引導(dǎo)學(xué)生合情推理，不斷創(chuàng)新

李愛兒

【中圖分類號】：G633.6

合情推理能力是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，合情推理能力強(qiáng)的同學(xué)會根據(jù)已知條件很順利地一步步推出結(jié)論。反之，不善于合情推理的同學(xué)會舉步維艱，常常思路中斷而失敗。因此在日常教學(xué)中就要從培養(yǎng)觀察、歸納、猜測等能力著手，提升合情推理能力，讓學(xué)生順利解題，不斷創(chuàng)新。

一、培養(yǎng)和提升進(jìn)行合情推理的一些基礎(chǔ)能力

（一）觀察能力。解題時要培養(yǎng)學(xué)生多角度、多種可能性觀察已知和未知的聯(lián)系。

1，觀察條件和問題的特征

例1：（1）、運(yùn)用多項式的乘法計算（x+y）（x2-xy+y2）=----， （x-y）（x2+xy+y2）=------

（2）、運(yùn)用（1）中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（ ）（ ），

a3+（2b）3=（ ）（ ）， x3-8y3=（ ）（ ）。

這題關(guān)鍵是觀察、發(fā)現(xiàn)已知和結(jié)論間的符號特征和各項之間的聯(lián)系。

，2，觀察數(shù)式相應(yīng)的圖像，用數(shù)形結(jié)合思想解題

例2：下列各三角形圖案是由若干個五角星組成的，每條邊（包括兩個頂點(diǎn)）有n（n>1）五角星，每個圖案中五角星的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷：s與n的關(guān)系.

讓學(xué)生多角度地觀察圖形，發(fā)現(xiàn)每條邊上的五角星數(shù)包括了兩個頂點(diǎn)，若每邊按n個計算，則重算了三個頂點(diǎn)上的三個，故有s=3n-3。也可以觀察總數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)每幅多3，于是猜想：s= ，從而求得s=3n-3。觀察、推理是解決本題的關(guān)鍵。

3，觀察發(fā)現(xiàn)、推理題目中的隱含條件

如：例3：（1）、計算下列各組算式并觀察它們的共同特點(diǎn)。

①： 7 9= 8 8= ②： 11 13= 12 12= ③： 79 81= 80 80=

（2）、從以上的算式中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請用字母表示這一規(guī)律，并說明它的正確性。

分析：這類題中除了要觀察算式的特征，還要觀察到（1）的計算結(jié)果中的隱含規(guī)律。

2、發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力。在學(xué)習(xí)新知識和解題中，引導(dǎo)學(xué)生捕捉自己的一些疑問和思維斷點(diǎn)，時常發(fā)現(xiàn)和提出一些問題。

3、歸納能力

教學(xué)中要注意多創(chuàng)設(shè)機(jī)會，讓學(xué)生大膽歸納、猜想。

（1）用歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論。從幾個特殊例子中歸納、猜測出結(jié)論。

例4： 計算：⑴ = 3 ⑵ =33

⑶ =333 （4） =3333

請根據(jù)上述規(guī)律寫出下式的結(jié)果： =.......

關(guān)鍵讓學(xué)生在觀察特例的基礎(chǔ)上，歸納各個數(shù)的數(shù)字個數(shù)之間的規(guī)律，再從特殊推廣到一般。

（2）用歸納法發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。很多題組類的問題都是在歸納前幾小題

的解題方法上，用于解決后面幾小題。

如，例5：一直一個面積為S等邊三角形，先將其個邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)像外做小等邊三角形（如圖所示）。

（1）、當(dāng)n=5時，共向外作出了――個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為------，

（2）、當(dāng)n=k時，共向外作出了---個小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為-----------（用含k的式子表示）。

分析：從當(dāng)n=3，n=4，n=5中，發(fā)現(xiàn)每條邊向外作了n-2個小三角形，歸納出

當(dāng)n=k時，得出總數(shù)為3（k-2）個。同樣，每個小三角形的面積根據(jù)相似三角形的面積比與邊長比的關(guān)系可得出n=5時，為 。于是由特殊到一般得出n=k時的所有小三角形的面積和為 。

4、猜測（或猜想）能力

數(shù)學(xué)猜測是一種創(chuàng)造性的思維。在解題中，要多創(chuàng)造機(jī)會鼓勵學(xué)生大膽猜測題目的結(jié)論、解題的方向與方法等等。

二、合情推理的教學(xué)與應(yīng)用

在教學(xué)中，觀察，歸納，猜測的思想并不是截然分開運(yùn)用的，而是一個交互運(yùn)用的過程。

1、在新課的定義教學(xué)中，提升觀察、歸納、猜測的思想與能力

在教材中，許多定義的得出都為我們安排了觀察、歸納的內(nèi)容。

如例6，一元一次不等式的教學(xué)：觀察下列不等式：（1）、x 4， （2）3 x，

（3） （4）、1.5x+12 0.5x+1，這些不等式有哪些共同的特點(diǎn)？

這時我們一定要留時間讓學(xué)生觀察、歸納它們的共同點(diǎn)，嘗試得出一元一次不等式的概念，從中獲得創(chuàng)新的喜悅。

2、在新課的定理、法則教學(xué)中，培養(yǎng)觀察、歸納、猜測的能力

如，浙教版七下第五章，同底數(shù)冪的乘法法則、除法法則等類似內(nèi)容，都是先編排了幾個特殊例子。這時應(yīng)讓學(xué)生充分觀察它們的計算結(jié)果，大膽歸納、猜想。還有在特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定的教學(xué)中，放手讓學(xué)生觀察、推理，大膽猜測有哪些性質(zhì)和判定，再進(jìn)行驗證。

若學(xué)生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣了主動觀察、歸納、猜測的思維方式，就會達(dá)到主動學(xué)習(xí)、大膽創(chuàng)新的目的。

3、在解題中培養(yǎng)觀察、歸納、猜測的能力

在解題中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納、猜測題目的結(jié)論，猜測解題的方向與方法等，再進(jìn)行合理的推理。

如例7，如圖， 中，A 、A 、A 、……A 是邊AC上不同的n個點(diǎn)，首先連接BA ，圖中有3個不同的三角形，再連接BA 圖中共有6個不同的三角形（1）連接到A 時，請用n的代數(shù)式表示圖中共有三角形的個數(shù)。

（ 2）若出現(xiàn)45個三角形，則共需連接多少個點(diǎn)？

分析：可以觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AC上有1個點(diǎn)時，所得三角形的個數(shù)為（2+1）個；有2個點(diǎn)時，有（3+2+1）個；有3個點(diǎn)時，有（ 4+3+2+1）個；…… 由此歸納、猜測：當(dāng)AC上有n個點(diǎn)時，三角形有[（n+1）+n+（n-1）+ ……+3+2+1 ]個。

解決此題，關(guān)鍵是從個別情況中，合情推理、歸納出一般情況下的結(jié)論。

如例8，如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后得到折痕MN，當(dāng) 時，求 的值。

類比歸納，在圖（1）中，若 ，則 的值等于----------。若 ，則 的值等于-------。

若 （n為整數(shù)），則 的值等于----------（用含n的式子表示）。

解決此題，在圖中，都可連接BM，EM，設(shè)AM=y，所以可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y= ，而在三角形ENC中，設(shè)BN=x，則（2-x）2+1=x2可得x= ，所以 = 。同理，在 ， ，時，也可觀察發(fā)現(xiàn)也能用這一方法，、很快得出，答案為 ， 。但這時思考，它們的答案是否有什么規(guī)律呢？還是沒有規(guī)律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一種情況是不太可能的。于是引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納這三個答案的規(guī)律： ， ， ，這三個分?jǐn)?shù)分別與對應(yīng)的 ， ， 相聯(lián)系觀察、歸納出，最后一小題的答案為 。這題的解決充分顯示了觀察、歸納、猜測在探索解題思路、解題結(jié)論中的作用。

總的，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，要善于創(chuàng)設(shè)時間和空間讓學(xué)生主動觀察、大膽猜測、合情推理，從而自己創(chuàng)新性地發(fā)現(xiàn)知識、解決問題，不斷提升合情推理的能力、不斷創(chuàng)新。endprint