行列式巧求平面法向量

董方翔

摘 要 在高考中，線面角，二面角問題無疑是出題頻率最高的。解決這類問題最高效的解法無疑是運用空間向量求其平面的法向量。在此筆者推廣一種新穎的巧求平面法向量的方法，即行列式巧求平面法向量。

關(guān)鍵詞 線面角 二面角 行列式巧求平面法向量

中圖分類號：G633.5 文獻標(biāo)識碼：A

1 行列式背景及簡單介紹

一階

二階

三階

四階

2 引入行列式法求法向量法

已知平面內(nèi)不共線的兩向量

設(shè)其法向量為，在三個方向的分項是為

則有：

即

3 典型例題

例1，在四棱錐中，底面，，，，，分別為中點，求面的法向量

解，以為原點，

為軸正方向

為軸正方向

過作底面垂線為軸正方向

建立空間坐標(biāo)系：，

設(shè)，則

法向量

在此題中，若用常規(guī)方法，則要分別用，解兩個方程來求解，其中還有參數(shù)。所以，在碰到求空間法向量，特別是平面內(nèi)向量海帶有參數(shù)時，行列式將是一種很簡潔巧妙的方法。在二面角的求解中，此方法更有妙用。

例2如圖，平面，是矩形，，與平面所成角為，點為中點，點在上移動，

求：當(dāng)為何值時，二面角的大小為

以為原點，

為軸正方向

為軸正方向

為軸正方向

建立空間坐標(biāo)系：

令面法向量為

又

總結(jié)，在立體幾何中，線面角二面角問題固然棘手，但有了此方法后，計算繁復(fù)等困擾考生的問題便迎刃而解，更是省時省心的不二之選。endprint