】

    1、曲線的方程和方程的曲線的概念

    2、基本思想與方法

    數(shù)形結(jié)合的思想 , 轉(zhuǎn)化與化歸的思想

    說明:讓學(xué)生回顧、總結(jié)、聯(lián)系、整合、提高認(rèn)識(shí)、理解。endprint

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