運(yùn)用特殊思想，指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題

姜威

特殊化思想，就是將數(shù)學(xué)難題中普遍出現(xiàn)的難題用特殊情況進(jìn)行解決，之后再由特殊方法解決一般問(wèn)題，從整體到部分，再由部分到整體，快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)難題。特殊化思想將在數(shù)學(xué)解題中起到事半功倍的效果，老師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中將這種思想加以滲透，提高解題效率。筆者主要從三個(gè)特殊思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題：驗(yàn)證特值，高效解題；關(guān)注最值，突破問(wèn)題；善用極限，分析趨勢(shì)。

一、驗(yàn)證特值，高效解題

特殊是在一般的基礎(chǔ)上，運(yùn)用特殊方法，巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而得到正確的結(jié)果。在數(shù)學(xué)解題中，如果客觀題的題目中所要解的答案是一個(gè)定量或定值時(shí)，有時(shí)不需要將題目中所有的條件都用上，可以運(yùn)用題目中的特殊值，劃定范圍，縮小題目要求，縮短計(jì)算過(guò)程，簡(jiǎn)化解題步驟，快速解出答案，有效節(jié)約時(shí)間。

例如，我在講解高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”和“等差數(shù)列”后，選取了這樣一道題：已知三角形的三個(gè)邊是等差數(shù)列，那么tanA/2×tanC/2的值恒為_(kāi)_。這是一道填空題，不需要在卷紙上列出過(guò)程，所以就可以用特殊值這種簡(jiǎn)便的方法加以計(jì)算。題目中知道三角形的三個(gè)邊是等差數(shù)列，對(duì)三個(gè)角并沒(méi)有什么要求，所以，就可以假設(shè)三角形的三個(gè)邊的差為0，三角形的三個(gè)邊相等，即a=b=c，那么，三角形的三個(gè)角也相等，即A=B=C=60°，并且?guī)腩}目中的式子，tan30°×tan30°為1/3，就可以得出答案。還有另一種方法，既然題目中說(shuō)三角形的三個(gè)邊成等差數(shù)列，而實(shí)際中，三個(gè)邊分別為3、4、5的直角三角形的三個(gè)邊也為等差數(shù)列，所以可以設(shè)三個(gè)邊中a=3，b=4，c=5，也得tanA/2×tanC/2也為1/3，兩種特殊方法算出的結(jié)果相同。不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，而且驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果，保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

由特殊到一般貫穿人類(lèi)發(fā)展的始終，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也不例外。通過(guò)這個(gè)題的講解，既涉及了等差數(shù)列，又涉及了三角函數(shù)，將題目中廣泛的已知用特殊值加以計(jì)算，不僅解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)真理。因此，在教學(xué)中，很有必要運(yùn)用特殊值法來(lái)引導(dǎo)教學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率。

二、關(guān)注最值，突破問(wèn)題

數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，往往通過(guò)達(dá)到最值時(shí)才反應(yīng)出性質(zhì)，所以，就要求我們要著眼最值問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的突破口，不斷分析問(wèn)題。高中階段題型較多，知識(shí)較難，最值問(wèn)題常常遇到，對(duì)最值問(wèn)題加以解決并應(yīng)用，會(huì)大大提高學(xué)習(xí)效率。

例如，我在講解高中數(shù)學(xué)的“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”后，出了這么一道應(yīng)用題：某菜農(nóng)為了蓋蔬菜大棚，大棚為長(zhǎng)方體，并且一面靠墻，占地面積為600平方米，前面造價(jià)為800元每平方米，側(cè)面造價(jià)為600元每平方米，大棚高為3米，那么，這個(gè)菜農(nóng)該怎么建才能使自己的大棚造價(jià)最低，最低造價(jià)為多少錢(qián)？這個(gè)題是實(shí)際生活中出現(xiàn)的問(wèn)題，會(huì)引起學(xué)生的興趣。出現(xiàn)了這個(gè)題目，同學(xué)們首先會(huì)在自己的腦海中呈現(xiàn)這個(gè)大棚的畫(huà)面，并且可以畫(huà)下來(lái)?？梢砸龑?dǎo)他們進(jìn)行假設(shè)：設(shè)地面長(zhǎng)為x米，寬為y米，由題可得，xy=600，那么，y=600/x，進(jìn)而求出三面的造價(jià)：正面=3x×800，側(cè)面=2×3y×600，總造價(jià)z=2400x+3600y+6000，將y=600/x帶入得，總造價(jià)z=2400x+2160000/x+6000，利用導(dǎo)數(shù)，z的導(dǎo)數(shù)=0時(shí)造價(jià)最低，即2400-2160000/x2=0，解得x=30，y=20時(shí)造價(jià)最低，將x、y帶入z可得z=150000，就算出了答案。學(xué)會(huì)導(dǎo)數(shù)，找到目標(biāo)函數(shù)，用導(dǎo)來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最小值，提高了解題效率。

最值法是解決問(wèn)題的一種特殊的方法，有利于學(xué)生分析能力和解題能力的提高，靈活運(yùn)用最值法，突破數(shù)學(xué)難題，提高學(xué)生思維能力。所以，老師要注重最值方法的教學(xué)，將此方法滲透學(xué)生學(xué)習(xí)的始終，并有效加以利用。

三、善用極限，分析趨勢(shì)

極限的方法是數(shù)學(xué)中常用的方法，可以對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行有效分析，深深影響著數(shù)學(xué)。在小學(xué)時(shí)我們就已經(jīng)接觸了極限，中學(xué)的極限相對(duì)較難，同時(shí)，又影響著大學(xué)時(shí)候的極限學(xué)習(xí)，對(duì)極限思想加以應(yīng)用會(huì)提高解決問(wèn)題的效率。

例如，我在講解高中蘇教版的必修一第二章的“函數(shù)”時(shí)，就用到了極限的思想。我向同學(xué)們展示了一道實(shí)例：y=x2+1/x2-1的值域是多少?？吹竭@個(gè)題目，要求y的值域，同學(xué)們首先想到的是用反函數(shù)來(lái)解。那么因?yàn)閥=x2+1/x2-1，可以得到：x2=y+1/y-1，由于x2>=0，所以y+1/y-1>=0，所以，y<=-1或y>1，就可以得出答案。這種方法先將y與x的關(guān)系互換，利用x2為正數(shù)，可以求出y的值域。這時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生用極限的方法來(lái)求值域，更加簡(jiǎn)便。即當(dāng)x2趨向于-1時(shí)，y趨向于-∞；當(dāng)x2趨向于1時(shí)，y趨向于+∞，所以，就可以得出答案（-∞，-1]∪ （1，+∞）。這樣運(yùn)用極限進(jìn)行運(yùn)算，不僅簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟，而且可以使運(yùn)算更加準(zhǔn)確，使得運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，縮短了運(yùn)算時(shí)間，為其他題目的運(yùn)算提供了時(shí)間保障。

極限的思想不僅運(yùn)用在數(shù)學(xué)中，而且滲透在生活的許多方面。老師要對(duì)此方法引起足夠重視，并且在平時(shí)的教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生用此方法，來(lái)解決數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率。

總之，特殊化思想在數(shù)學(xué)解題中將起到不可思議的作用。學(xué)生在平時(shí)做題時(shí)往往不能加以運(yùn)用，還可能小題大做，浪費(fèi)時(shí)間，影響后面做題效果。老師在平時(shí)教學(xué)時(shí)，應(yīng)把特殊化思想滲透到學(xué)生的思想中，并可以找出相類(lèi)似的題加以專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生解題，提高做題效率。endprint