等價無窮小在函數(shù)極限中的應用與推廣

陳飛翔

摘 要 等價無窮小是數(shù)學分析中一個非常重要的概念，在求極限中有著廣泛的應用。本文主要介紹等價無窮小在函數(shù)極限中的的應用及推廣。

關鍵詞 極限 等價無窮小

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

高等數(shù)學中極限的概念貫穿了整個大學的數(shù)學階段。運用等價無窮小替代原理求解極限是一種廣泛而又快速的方法。由于這個方式運用起來非常的快捷方便，從而縮短、簡化運算量，受到了多數(shù)人的喜愛，因此有必要對等價無窮小作進一步深刻的研究和探討。

1 基本概念與基本性質(zhì)。

定義1：若，則稱函數(shù)是當xa中的無窮小。

類似的，可以定義當xa+，xa，x+∞，x ∞，x∞等變化過程中的無窮小。

無窮小有以下幾個性質(zhì)：

性質(zhì)1、，其中是當時的無窮小。

性質(zhì)2、 若函數(shù)與都是某一過程中的無窮小，則它們的和或積也是該過程中的無窮小。

性質(zhì)3、 若函數(shù)是某一過程中的無窮小，函數(shù)是該過程中的有界量，則它們的積也是該過程中的無窮小。

常用的等價無窮小：當x0的時候，，，，，，

2 等價無窮小的應用

例1：求極限

解：因為當時，，且

，

所以

又因為

所以

得：原式=

例2：求極限

解：當?shù)臅r候，

因為

所以

例3：求極限

解：當?shù)臅r候，因為

所以

由上面的例題可以看出，在求函數(shù)極限的時候等價無窮小的替換是一種十分常見的計算方式，并且簡便，快捷.不容易因為繁瑣的方式而出錯，因而，在求函數(shù)極限的時候等價無窮小得到了十分靈活的運用。

3 等價無窮小應用的推廣

在對比兩個無窮小的極限的時候，剛剛開始學習的人時常都有出差錯的時候，例如：求的時候，若是用，在做等價無窮小替換的時候，那么，但是這肯定是不正確的算法，所以到底怎么做才是正確的算法呢？下面就是等價無窮小在函數(shù)極限中的幾個推廣。

推廣1：假定在這同一變動過程當中的自變量，都是無窮小量，并且是的高階無窮小量，即，則

證明：因為，則，，即

例4、求

解：當時，，。由于、都比3x的階高的無窮小量。由，則比的階高的無窮小量。由推廣定理1知。

由上述例題我們可以得到證明，在求無窮小的極限的時候，我們可以把高階的無窮小量忽略或者丟棄，從而讓我們達到一種簡化計算的目的，在復雜的極限求算中，這個方式的效果非常明顯。

推廣2：假定在的過程中是無窮小量，且，都是該過程中的的無窮小量，且，則時，有。

證明：由洛必達法則計算有

于是。

例5、求

解：當時，，，

所以

如果這個例題用洛必達法則求解，過程非常復雜，還有可能算不出來答案，但是用了推論2的方法，我們可以很輕松求出答案。

例6、求

解：由當時，，.得到：，，

于是乎：

由此例題可見等價無窮小計算起來簡單快捷。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁等，數(shù)學分析講義（第四版）上冊[M]，北京：高等教育出版社，2003.endprint