不確定混沌系統(tǒng)的魯棒自適應容錯同步控制

鄧立為， 宋歌， 高俊山

(哈爾濱理工大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

不確定混沌系統(tǒng)的魯棒自適應容錯同步控制

鄧立為， 宋歌， 高俊山

(哈爾濱理工大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

針對一類帶有執(zhí)行器故障、非線性不確定性以及外界干擾的混沌系統(tǒng)，設(shè)計一個魯棒自適應容錯控制器，來實現(xiàn)主從混沌系統(tǒng)之間的同步容錯控制。不需要知曉準確的故障信息以及外界干擾的上界，根據(jù)自適應律在線估計未知量。結(jié)合自適應控制技術(shù)，設(shè)計魯棒自適應容錯控制器，使得無論執(zhí)行器是否有故障發(fā)生，主從兩個混沌系統(tǒng)都能夠?qū)崿F(xiàn)同步。以經(jīng)典的蔡氏混沌電路系統(tǒng)為例進行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計控制器的有效性和可行性。

自適應控制；容錯控制；混沌同步；執(zhí)行器故障；外界干擾

0 引 言

混沌是一種復雜的非線性運動，由于混沌系統(tǒng)對初始條件和參數(shù)變化的極其敏感性和隨機性，使得混沌同步在保密通信、生物工程，信息處理等領(lǐng)域中得到廣泛的應用[1-3]。目前為止，學者們已經(jīng)提出了許多有效的同步控制方法，例如線性與非線性反饋同步控制[4-5]、自適應同步控制[6]、滑模同步控制[7]、狀態(tài)觀測器控制[8]、模糊邏輯同步控制[9]等。文獻[10]針對帶有外部擾動和不確定性的混沌系統(tǒng)，設(shè)計一個魯棒滑?？刂破鱽韺崿F(xiàn)兩個混沌系統(tǒng)之間的同步。文獻[11]設(shè)計一個模糊自適應觀測器來實現(xiàn)帶有非線性和死區(qū)輸入的混沌系統(tǒng)的投影同步。文獻[12]以帶有未知參數(shù)和非線性輸入的混沌系統(tǒng)作為研究對象，設(shè)計一個有限時間自適應控制器實現(xiàn)了兩個不同的混沌系統(tǒng)之間的同步控制。

在研究混沌同步的過程中，學者們大多將重點放在混沌系統(tǒng)無故障的情況，來設(shè)計合適的控制器進行同步控制。然而，在實際應用的過程中，傳感器、執(zhí)行機構(gòu)以及系統(tǒng)內(nèi)部元件都不可避免地會發(fā)生故障，發(fā)生故障時傳統(tǒng)的控制方法就會失效，破壞了主從系統(tǒng)之間的混沌同步?；煦缤綇V泛地應用在保密通信中，為了保證通信質(zhì)量，設(shè)計一個可靠的容錯控制器，使當有故障發(fā)生時，仍能保證主從系統(tǒng)之間達到同步時非常必要的。

近年來，容錯控制引起了學者們的廣泛關(guān)注。容錯控制大體可以分為兩類，即被動容錯方法[13-14]和主動容錯方法[15-16]。被動容錯方法是利用魯棒控制技術(shù)設(shè)計具有固定參數(shù)的控制器來保證系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性[17]。這種方法設(shè)計簡單，不需要在線計算和調(diào)節(jié)參數(shù)，但當可能出現(xiàn)的故障和系統(tǒng)冗雜增加時，控制器的設(shè)計將變得保守，所達到的控制效果不能令人滿意。相比于被動容錯控制，主動容錯控制方法可以有效的解決上述問題。主動容錯方法是指在故障發(fā)生后根據(jù)故障情況重新調(diào)整控制器參數(shù)，或改變控制器結(jié)構(gòu)。主動容錯控制一般利用自適應技術(shù)和故障診斷分離(fault detection and isolation，F(xiàn)DI)技術(shù)來實現(xiàn)?；贔DI的主動容錯方法可以利用FDI機構(gòu)提供故障信息，從而設(shè)計有效的控制器，但FDI時常會出現(xiàn)誤報、漏報和傳輸延時等情況，使得提供的信息不夠準確?；谧赃m應技術(shù)的容錯控制方法不需要獲知準確的故障信息，避免了上述可能出現(xiàn)的問題，是一種有效的容錯控制手段。文獻[18]結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)和自適應技術(shù)，設(shè)計一個自適應容錯控制器，實現(xiàn)了對飛行器跟蹤的容錯控制。文獻[19]以帶有不確定參數(shù)和執(zhí)行器故障的線性系統(tǒng)為研究對象，設(shè)計一個魯棒自適應容錯控制器，在有故障發(fā)生時仍能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸近穩(wěn)定。文獻[20]提出一個積分型自適應滑模容錯控制方法應用在航天器姿態(tài)控制中，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提高了系統(tǒng)性能指標。

然而，到目前為止，國內(nèi)外針對混沌同步的容錯控制的相關(guān)研究成果卻很少，因此，本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，以帶有執(zhí)行器故障、外界干擾以及非線性不確定性的混沌系統(tǒng)作為研究對象，設(shè)計一個魯棒自適應容錯控制器，即使系統(tǒng)有故障發(fā)生時，仍能保證兩個混沌系統(tǒng)之間的同步。不需要提前知道準確的故障信息，以及非線性不確定性和外界干擾的上界，并根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，給出了同步誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明。最后，以數(shù)值仿真的形式證明了魯棒自適應容錯控制器的有效性和可行性。

1 系統(tǒng)模型與問題描述

符號標記：R代表實數(shù)集，I代表適合維數(shù)的單位矩陣。對于矩陣M，MT代表它的轉(zhuǎn)置，‖·‖代表歐幾里得范數(shù)，(i=1,2,…,N)定義為I[1,N]。

考慮下列一類不確定的主從混沌系統(tǒng)：

(1)

E(y(t),y(t-τ),t)+

d(t)+uF(t))。

(2)

其中:x(t)∈Rn和y(t)∈Rn分別代表主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)變量；A∈Rn×n和B∈Rn×m是常數(shù)矩陣；g(x(t),t)和g(y(t),t)為非線性函數(shù)，滿足Lipschitz條件；E(y(t),y(t-τ),t)∈Rm是未知的非線性時延函數(shù)；d(t)∈Rm是外部擾動。

(3)

故障模型具體表示方式如表1所示。

表1 故障模型Table 1 Fault mode

定義

ρju(t)+σjus(t)。

那么，有如上結(jié)構(gòu)的算子集可表示為

也可以定義為

其中Nρj包含最多有2m個元素。

為了方便下文的描述，對于所有的故障模式L，我們使用下列統(tǒng)一的執(zhí)行器故障模型

uF(t)=ρu(t)+σus(t)。

(4)

其中ρ=diag{ρ1,ρ2,…,ρm}。

定義主從系統(tǒng)之間的誤差為e(t)=y(t)-x(t)，那么可以得到同步誤差系統(tǒng)為

BE(y(t),y(t-τ),t)+

Bd(t)+BuF(t)。

(5)

為了方便下文控制器的設(shè)計，給出下列幾個假設(shè)。

假設(shè)1 對于?x∈Rn和?y∈Rn，非線性函數(shù)g(·)滿足下列Lipschitz條件

‖g(y,t)-g(x,t)‖≤γ‖y-x‖。

(6)

其中γ是未知的正常數(shù)。

假設(shè)2 對于?y∈Rn，非線性時延項滿足下列條件

‖E(y(t),y(t-τ),t)‖≤λ1‖y(t)‖+λ2‖y(t-τ)‖。

(7)

其中：λ1，λ2>0是未知的常數(shù)。

假設(shè)4 考慮同步誤差系統(tǒng)(5)，存在一個未知的正數(shù)α，對于所有可能的執(zhí)行器故障模式都滿足下列不等式

‖eT(t)PBρBTPe(t)‖≥α‖eT(t)PB‖2。

(9)

假設(shè)5 (A,B)是可控的，并存在一個常數(shù)矩陣K0，使得矩陣A-BK0滿足Hurwitz。

注1：假設(shè)1和假設(shè)2表明，調(diào)節(jié)參數(shù)γ，λ1和λ2可使不確定非線性項和非線性時延項滿足不等式成立的條件，文獻[22]、文獻[23]都做出了類似的假設(shè)。假設(shè)3說明非參數(shù)化卡死故障和外界擾動都是有界的，根據(jù)設(shè)計的自適應律可以估計上界的值。假設(shè)4說明，當帶有故障的執(zhí)行器仍然有效時，即ρi不全為0(i∈I[1,m])時，式(9)成立；當所有的執(zhí)行器都無效時，即ρi=0(i∈I[1,m])，假設(shè)4不再成立。

令

(10)

(11)

2 魯棒自適應容錯控制器設(shè)計

在本節(jié)中，針對同步誤差系統(tǒng)(5)，設(shè)計一個魯棒自適應容錯控制器，使得無論執(zhí)行器是否有故障發(fā)生，都能夠保證同步誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，即實現(xiàn)主從系統(tǒng)達到同步。

魯棒自適應容錯控制器u(t)設(shè)計為如下形式

u(t)=-K0e+K(t)。

(12)

其中K0可以由等式(10)得到，K(t)為

(13)

其中

(14)

自適應律設(shè)計為如下形式：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

旅游翻譯要求譯者向作者和讀者靠攏，采取相應于譯文作者和讀者所使用的源語表達方式，來傳達原文的內(nèi)容。博物館中常使用歸化翻譯是為了讓外國友人更好地理解相關(guān)信息。

證明：當系統(tǒng)有執(zhí)行器發(fā)生故障時，將式(4)帶入式(5)中得到同步誤差系統(tǒng)為：

BE(y(t),y(t-τ),t)+Bd(t)+

B(ρu(t)+σus(t))。

(20)

選取Lyapunov函數(shù)為V(t)=V1(t)+V2(t)，其中：

(21)

(22)

對式(21)求導并結(jié)合誤差系統(tǒng)(20)得到

eT(t)PB(g(y(t),t)-g(x(t),t))+

eT(t)PBE(y(t),y(t-τ),t)+

eT(t)PBd(t)+eT(t)PB(ρu(t)+

σus(t))。

(23)

對上式整理得到

P(A-BK0))e(t)+eT(t)PBK0e(t)+

eT(t)PB(g(y(t),t)-g(x(t),t))+

eT(t)PBE(y(t),y(t-τ),t)+

eT(t)PBd(t)+eT(t)PB(ρu(t)+

σus(t))。

(24)

由式(10)和式(11)可知

eT(t)PB(g(y(t),t)-g(x(t),t))+

eT(t)PBE(y(t),y(t-τ),t)+

eT(t)PBd(t)+eT(t)PB(ρu(t)+

σus(t))。

(25)

‖eT(t)PB‖‖(g(y(t),t)-g(x(t),t))‖+

‖eT(t)PB‖‖E(y(t),y(t-τ),t)‖+

‖eT(t)PB‖‖d(t)‖+

‖eT(t)PB‖‖σ‖‖us(t)‖+

eT(t)PBρu(t)。

(26)

根據(jù)假設(shè)1～3可得到：

γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

eT(t)PBρu(t)。

(27)

根據(jù)式(12)，將u(t)帶入上式，得到

eT(t)PBρK0e(t)+eT(t)PBρK(t)+

γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(28)

eT(t)PBρK(t)+γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(29)

eT(t)PBρK(t)+γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(30)

γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(31)

γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(32)

根據(jù)式(22)，對V2(t)求導，得到

(33)

將自適應律(15)～式(19)帶入上式，得到

(34)

2‖eT(t)PB‖‖K0e(t)‖-

γ‖eT(t)PB‖‖e(t)‖+

λ1‖eT(t)PB‖‖y(t)‖+

λ2‖eT(t)PB‖‖y(t-τ)‖+

(35)

化簡得到

‖eT(t)PB‖φ(t)。

(36)

(37)

由上式可以得出，帶有執(zhí)行器故障、非線性不確定性和外部擾動的混沌同步誤差系統(tǒng)(5)是漸進穩(wěn)定的，當t→∞時，e(t)→0，即y(t)→x(t)，說明使用所設(shè)計的控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)主從混沌系統(tǒng)容錯同步控制。

注2：當執(zhí)行器沒有故障發(fā)生時，即ρi=1且σi=0(i∈I[1,m])時，混沌系統(tǒng)的主從容錯同步控制就變成了一般的主從混沌同步控制問題，我們所設(shè)計的魯棒自適應控制器u(t)仍是有效的，假設(shè)4也仍然成立。

注3：在實際應用中，執(zhí)行器故障、非線性不確定性和外界干擾等因素都會限制和影響控制器的使用，在選擇控制對象時，將這些可能影響控制器使用的因素都考慮在內(nèi)，提高了控制器的可靠性，使得控制器更加符合工程應用。

3 系統(tǒng)仿真研究

3.1 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定

為了驗證上述理論研究的正確性以及所設(shè)計的魯棒自適應容錯控制律的有效性，本節(jié)利用Matlab數(shù)值仿真的形式進行驗證，選擇經(jīng)典的蔡氏混沌電路作為仿真模型。蔡氏電路是由美籍華裔學者蔡少棠在1983年提出的一種三階非線性自治電路，它能表現(xiàn)出標準的混沌行為。蔡氏電路的狀態(tài)方程形式為[22]：

(38)

其中:f(x1)=bx1+0.5(a-b)(|x1+1|-|x1-1|)，選擇a=-1.28，b=-0.69，那么，系統(tǒng)(37)可以寫成和混沌主系統(tǒng)(1)相同的形式

(39)

其中:

(40)

考慮到混沌系統(tǒng)模型帶有執(zhí)行器故障、非線性時延和外界干擾，混沌從系統(tǒng)(2)可以寫為

E(y(t),y(t-τ),t)+

d(t)+uF(t))。

(41)

其中，

E(y(t),y(t-τ),t)=

(42)

主系統(tǒng)的初始條件為x(0)=[0.1,-0.1,-0.1]T，帶有非線性時延和外界擾動的從系統(tǒng)的初始條件為y(0)=[0.15,-0.15,-0.15]T，τ=1。圖1和圖2分別為主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的混沌吸引子。

圖1 主系統(tǒng)混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of master system

圖2 從系統(tǒng)混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of slave system

考慮幾種可能的故障模型：

在仿真中，需要求出控制參數(shù)K0和P，根據(jù)等式(10)～式(11)，求得

給定Q為3階單位矩陣，求出P為

3.2 仿真結(jié)果分析

圖3 同步誤差的變化曲線Fig.3 Synchronization error

圖4 控制參數(shù)K(t)的變化曲線Fig.4 Curves of controller parameters K(t)

圖5 控制律的變化曲線Fig.5 Adaptive fault-tolerant control law

圖6 α0的估計值Fig.6 Estimate of unknown parameter α0

圖7 λ1和λ2的估計值Fig.7 Estimate of unknown parameters λ1 and λ2

圖8 γ的估計值Fig.8 Estimate of unknown parameter γ

圖的估計值Fig.9 Estimate of unknown parameter system

從圖3來看可知，故障沒有發(fā)生時，在控制律的作用下，同步誤差很快收斂到零點，在t=20 s時，執(zhí)行器有故障發(fā)生，但在控制作用下同步誤差仍能很快地收斂到零點，主系統(tǒng)和從系統(tǒng)仍能達到同步。從圖4和圖5來看可知，為了使同步誤差快速收斂到零點，一開始控制律變化較大，在同步誤差收斂到零點后，控制律趨于平穩(wěn)，在故障發(fā)生時，控制作用迅速變化又使誤差快速收斂到零點，使主從系統(tǒng)達到同步。從圖6～圖9可知，未知參數(shù)的估計值不需要收斂于它的真實值，這并不影響控制器的使用以及同步誤差收斂于零點的情況[23-24]。

4 結(jié) 論

本文設(shè)計一個魯棒自適應容錯控制律，實現(xiàn)了帶有執(zhí)行器故障、非線性不確定性和外界擾動的主從混沌系統(tǒng)之間的同步容錯控制。不需要提前知曉準確的故障信息以及非線性不確定性和外界擾動的上界，利用自適應控制技術(shù)，設(shè)計合適的自適應律來估計系統(tǒng)中未知量的值。結(jié)合自適應控制方法，設(shè)計了一個魯棒自適應容錯控制律，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性，證明了同步誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并將蔡氏混沌電路作為仿真對象，仿真結(jié)果表明，無論執(zhí)行器是否有故障發(fā)生，同步誤差都能夠很快的收斂到零點，實現(xiàn)了主從混沌系統(tǒng)之間的同步容錯控制，本文所設(shè)計的控制律有較強的魯棒性和容錯能力。

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(編輯：賈志超)

Rubostadaptivefault-tolerantsynchronizationcontrolforuncertainchaoticsystems

DENG Li-wei， SONG Ge， GAO Jun-shan

(School of Automation, Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080, China)

A robust adaptive fault-tolerant control scheme is designed to achieve the master-slave fault-tolerant synchronization for a class of chaotic systems with actuator failures, nonlinear uncertainties and external disturbances. Both accurate information of faults and upper bound of external disturbances are unknown,and the adaptive laws are proposed to estimate the unknown parameters online. Combined with adaptive control technology, a robust adaptive fault-tolerant controller was constructed to realize synchronization between master and slave systems whether the faults happen or not. A numerical simulation example of the classical chua′s circuit system was given,and the effectiveness and applicability of the proposed control scheme was proved by the simulation results.

adaptive control; fault-tolerant control; chaos synchronization; actuator failures; external disturbances

2016-07-19

黑龍江省自然科學基金(F201307)

鄧立為(1983—)，男，博士，講師，研究方向為分數(shù)階混沌系統(tǒng)、非線性控制； 宋 歌(1993—)，女，碩士研究生，研究方向為混沌系統(tǒng)； 高俊山(1962—)，男，博士，教授，研究方向為自動控制、混沌理論、魯棒控制。

宋 歌

10.15938/j.emc.2017.08.016

O 415.5/O 231.2

:A

:1007-449X(2017)08-0114-09