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    多類型異構(gòu)無線網(wǎng)絡(luò)連通性研究*

    2014-02-28 06:17:30郭敬元
    電信科學(xué) 2014年3期
    關(guān)鍵詞:連通性異構(gòu)滲流

    郭敬元,楊 濤,馮 輝,胡 波

    (復(fù)旦大學(xué)電子工程系 上海200433)

    1 引言

    隨著網(wǎng)絡(luò)中越來越靈活的接入需求的發(fā)展,不同類型的用戶終端之間的交互變得越來越頻繁,網(wǎng)絡(luò)也越來越多地體現(xiàn)出異構(gòu)和動態(tài)的特性。異構(gòu)性體現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)中用戶節(jié)點類型和分布的不同;動態(tài)性體現(xiàn)在自組織網(wǎng)絡(luò)可以靠節(jié)點之間的通信組織相連網(wǎng)絡(luò),而不需要中心節(jié)點進(jìn)行協(xié)調(diào)。典型的例子是認(rèn)知無線電技術(shù),主用戶和次用戶之間通過機(jī)會頻譜共享進(jìn)行交互。近年來,連續(xù)滲流理論[1]的發(fā)展和在全局網(wǎng)絡(luò)行為方面的應(yīng)用得到了重視。對于同構(gòu)的自組織網(wǎng)絡(luò)的連通性已有很多研究[2~6],但對于異構(gòu)網(wǎng)絡(luò),只有零星的文獻(xiàn)有所研究,其中Ren W等人[7]定義了連通區(qū)域的概念,并推導(dǎo)出以節(jié)點密度、干擾范圍和傳輸范圍形式給出的連通性充分和必要條件,首創(chuàng)了將機(jī)會頻譜的占有和釋放與布爾滲流模型中的連通分量和空分量進(jìn)行耦合求解。而對于次用戶之間的合作對連通性的影響,Chon W[8]將異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)建模為多個自組織網(wǎng)絡(luò),得到噪聲受限和干擾受限普通衰落信道條件下的平均度和度分布,并以此為基礎(chǔ)分析了合作滲流。參考文獻(xiàn)[9]引入了認(rèn)知無線電圖模型,并考慮可用信道的個數(shù)和活動的主用戶,由此得出在滿足次用戶網(wǎng)絡(luò)滲流前提下的主用戶臨界密度。Wang P等[10]考慮到動態(tài)連接對連通性的影響,證明如果次用戶密度大于一個臨界值,則網(wǎng)絡(luò)在任意時刻都可以保持連通,即使網(wǎng)絡(luò)一直經(jīng)歷動態(tài)變化;還證明即使在任意時刻整個次用戶網(wǎng)絡(luò)是不連通的,也有可能存在一條時延通路使得某個次用戶以概率1發(fā)送信息到目的地,而這一時延與發(fā)送端到接收端的歐式距離呈漸進(jìn)線性關(guān)系。

    網(wǎng)絡(luò)連通性的研究,分為有限范圍和無限范圍,本文研究后者。從滲流角度研究無線多跳網(wǎng)絡(luò)的連通性,主要特點是連通性取決于某個參數(shù),滲流模型的分量可能有兩種情況:所有連通分量全部有限;存在一條無限長的連通分量。后者被定義為無限網(wǎng)絡(luò)的連通。

    網(wǎng)絡(luò)連通性研究的目標(biāo)就是要找到使得網(wǎng)絡(luò)能夠連通的條件,參見如下連通性的定義:如果網(wǎng)絡(luò)中存在一條無限長的連通分量,則稱網(wǎng)絡(luò)是連通的。所謂無限長的連通分量,指圖中無限長的由節(jié)點連接而成的一個分簇,只要存在無限長連通分量的概率不為0,就認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)是連通的。

    網(wǎng)絡(luò)滲流的概念是從物理學(xué)領(lǐng)域發(fā)展出來的,指的是從無連通分量到出現(xiàn)連通分量的相變過程,即物質(zhì)在外部參數(shù)(如溫度、壓力等)的連續(xù)變化之下,從一種相忽然變成另一種相,最常見的是冰變成水。將網(wǎng)絡(luò)滲流應(yīng)用到信息科學(xué)領(lǐng)域,通過隨機(jī)幾何圖實現(xiàn)。隨機(jī)幾何圖描述了點和邊的關(guān)系,點和邊的分布以及邊和邊的連接方式?jīng)Q定了一個隨機(jī)幾何圖的性質(zhì),點的分布服從某個特定的點過程。點過程是從概率空間到某空間E上的點度量空間的映射Φ,點度量是局部有限的,且只取整數(shù)值,表示如下:

    其中,δXi是狄拉克測度,Xi是隨機(jī)變量,在E上取值,是d維歐幾里德空間,d≥1。連續(xù)滲流領(lǐng)域普遍采用的模型是泊松點過程分布的點,當(dāng)且僅當(dāng)它們之間的距離不超過r時,這兩點相連,記為G(X,r)。雖然泊松分布過程被廣泛用作分析隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)連通性,但并不總是符合實際情況,簇分布被證明更加接近城市熱點地區(qū)的實際情況[11,12],不過此類分布的連通性仍然未知。常規(guī)的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)分析主要側(cè)重于兩類異構(gòu)用戶,即主用戶和次用戶之間的交互行為,但實際上次用戶也是由多種類型的終端構(gòu)成的,如具有不同傳輸范圍的終端。本文通過對單類型節(jié)點和多類型用戶節(jié)點組成的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的分析,推導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的連通性與各參數(shù)之間的影響。

    2 網(wǎng)絡(luò)模型與應(yīng)用

    目前主要從兩個角度進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)連通性研究,分別是泊松布爾模型和隨機(jī)連接模型。布爾模型中,點的分布隨機(jī),每個點的覆蓋范圍隨機(jī)(連續(xù)滲流中采用固定大小圓盤模型),任意節(jié)點可以和自己覆蓋范圍內(nèi)的所有節(jié)點連接;隨機(jī)連接模型中,點的分布隨機(jī),但每個點并不是跟自己圓形覆蓋范圍內(nèi)的節(jié)點連接,而是由一個隨機(jī)連接函數(shù)決定與某一個節(jié)點進(jìn)行連接。

    從布爾模型和隨機(jī)連接模型兩個角度分別分析異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的連通性,其中布爾模型又分為單類型節(jié)點異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)和多類型節(jié)點異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。對于每種模型,都有一個對應(yīng)的實際應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行舉例分析,如移動自組織(Ad Hoc)網(wǎng)絡(luò)、認(rèn)知無線電。

    2.1 布爾模型

    2.1.1 單類型節(jié)點異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

    Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)的連通性受到廣泛關(guān)注。Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)是一種多跳的臨時性自治系統(tǒng),原型是美國早在1968年建立的ALOHA網(wǎng)絡(luò)。作為一種分布式網(wǎng)絡(luò),Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)是一種自治、多跳網(wǎng)絡(luò),整個網(wǎng)絡(luò)沒有固定的基礎(chǔ)設(shè)施,能夠在不能利用或者不便利用現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施(如基站、AP)的情況下,提供終端之間的相互通信。由于終端的發(fā)射功率和無線覆蓋范圍有限,距離較遠(yuǎn)的兩個終端如果要進(jìn)行通信就必須借助于其他節(jié)點進(jìn)行分組轉(zhuǎn)發(fā),這樣節(jié)點之間構(gòu)成了一種無線多跳網(wǎng)絡(luò)。

    簡單地用泊松分布分析Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)過為理想化,因為假定所有用戶節(jié)點平均分布在有限區(qū)域中不太符合實際情況。實際的用戶節(jié)點分布經(jīng)常是在某些熱點地區(qū)稠密,在其他非熱點地區(qū)稀疏,從而可引出簇分布,即用戶節(jié)點有向各個中心節(jié)點靠攏的趨向。分析單類型用戶時,用簇分布中的一種——Thomas分布模擬真實用戶節(jié)點分布。

    當(dāng)次用戶只有一種類型(即所有次用戶傳輸范圍相同)且分簇分散在各處時,研究臨界點與其他簇分布參數(shù)的關(guān)系。采用Thomas點過程作為簇分布的模型,圖1(a)為一個Thomas過程在單位方格中的示例。在Thomas過程中,節(jié)點分為兩類:一類是簇頭節(jié)點,即中心節(jié)點,如圖1(a)中的“”點,服從泊松分布,均勻密度為λ;另一類是圍繞在各個中心節(jié)點周圍的普通節(jié)點,如圖1(a)中的黑色圓點,服從高斯分布,均值為μ,協(xié)方差矩陣為σ=diag(σx,σy),圖1(a)中的圓圈是以中心節(jié)點為圓心、某個固定的σ=σx=σy為半徑所做的圓。所有普通節(jié)點都可作為發(fā)送端和接收端,傳輸范圍均為r。

    直觀來說,當(dāng)節(jié)點分布從泊松分布擴(kuò)展到Thomas分布時,滲流產(chǎn)生將變得更加困難。原因在于隨著進(jìn)一步的聚簇,越來越多的內(nèi)部節(jié)點的連接效應(yīng)會遞減,直到逐步發(fā)展到全局連通性主要由每個簇的邊緣節(jié)點決定。一旦這些邊緣節(jié)點可以連接相鄰的簇的邊緣節(jié)點,這兩個簇就可以連通。從這種思路出發(fā),引用平均場估計 (mean field approximation)理論推導(dǎo)傳輸半徑的臨界值。平均場估計理論被用來分析多體物理系統(tǒng)中的交互行為,用均值代替所有交互,將多體問題有效地簡化為單體問題。建模時將所有周邊信息視為一個統(tǒng)一的變量,并將所有的殘余節(jié)點視為確定性的平均場,本質(zhì)即統(tǒng)計均值。

    對于Thomas過程而言,可以把簇的內(nèi)部和外部的節(jié)點等效為一個半徑確定但未知的圓,使得這些節(jié)點等效于這個圓上某些均勻分布的點(如圖1(b)所示)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[13],可以先得到圓內(nèi)點的距離分布以及圓上點的平均距離(即圓上點的個數(shù))。假設(shè)兩個簇的等效圓上各有3個均勻分布的節(jié)點,為了研究這兩個簇之間的隨機(jī)連通性,假定左邊的簇O1固定,讓右邊的簇O2以簇頭為中心,沿某方向轉(zhuǎn)動。當(dāng)總存在至少一個節(jié)點在弧de上時,則總存在一個節(jié)點c可以連接到O2的邊緣節(jié)點,以使兩個簇連通,途經(jīng)節(jié)點{a,b,c,d,e}。

    2.1.2 多類型節(jié)點異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

    單一類型的簇分布的用戶節(jié)點并不能反映其他一些重要的實際場景,應(yīng)當(dāng)引入混合類型的用戶節(jié)點。例如在認(rèn)知無線電中,有主用戶和次用戶兩類,而次用戶本身也可能有多種類型。考慮到理論分析的可行性,構(gòu)建以下泊松分布的認(rèn)知無線電模型。

    無限的二維歐式空間中,泊松分布的次用戶網(wǎng)絡(luò)疊加在泊松分布的主用戶網(wǎng)絡(luò)上。這與同構(gòu)網(wǎng)絡(luò)有著顯著的區(qū)別,即多類次用戶節(jié)點之間通信鏈路的存在與否不僅取決于它們之間的距離,還跟周圍主用戶的特征(荷載、拓?fù)洹⒏蓴_容限)和收發(fā)行為有關(guān)。

    假設(shè)主用戶發(fā)射端以密度為λp的二維泊松點過程分布,對每個主用戶發(fā)射端來說,它的接收端均勻分布在傳輸距離為Rp的范圍內(nèi)。假定所有主用戶發(fā)射端的發(fā)射功率相同,信號經(jīng)過相同的路徑損耗,則主用戶接收端也以密度為λp的二維泊松點過程分布且與發(fā)射端點過程相關(guān),主用戶對周圍次用戶的干擾范圍是RI。

    次用戶疊加在主用戶之上,也服從泊松分布,分為兩類(T1與T2),具有混合密度λs,即T1次用戶密度為pλs,T2次用戶密度為(1-p)λs,傳輸范圍分別是rp1、rp2,干擾范圍分別是rI1、rI2。以參考文獻(xiàn)[7]中的模型為參考,并拓展到兩類次用戶的情況,構(gòu)建次用戶之間的雙向連接,如圖2所示。

    圖1 Thomas過程

    圖2主用戶與次用戶示意

    圖2 (a)中,次用戶A到次用戶B的通信鏈路可分為4種情況:T1→T1、T1→T2、T2→T1、T2→T2。圖2(b)為T1→T2放大后的詳細(xì)情況。為了解決網(wǎng)絡(luò)連通性的問題,構(gòu)建隨機(jī)場多類型分支(MBPR)過程,從理論上推導(dǎo)分布參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響??梢韵胂螅瑥哪硞€用戶節(jié)點S1開始,把與之相連的用戶節(jié)點組成的連通分量“提起來”變成一棵以S1為根的樹(如圖3所示),這樣無限長連通分量的存在性就等價于這棵樹(分支過程)能否無限生長下去。問題的本質(zhì)就是,隨機(jī)場如何決定樹的每一代的復(fù)制分布。如前所述,用戶的不同類型指的是不同的傳輸半徑,從而MBPR可以被歸結(jié)為具有不同傳輸半徑的用戶能否通過合作使得這棵樹無限延伸,由此引出兩類次用戶連通的必要條件。當(dāng)有更多類型的次用戶時,可以方便地從兩類次用戶進(jìn)行拓展。

    圖3 多類型分支過程

    定理 以上定義的混合次用戶網(wǎng)絡(luò)能夠發(fā)生滲流的必要條件是:

    證明 基本思路是構(gòu)建一個MBPR,每個節(jié)點都分別對應(yīng)一個類型t∈T={1,2},每個節(jié)點都可以“生出”任意類型的子節(jié)點,即任意次用戶都可以和滿足以下條件的T1和T2次用戶進(jìn)行通信。

    ·條件1:它們之間的距離至多為max{rp1,rp2};

    ·條件2:它們之間存在雙向機(jī)會頻譜,即次用戶A的rI1或rI2范圍內(nèi)無主用戶接收端,RI范圍內(nèi)無主用戶發(fā)射端,見圖2(b)。

    對于每個節(jié)點來說,如果它屬于類型t,則有一個與它關(guān)聯(lián)的隨機(jī)向量ζt={ζt1,ζt2},其中ζtj是一個隨機(jī)變量,表示由第t類節(jié)點產(chǎn)生第j類節(jié)點的個數(shù)。把它的期望記為mij,則一階矩量矩陣可由A構(gòu)建。根據(jù)參考文獻(xiàn)[16]的定理,MBPR在ρ=1、ρ<1、ρ>1時分別為臨界、次臨界和超臨界狀態(tài),其中ρ是矩陣A的譜半徑,即A的最大正特征值。

    在上述分支過程中,矩陣A的4個元素可以用與參考文獻(xiàn)[7]類似的方法求得,式(4)給出m12元素的求解,其他3個元素可采用類似方法求得。

    圖4 SI2(r,θ,Rp,t,rI1,rI2)為陰影部分

    2.2 隨機(jī)連接模型

    用圓盤模型進(jìn)行理論分析較為方便,但在實際應(yīng)用場景中,由于功率限制與通信干擾及能量消耗等因素,用戶節(jié)點并不可能跟通信范圍內(nèi)的所有節(jié)點都建立連接,而只能跟通信范圍內(nèi)的某些節(jié)點建立連接。此場景可抽象為由隨機(jī)連接函數(shù)決定節(jié)點間連接的隨機(jī)連接模型。先介紹不考慮用戶節(jié)點間距離的Erd仵s-Rényi(ER)模型,再擴(kuò)展增加距離約束。

    在圖模型中,ER模型指在每一對節(jié)點中,都以相同的概率p存在一條邊。近年來,Achilioptas過程因為能夠提前或推遲滲流相變的發(fā)生而受到很多關(guān)注。在2000年的一個會議中,Achlioptas D提出,從一個沒有邊的圖出發(fā),每一步從所有可能的邊中找到兩條獨立的邊e1和e2,再根據(jù)“乘積規(guī)則”[15]選擇兩條邊的一條進(jìn)行連接。而“乘積規(guī)則”,就是通過選擇邊的兩點所在分量的度的乘積大的一條,選擇對應(yīng)的邊。問題在于:乘積規(guī)則會對產(chǎn)生的邊的大小有何變化?對圖的滲流有什么影響?這里給出一個仿真來展示ER模型和乘積規(guī)則對于Thomas過程臨界行為的影響。

    如圖5(a)所示,橫坐標(biāo)為次數(shù),即每次根據(jù)乘積規(guī)則添加一條邊,縱坐標(biāo)為最大連通分量的大小??梢钥吹?,乘積規(guī)則會一開始推遲相變的發(fā)生,最大連通分量一直保持較小的增長,直到到達(dá)臨界點,最大連通分量迅速增大到90%以上,產(chǎn)生爆炸效應(yīng),從ER模型的一階相變變?yōu)槎A相變,這種選擇方法產(chǎn)生所謂的“爆炸滲流”現(xiàn)象。

    更進(jìn)一步考慮爆炸滲流,一種方法是增加距離約束,即讓兩個用戶節(jié)點之間的連通概率與距離有關(guān)。一般連通性會隨著距離的增大而減少,而是否連通取決于兩個節(jié)點在實際網(wǎng)絡(luò)中的真實距離,這樣乘積規(guī)則就可以修改為增加距離參數(shù),即選擇以下值:

    這被稱為“最小引力規(guī)則”,用來衡量距離對最大連通分量出現(xiàn)的影響。其中,d是一個可調(diào)參數(shù),衡量距離對乘積規(guī)則的影響,M1與M2表示第一條邊的兩個節(jié)點所對應(yīng)的連接分量的大小,R12表示這兩個點的距離,M3與M4表示第二條邊的兩個節(jié)點所對應(yīng)的連接分量的大小,R34表示這兩個點的距離。引入距離對爆炸滲流的影響如圖5(b)所示,其中粗線表示ER模型,其他7條曲線分別是d從1~7時的乘積規(guī)則模型,隨著d的增大,爆炸特性逐漸減少??梢酝茰y存在某種標(biāo)度,當(dāng)d趨于無窮大時,爆炸滲流趨于ER模型。

    3 仿真試驗與分析

    使用蒙特卡洛仿真驗證第2.1節(jié)中二維Thomas過程的臨界連接現(xiàn)象,目的是研究何時以及在哪里會發(fā)生滲流、不同參數(shù)之間的交互如何影響相變的發(fā)生。通過有限尺度的標(biāo)定,首先設(shè)置初始值,在單位方格內(nèi)以Thomas分布確定點的位置。保持3個參數(shù)不變而改變另一個參數(shù),得到如圖5所示的觀察結(jié)果,其中,縱坐標(biāo)是最大連通分量所占總節(jié)點個數(shù)的比例,橫坐標(biāo)是對應(yīng)的改變參數(shù)。

    圖5 兩種爆炸滲流模型相變比較

    圖6(a)是通信范圍r對連通性的影響。顯然,如果不要求全連通,則可以顯著地減小r。聚簇參數(shù)σ對最大連通分量的影響較微小,因為較小的σ會加速最大連通分量的出現(xiàn)。圖6(b)是μ對連通性的影響,可以看出,增大μ對于增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)連通性的效率不高,原因是這只是增大了簇頭節(jié)點周圍的平均節(jié)點數(shù)目,如果沒有增大λ,連通性很難通過只擴(kuò)大每個簇的節(jié)點數(shù)而提高。圖6(c)是λ對連通性的影響,因為增大λ不僅會增加簇頭點數(shù),而且還有附帶的周圍節(jié)點,密度參數(shù)λ對整個網(wǎng)絡(luò)連通性的影響最大。圖6(d)是σ對連通性的影響,這個參數(shù)的影響比其他幾個參數(shù)更復(fù)雜些,隨著σ的增大,最大連通分量的大小先增后減。

    尋找臨界值rc、λc較為困難,可以從工程應(yīng)用角度擬合得到rc的近似值。擬合的一種方法是對圖6(b)曲線中的μ進(jìn)行微分,尋找最大的斜率點r作為臨界值rc并與每個μ對應(yīng),從而得到二階對數(shù)多項式擬合。

    4 結(jié)束語

    從滲流角度研究了自組織異構(gòu)通信網(wǎng)絡(luò)的連通性問題,分別從布爾模型和隨機(jī)模型的角度出發(fā),對單類型用戶網(wǎng)絡(luò)和多類型用戶網(wǎng)絡(luò)在不同場景下進(jìn)行建模,從理論推導(dǎo)和仿真的角度分析了認(rèn)知無線電系統(tǒng)中次用戶網(wǎng)絡(luò)的連通性。上述研究對多類型異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的部署與設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。

    圖6 各參數(shù)對最大連通分量的影響

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