大型鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定性分析

張洋 陳朝暉 楊帥

摘 要：針對大型LNG儲罐鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)的彈塑性穩(wěn)定性分析，基于剛體準則與改進塑性鉸模型建立適于幾何與材料雙非線性分析的空間彈塑性梁單元，研究局部荷載擾動與整體模態(tài)擾動兩種不同的初始缺陷處理方法以及材料非線性對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力影響的差異。結(jié)果表明：初始缺陷、材料非線性與約束剛度減小均會降低網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力;荷載干擾下，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力對干擾大小敏感而對位置不敏感;模態(tài)干擾屬于整體幾何缺陷，結(jié)構(gòu)整體初始變形較大，荷載位移曲線平滑。與ABAQUS相比，所建的彈塑性剛體準則空間梁單元及其相應的非線性分析方法效率與精度兼優(yōu)，適用于大型復雜工程結(jié)構(gòu)非線性分析，在處理局部缺陷對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響上具有優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)架穹頂;彈塑性;幾何非線性;剛體準則;增量迭代法

中圖分類號：TU311.4 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2022）05-0189-08

收稿日期：2020-09-06

基金項目：國家自然科學基金（51678091）

作者簡介：張洋（1996- ），男，主要從事結(jié)構(gòu)非線性分析研究，E-mail：zxyoung@live.com。

陳朝暉（通信作者），女，教授，博士生導師，E-mail：zhaohuic@cqu.edu.cn。

Received：2020-09-06

Foundation item：National Natural Science Foundation of China （No. 51678091）

Author brief：ZHANG Yang （1996- ）， main research interest： structural nonlinear analysis， E-mail： zxyoung@live.com.

CHEN Zhaohui （corresponding author）， professor， doctorial supervisor， E-mail： zhaohuic@cqu.edu.cn.

Elasto-plastic stability analysis of large steel grid dome structure

ZHANG Yang， CHEN Zhaohui， YANG Shuai

（a. School of Civil Engineering; b. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract：Based on the rigid body rule， an improved plastic hinge model is adopted to produce a spatial elasto-plastic beam element for the stability analysis of the steel dome structure of LNG storage tank by the consideration of the nonlinearity of geometry and materials.Two different methods of considering initial imperfections between local load disturbance and global modal disturbance and whether to consider the influence of material nonlinearity on the stability of the structure are studied. The results show that the initial defects， material nonlinearity and reduction of restraint stiffness will all reduce the stable bearing capacity of the grid dome structure. The stable bearing capacity of the structure under load interference is sensitive to the magnitude of the interference but not to the position; the modal interference is an overall geometric defect， the overall initial deformation of the structure is large， and the load-displacement curve is smooth.Compared with ABAQUS， the elasto-plastic rigid body criterion spatial beam element and its corresponding nonlinear analysis method are more efficient and accurate. It is suitable for nonlinear analysis of large and complex engineering structures， and has advantages in dealing with the effects of local defects on the structural stability.

Keywords：grid dome; elasto-plasticity; geometric nonlinearity; rigid body rule; incremental-iterative method

大型LNG儲罐的鋼穹頂通常采用單層球面鋼網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，加上表面鋼筋混凝土后，結(jié)構(gòu)自重近萬噸。既有結(jié)構(gòu)分析表明，LNG儲罐鋼穹頂在穹頂混凝土澆筑過程中存在整體失穩(wěn)的可能性，其安全性由整體穩(wěn)定性控制。由于其結(jié)構(gòu)跨度大、結(jié)構(gòu)體系較柔，具有強幾何非線性的特性。此外，在空間鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)受力過程中，鋼材可能發(fā)生屈服，因此，LNG儲罐穩(wěn)定承載力分析需考慮幾何與材料的雙重非線性效應。常規(guī)屈曲分析主要采用模態(tài)干擾，需要先求解結(jié)構(gòu)初始模態(tài)，再乘以系數(shù)作為結(jié)構(gòu)整體初始位移缺陷，這種分析方法計算量大，也不能反映結(jié)構(gòu)局部缺陷的影響。

結(jié)構(gòu)非線性分析常用方法包括完全拉格朗日列式（TL列式）、更新拉格朗日列式（UL列式）和協(xié)同轉(zhuǎn)動格式（CR列式）等，Bathe等提出的空間梁單元UL列式應用較為廣泛。UL列式和CR列式考慮了結(jié)構(gòu)構(gòu)形的變化，其對空間框架結(jié)構(gòu)大變形的描述更為方便，但需減小荷載步增量或增加單元劃分數(shù)才可獲得較高的精度，計算效率較低;對于柔性結(jié)構(gòu)，計算結(jié)果可能不合理。Yang等指出，對于滿足平衡的單元，如果發(fā)生剛體位移，其平衡的結(jié)點力將隨單元剛體轉(zhuǎn)動而改變方向，但大小不變，單元在當前狀態(tài)仍然平衡，這就是幾何非線性分析的“剛體準則”。Yang等、陳朝暉等根據(jù)這一準則建立了一系列單元，包括適用于柔性空間框架結(jié)構(gòu)材料幾何雙非線性分析的集中塑性鉸彈塑性平面和空間梁單元，以及與剛體準則相匹配的UL列式非線性增量迭代方法。在增量分析全過程中，基于剛體準則的單元始終滿足平衡條件。因此，該方法具有對局部荷載或內(nèi)力變化的天然敏感性，這也是目前常用的其他大變形非線性分析單元及方法不具備的特點。

筆者針對大型LNG儲罐鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)，基于剛體準則，結(jié)合改進集中塑性鉸模型的空間彈塑性梁單元及其相應的非線性增量迭代法，采用局部荷載擾動與整體模態(tài)擾動方法研究初始缺陷對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的影響。其中，局部荷載擾動用以模擬網(wǎng)架局部缺陷，從而探究網(wǎng)架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性對局部缺陷大小及位置的敏感程度。通過與ABAQUS計算結(jié)果對比，驗證方法的效率、精度及工程適用性。

1 彈塑性與幾何非線性增量迭代法

1.1 集中塑性鉸模型

如圖1所示，在滿足剛體準則的彈性空間梁單元兩端加入集中塑性鉸彈簧，設(shè)單元其余部分仍為彈性，則可建立基于剛體準則的彈塑性空間梁單元。

式中：EI/L為梁的彎曲線剛度，當桿端截面完全屈服、彈簧剛度為0時，截面形成塑性鉸。當單元結(jié)點處于彈性狀態(tài)時，塑性鉸彈簧剛度無窮大，筆者取S=10×（EI/L）。桿件彈性段的幾何剛度在截面屈服過程中不受影響。

1.2 彈塑性非線性單元剛度矩陣

根據(jù)剛體準則，結(jié)構(gòu)從初始平衡狀態(tài)到當前變形狀態(tài)的大變形或大位移可分解為兩個過程：首先，單元發(fā)生剛體位移，初始平衡狀態(tài)的單元結(jié)點力隨單元發(fā)生平移和轉(zhuǎn)動，大小不變;隨后，在當前位置發(fā)生有限變形，可為彈性變形或非彈性變形，變形引起的單元結(jié)點力增量可由單元彈性剛度矩陣或彈塑性剛度矩陣得到。對于工程中的絕大多數(shù)大變形和大轉(zhuǎn)動問題，可以認為，相較于有限變形，剛體位移占絕大部分，如圖2所示的壓桿屈曲就可視為這種情形。由這一簡化假定而產(chǎn)生的對實際變形的描述誤差可通過細分單元或減小步長來降低。

結(jié)合前述集中塑性鉸模型，基于UL列式，可推導剛體準則彈塑性空間梁單元的剛度矩陣。可知，當梁端截面完全屈服時，截面彎矩增量為0，即

在單元發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動時，建立的彈塑性剛度矩陣單元虛應變能為零，不會產(chǎn)生結(jié)點力增量。式中k為單元彈性段的幾何剛度矩陣，滿足剛體準則，詳見文獻[11]。

1.3 基于剛體準則的增量迭代法

基于UL列式的非線性分析增量迭代法包括3個步驟，即位移增量預測、結(jié)點力計算和誤差判斷。其中，位移增量預測是在給定荷載增量下計算結(jié)構(gòu)整體結(jié)點位移增量，是結(jié)構(gòu)全局分析。

設(shè)第i增量步、第j迭代步的結(jié)構(gòu)整體增量平衡方程可寫作

kΔU=λ+R（12）

R=P-F（13）

式中：k為結(jié)構(gòu)剛度矩陣;ΔU為結(jié)構(gòu)位移增量;P、F和R分別為荷載向量、節(jié)點內(nèi)力向量和結(jié)點不平衡力。

單元結(jié)點力計算是以當前狀態(tài)為參考，計算單元節(jié)點力增量?？捎山Y(jié)構(gòu)位移增量ΔU提取單元節(jié)點位移向量u，根據(jù)剛體準則，單元結(jié)點力為上一迭代步的結(jié)點力做剛體轉(zhuǎn)動至單元當前位置后再疊加彈塑性變形產(chǎn)生的結(jié)點力增量，計算式為

f=f+Δf=f+ku（14）

式中：Δf為單元彈塑性變形產(chǎn)生的結(jié)點力增量。f、f分別為當前迭代步和上一迭代步的節(jié)點內(nèi)力向量。

誤差判斷用以計算并判斷結(jié)點不平衡力是否滿足收斂要求。通過組集單元結(jié)點內(nèi)力得到結(jié)構(gòu)結(jié)點內(nèi)力向量F。由式（13）計算當前迭代步的結(jié)點不平衡力，若滿足收斂條件，則進入下一增量步;否則，繼續(xù)進行位移預測和單元結(jié)點力計算直至收斂。可見，單元結(jié)點力增量的計算對幾何非線性分析的精度起決定作用，該部分造成的不平衡誤差無法通過迭代根本消除。

采用上述方法編寫相應程序，進行空間柔性網(wǎng)架結(jié)構(gòu)屈曲分析。其中，荷載增量因子λ采用了Yang等提出的廣義位移控制法，該方法具有自適應性、計算效率高的優(yōu)點，在靜力和動力非線性分析中獲得了廣泛應用。

2 鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定性分析

2.1 算例概況

某22萬m LNG儲罐的鋼穹頂如圖3所示，由圓柱殼罐體及球殼穹頂組成，跨度92.4 m，鋼穹頂與外罐連接處標高43 m，頂部標高55.78 m，曲率半徑92.4 m。LNG儲罐的鋼穹頂由鋼板與H型鋼梁焊接組成，其中，鋼板采用16MnDr（Q345）鋼材，厚6 mm;徑、環(huán)向梁均采用Q345鋼材。徑向梁為窄翼緣工字型鋼HN400×200×8×13（半徑2.25～36.45 m）和HN400×400×13×21（半徑36.45～46.2 m）;環(huán)向梁為窄翼緣工字型鋼HN400×200×8×13。該結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)見表1。

不考慮穹頂蒙皮鋼板與網(wǎng)架的共同作用，將荷載靜力等效轉(zhuǎn)化為沿網(wǎng)架徑向梁的等效線荷載。LNG儲罐鋼穹頂與外罐連接方式通常為焊接，實際約束介于固定支座與鉸支座之間，故分別考慮固定支座與鉸支座兩種情形。采用前述剛體準則空間彈塑性梁單元進行鋼穹頂屈曲分析，并與彈性空間梁單元和ABAQUS對比。

Morris研究表明，結(jié)構(gòu)整體缺陷可使穩(wěn)定性臨界荷載下降35%。因此，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析應考慮初始缺陷的影響，采用幾何缺陷和荷載干擾兩種方式施加初始缺陷。其中，幾何初始缺陷選取網(wǎng)殼的一階屈曲模態(tài)且缺陷變形處最大計算值取為網(wǎng)殼跨度的1/300，即0.308 m;荷載干擾則采用隨機對某節(jié)點施加微小干擾力的方法來實現(xiàn)。

采用所建剛體準則塑性鉸空間梁單元，每根桿件劃分2個單元，共計2 598個。同時，采用ABAQUS中的B32OS單元進行對比，每根桿件劃分4個單元，在穹頂中心區(qū)域局部加密，內(nèi)圈徑、環(huán)向梁每根桿件劃分16個單元，次內(nèi)圈徑、環(huán)向梁每根桿件劃分8個單元，共計8 460個。定義材料為理想彈塑性，屈服強度取345 MPa。B32OS單元每個結(jié)點7個自由度，包含考慮工字型截面翹曲影響的自由度。取初始荷載為0，荷載增量為1 kN/m，荷載增量因子初值為1。

分別施加模態(tài)干擾和荷載干擾，其中，模態(tài)干擾為整體幾何缺陷，而荷載干擾為局部缺陷，以此對比結(jié)構(gòu)整體缺陷與局部缺陷對其穩(wěn)定性的影響。采用彈塑性空間梁單元進行穹頂結(jié)構(gòu)屈曲和后屈曲分析，網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)的荷載與頂點豎向位移曲線如圖4所示，圖中給出了其與無初始缺陷、彈性屈曲分析以及ABAQUS計算結(jié)果的對比?？梢?，采用建立的彈塑性空間梁單元與ABAQUS結(jié)果高度吻合。表2為網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)的極限承載力以及與ABAQUS計算結(jié)果的相對誤差。施加局部荷載擾動時，該方法所得承載力與ABAQUS相差僅1.1%，后屈曲分析曲線基本重合。參照ABAQUS，彈性屈曲分析的平均誤差為17.55%，而考慮了材料非線性的彈塑性屈曲分析的平均誤差僅為3.84%?？梢姡槍κ艿綆缀闻c材料雙重非線性影響的大型LNG儲罐鋼穹頂結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)定性分析時，彈塑性屈曲分析具有重要性和必要性。

受局部荷載干擾時，在固定支座和鉸支座下，剛體準則單元與ABAQUS結(jié)構(gòu)均吻合良好;施加幾何缺陷時，鉸支座下本文單元與ABAQUS結(jié)果吻合良好，而固定支座下相差7.49%，相對較大，這可能是由于固定支座下薄壁型鋼截面翹曲加劇，而本文單元未引入翹曲自由度。為此，將每根桿件劃分為4個單元，共計5 196個單元，仍小于ABAQUS單元數(shù)，則穹頂結(jié)構(gòu)的極限承載力相對誤差降為4.55%?？梢?，基于剛體準則的單元可以通過增加單元數(shù)來考慮截面復雜變形的影響而無需增加結(jié)點自由度或假設(shè)復雜的單元變形曲線。

本文單元數(shù)不到ABAQUS的1/3，且單元的幾何剛度矩陣為線性矩陣，彈塑性分析為集中塑性鉸模型，單元構(gòu)造簡單。所采用的基于剛體準則的單元未對桿件屈曲模式進行人為假定，滿足剛體運動中的平衡條件，因此，此類單元在迭代計算的收斂效率與精度上具有天然優(yōu)勢，且對荷載擾動敏感，可采用局部荷載擾動進行結(jié)構(gòu)屈曲分析。筆者在空間拱結(jié)構(gòu)屈曲分析中對剛體準則單元的這一優(yōu)勢也有論述。

圖4還顯示，支座固定時，有初始幾何缺陷的鋼穹頂結(jié)構(gòu)彈塑性屈曲承載力（6.91 kN/m）遠小于無初始缺陷的情形（18.09 kN/m），顯然，初始缺陷顯著影響了鋼穹頂?shù)恼w穩(wěn)定承載力。此外，對應固定支座和鉸支座，鋼穹頂?shù)臉O限承載力分別為6.91、3.94 kN/m，網(wǎng)架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性對支座約束條件敏感。圖5為鋼穹頂?shù)那冃螆D，可見，在考慮初始缺陷以及幾何與材料雙重非線性的影響下，鋼穹頂?shù)氖Х€(wěn)模式為局部區(qū)域凹陷。

3 鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性參數(shù)分析

針對該鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)，對比荷載干擾與初始幾何缺陷下的穩(wěn)定性。

固定支座下，在網(wǎng)架穹頂中心頂點處施加豎向干擾力，分別為原荷載的1/1 000、1/200、1/100、1/20和1/10，改變初始幾何缺陷大小，以一階屈曲模態(tài)為基準且其缺陷變形最大值分別取為0.1Δ、0.25Δ、0.5Δ、0.75Δ和1.0Δ，Δ=0.308 m，進行鋼穹頂非線性全過程分析。

由圖6所示的穹頂中心荷載位移曲線可知，初始缺陷的選取會顯著影響鋼穹頂?shù)姆€(wěn)定承載力。其中，受到荷載干擾的結(jié)構(gòu)初始變形較小，在極值點附近突變;而具有幾何缺陷的結(jié)構(gòu)初始變形相對較大，荷載位移曲線較為平滑。

在網(wǎng)殼穹頂中心頂點處和半徑為2.25、7.34、12.405、17.415、22.365 m的變形最大節(jié)點及其對稱節(jié)點共11個不同位置分別施加豎向干擾力，大小均為原荷載的1/10，得到的穹頂中心荷載位移曲線如圖7所示，可見，在不同節(jié)點位置施加干擾力得到的結(jié)果一致，即穹頂結(jié)構(gòu)對荷載干擾位置不敏感。

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定荷載與初始缺陷大小的關(guān)系如圖8所示，荷載干擾和幾何缺陷導致整體穩(wěn)定承載力相對于無初始缺陷的下降率分別為53.22%、57.05%、58.29%、59.77%、61.06%和61.99%、63.20%、64.42%、65.12%、65.46%。隨著缺陷的增大，兩種情況的穩(wěn)定承載力下降速率均有所減緩。

4 結(jié)論

采用改進塑性鉸模型建立了基于剛體準則的空間彈塑性梁單元，運用UL格式的廣義位移控制法，以22萬m LNG儲罐鋼穹頂為例，分析了鋼網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)的屈曲和后屈曲性能，主要結(jié)論如下：

1）分析結(jié)果與ABAQUS結(jié)果的一致性表明，所建立的基于剛體準則的彈塑性空間梁單元模型及其非線性分析方法適用于大型復雜鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的屈曲和后屈曲分析，具有劃分單元及自由度少、可以考慮薄壁型鋼截面翹曲影響、剛度矩陣簡明、計算效率和精度高的多重優(yōu)勢。與彈性屈曲分析結(jié)果的差異表明，材料屈服對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性具有顯著影響，屈曲分析時應予以考慮。

2）網(wǎng)架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性對初始缺陷較為敏感，荷載干擾和幾何缺陷均導致整體穩(wěn)定承載力下降60%左右。在荷載干擾形成的局部缺陷下，結(jié)構(gòu)初始變形較小，荷載位移曲線在極值點附近突變，主要影響結(jié)構(gòu)極限承載力且局部缺陷的施加位置不同對結(jié)果幾乎沒有影響;在整體幾何缺陷下，結(jié)構(gòu)初始變形相對較大，荷載位移曲線較為平滑，主要影響結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)。

3）常規(guī)屈曲分析主要采用模態(tài)干擾，需先求解結(jié)構(gòu)初始模態(tài)，再乘以系數(shù)作為結(jié)構(gòu)整體初始位移缺陷，計算量大，不能反映結(jié)構(gòu)局部缺陷的影響。本文剛體準則單元基于單元的平衡性質(zhì)而建立，通過施加局部干擾力模擬結(jié)構(gòu)局部缺陷，不必先進行模態(tài)分析，計算效率高。

4）網(wǎng)架結(jié)構(gòu)對支座約束條件同樣較為敏感。固定支座下，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力高，支座約束的選取對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響較大。

參考文獻：

[1] 王恒. 大型LNG儲罐混凝土外罐及穹頂施工期間全過程受力分析[D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學， 2014.

WANG H. Complete process analysis of concrete outer tank and dome during the construction period of LNG tank [D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2014. （in Chinese）

[2] 李斌， 王文燾， 李明. 大型儲罐鋼穹頂穩(wěn)定性分析研究[J]. 石油化工安全環(huán)保技術(shù)， 2019， 35（4）： 31-32，70.

LI B， WANG W T， LI M. Stability analysis of large storage tank steel dome [J]. Petrochemical Safety and Environmental Protection Technology， 2019， 35（4）： 31-32，70. （in Chinese）

[3] BATHE K J， BOLOURCHI S. Large displacement analysis of three-dimensional beam structures [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1979， 14（7）： 961-986.

[4] YANG Y B， CHIOU H T. Rigid body motion test for nonlinear analysis with beam elements [J]. Journal of Engineering Mechanics， 1987， 113（9）： 1404-1419.

[5] YANG Y B， KUO S R. Theory & analysis of nonlinear framed structures [M]. Singapore： Prentice Hall， 1994.

[6] YANG Y B， LIN S P， CHEN C S. Rigid body concept for geometric nonlinear analysis of 3D frames， plates and shells based on the updated Lagrangian formulation [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2007， 196（7）： 1178-1192.

[7] YANG Y B， CHANG J T， YAU J D. A simple nonlinear triangular plate element and strategies of computation for nonlinear analysis [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1999， 178（3/4）： 307-321.

[8] YANG Y B， LEU L J. Force recovery procedures in nonlinear analysis [J]. Computers & Structures， 1991， 41（6）： 1255-1261.

[9] 陳朝暉， 楊帥， 楊永斌. 彈性膜結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的剛體準則法[J]. 工程力學， 2020， 37（6）： 246-256.

CHEN Z H， YANG S， YANG Y B. The rigid body rule for the nonlinear analysis of membrane structures [J]. Engineering Mechanics， 2020， 37（6）： 246-256. （in Chinese）

[10] YANG Y B， CHEN Z H， TAO Y C， et al. Elasto-plastic analysis of steel framed structures based on rigid body rule and plastic-hinge concept [J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics， 2019， 19（9）： 1950104.

[11] 陳朝暉， 陶宇宸， 楊永斌. 基于剛體準則的空間框架彈塑性非線性分析方法[J].建筑結(jié)構(gòu)學報， 2020， 41（10）： 139-149.

CHEN Z H， TAO Y C， YANG Y B. Elastoplastic nonlinear analysis method for spatial frame based on rigid body rule [J]. Journal of Building Structures， 2020， 41（10）： 139-149. （in Chinese）

[12] LIEW J Y R， WHITE D W， CHEN W F. Second-order refined plastic-hinge analysis for frame design. part I [J]. Journal of Structural Engineering， 1993， 119（11）： 3196-3216.

[13] DUAN L， CHEN W F. Design interaction equation for steel beam-columns [J]. Journal of Structural Engineering， 1989， 115（5）： 1225-1243.

[14] 李云飛， 陳朝暉， 楊永斌， 等. 基于剛體準則和廣義位移控制法的拱結(jié)構(gòu)屈曲與后屈曲分析[J]. 土木工程學報， 2017， 50（12）： 37-45.

LI Y F， CHEN Z H， YANG Y B， et al. Buckling & post-buckling analysis of arches based on rigid body rule and GDC method [J]. China Civil Engineering Journal， 2017， 50（12）： 37-45. （in Chinese）

[15] BATOZ J L， DHATT G. Incremental displacement algorithms for nonlinear problems [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1979， 14（8）： 1262-1267.

[16] YANG Y B， SHIEH M S. Solution method for nonlinear problems with multiple critical points [J]. AIAA Journal，1990， 28（12）： 2110-2116.

[17] 李忠學. 初始幾何缺陷對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)靜、動力穩(wěn)定性承載力的影響[J]. 土木工程學報， 2002， 35（1）： 11-14， 24.

LI Z X. Effects of initial geometrical imperfections on dynamic stability of reticulated shell structures [J]. China Civil Engineering Journal， 2002， 35（1）： 11-14， 24. （in Chinese）

[18] TORKAMANI M A M， SONMEZ M. Inelastic large deflection modeling of beam-columns [J]. Journal of Structural Engineering， 2001， 127（8）： 876-887.

[19] MORRIS N F. Effect of imperfections on lattice shells [J]. Journal of Structural Engineering， 1991， 117（6）： 1796-1814.

（編輯 黃廷）