非線性一階周期邊值問題解的分歧結(jié)構(gòu)

馬陸一, 閆東亮, 李曉燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

非線性一階周期邊值問題解的分歧結(jié)構(gòu)

馬陸一, 閆東亮, 李曉燕*

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

利用分歧理論和解集連通理論,研究非線性一階周期邊值問題

分歧理論; 一階周期邊值問題; 多解性

1 引言及主要結(jié)果

一階周期邊值問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)等研究領(lǐng)域中有豐富的實(shí)際應(yīng)用背景.近年來,許多學(xué)者對該類問題進(jìn)行了廣泛研究.例如:1980年,W.S.Gurney等[1]建立了一個(gè)綠蠅繁殖模型,該模型可由如下一階微分方程刻畫

2004年,PengS.G.[2]運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理在一定條件下獲得一階周期邊值問題

正解的存在性結(jié)果,其中f∈C([0,T]×R,R),并且存在常數(shù)M>0,使得當(dāng)t∈[0,T]時(shí),Mt-f(t,u)≥0.2004年,WangH.Y.[3]利用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了一階帶時(shí)滯微分方程

u′(t)=a(t)g(u(t))u(t)-

λb(t)f(u(t-τ(t))),t∈R,

并獲得正周期解的存在性與多解性結(jié)果.對于這類一階時(shí)滯微分方程,Ma R. Y.等[4]作了進(jìn)一步的研究.

1990年,J. Mawhin等[5]運(yùn)用分歧理論和解集連通理論,在一定條件下證明了非線性二階周期邊值問題

(1)

解的個(gè)數(shù)在λ=0附近的變化情況:?λ∈(-∞,1),問題(1)至少有一個(gè)解;當(dāng)λ<0且靠近0時(shí),問題(1)至少有3個(gè)解.

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),一個(gè)值得思考的問題是:一階周期邊值問題

(2)

能否建立起類似的解的存在性結(jié)果?

本文將運(yùn)用分歧理論和解集聯(lián)通理論建立類似于二階情形下的結(jié)果,即在適當(dāng)條件下確定：當(dāng)λ在0附近變化時(shí),問題(2)解的個(gè)數(shù)的變化情況.由于二階微分算子是對稱算子,而一階微分算子非對稱,所以一階周期邊值問題解的存在性的研究會(huì)遇到一些新的困難,需要?jiǎng)?chuàng)新和改變.

本文假設(shè):

(C2) f∈C([0,T]×R,R),且存在γ∈C[0,T]使得|f(t,u)|≤γ(t);

(C3) 存在一個(gè)常數(shù)R>0,使得|u|≥R時(shí)有f(t,u)u>0成立.

定理 1 假設(shè)(C1)～(C3)成立,則存在λ+,λ->0,當(dāng)λ∈[0,λ+]時(shí),該問題至少有一個(gè)解;當(dāng)λ∈[-λ-,0)時(shí),該問題至少有3個(gè)解.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Y={u∈C1[0,T]∶u(0)=u(T)}為范數(shù)‖u‖Y=max{‖u‖∞,‖u′‖∞}下構(gòu)成的Banach空間,C:=C[0,T].

定義算子L:Y→C,Lu=u′-u,容易驗(yàn)證L可逆.因此線性問題

(3)

有唯一解,則問題(2)可以轉(zhuǎn)化成

u=-L-1(λ+1)u+L-1[h(t)-f(t,u)],

其中L-1:C→Y為緊算子,且當(dāng)‖u‖→∞時(shí),

3 主要結(jié)果的證明

為了證明主要結(jié)果,首先給出以下3個(gè)引理.

設(shè)E為一個(gè)實(shí)Banach空間,F:E×R→E為一個(gè)全連續(xù)映射,考慮方程

u-F(u,λ)=0.

(4)

引理 3.1[5]假設(shè)存在E中的有界開集O,使得

deg(I-F(·,a),O,0)≠0.

則存在(4)式的解集連通分支C1和C2,并且

C1?E×(-∞,a]∩(I-F)-1(0),

C2?E×[a,∞)∩(I-F)-1(0).

當(dāng)C=C1或C=C2時(shí),有以下結(jié)論成立:

1)C∩O×{a}≠?;

2)C有界或者C∩EO×{a}≠?.

引理 3.2[5]定義O=BR(O)={u∈E:‖u‖a,使得當(dāng)a≤λ≤b時(shí)有‖u‖0,使得當(dāng)b≤λ≤b+δ時(shí)存在(u,λ)∈C2且滿足‖u‖≤2R.

當(dāng)λ在a的左側(cè)時(shí)可以得到類似的結(jié)論.

引理 3.3 假設(shè)(C1)～(C3)成立,則存在R0>0,使得當(dāng)λ≥0時(shí),問題(2)存在一個(gè)解u,并且‖u‖

證明 考慮問題(2)的同倫族問題

(5)

由Leray-Schauder原理可知,若(5)式的所有可能解都有一個(gè)先驗(yàn)界,則問題(2)存在一個(gè)解.顯然這個(gè)解有界.下面證明(5)式解的先驗(yàn)界的存在性.

假設(shè)0<δ≤λ,令

(6)

其中

對(5)式兩邊從0到T積分得

在等式兩邊同時(shí)乘以1/T,則

可推得

化簡得

(7)

由于

所以

(7)式可以化簡為

結(jié)合條件(C2)和(C3)可知

因此

令

則

對(5)式兩邊從0到T積分并取μ=1得

因此

定理1的證明 由于在?R0上問題對應(yīng)的算子方程沒有不動(dòng)點(diǎn),由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃钥芍?dāng)λ≥0時(shí),

deg(I-h(·,λ),O,0)≠0.

由引理3.1和3.2的結(jié)論,當(dāng)λ≥0時(shí),存在一個(gè)解的連通分支C,并且C延伸到λ=0的左側(cè).

另一方面,λ=0是

的主特征值,由文獻(xiàn)[6]中關(guān)于分歧問題的方法,在λ=0側(cè)有解的連通分支從無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生.分歧產(chǎn)生的解的連通分支C具有以下性質(zhì):?ε>0,存在(u,λ)∈C,使得當(dāng)|λ-0|<ε時(shí),有‖u‖>1/ε成立.而根據(jù)之前的證明,由于當(dāng)λ≥0時(shí),問題(2)的所有可能解都有界,若連通分支從λ=0的右側(cè)產(chǎn)生,則出現(xiàn)矛盾.因此,解的連通分支從λ=0的左側(cè)產(chǎn)生.由文獻(xiàn)[6]的結(jié)論可知,若λ<0并且靠近0,一定從無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生兩條解的連通分支C+與C-,并且有以下結(jié)論成立:

若R<1/ε,即ε<1/R時(shí),?-1/R<λ<0,可以獲得兩個(gè)解u+和u-,其中u+∈C+,u-∈C-,并且‖u‖>R.再結(jié)合解的連通分支C,一定存在λ->0,使得λ∈[-λ-,0)時(shí),問題(2)至少有3個(gè)解.

所以當(dāng)假設(shè)(C1)～(C3)成立時(shí),存在λ+,λ->0,當(dāng)λ∈[0,λ+]時(shí),問題(2)至少有一個(gè)解;當(dāng)λ∈[-λ-,0)時(shí),問題(2)至少有3個(gè)解.

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2010MSC：34B15

(編輯 周 俊)

Bifurcation Structure of Nonlinear First-order Periodic Boundary Value Problems

MA Luyi, YAN Dongliang, LI Xiaoyan

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we use bifurcation theory and continuation theory to show the multiplicity results for first-order periodic boundary value problem

bifurcationtheory;first-orderperiodicboundaryvalueproblem;multiplicityresults

2016-03-29

國家自然科學(xué)基金(11671322)

O175.8

A

1001-8395(2017)04-0478-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.008

*通信作者簡介：李曉燕(1979—),女,講師,主要從事常微分方程邊值問題的研究,E-mail:lixydodo@163.com