“意外”收獲“n2·2n”數(shù)列的求和公式

●蔣亞軍 (寧波市第四中學(xué),浙江 寧波 315016) ●蘇茂鳴 (李惠利中學(xué),浙江 寧波 315016)

“意外”收獲“n2·2n”數(shù)列的求和公式

●蔣亞軍 (寧波市第四中學(xué),浙江 寧波 315016)
●蘇茂鳴 (李惠利中學(xué),浙江 寧波 315016)

按部就班的課堂教學(xué)是教師授課的主流，學(xué)生的“好問”“善問”常會帶來課堂的“意外”收獲.在介紹“等差乘等比”數(shù)列求和的例題后，有學(xué)生“意外”提出通項為an=n2·2n的數(shù)列能否用類似方法求和.抓住這個契機，師生一起通過觀察特點、類比方法、分組化歸等方法進(jìn)行探究活動，不但“意外”收獲該數(shù)列的求和公式，還對它進(jìn)行了加強以及一般化的推廣，最后通過裂項相消法、導(dǎo)數(shù)法、組合數(shù)公式以及阿貝爾變換數(shù)列求和公式等4種不同的方法對結(jié)論進(jìn)行驗證.

“n2·2n”數(shù)列；數(shù)列求和；裂項相消

學(xué)生的大膽提問是一種難得的教學(xué)資源，它往往能把平淡無奇的課堂變得精彩紛呈.筆者在上高一“數(shù)列求和”這節(jié)課時遭遇了“意外”，講解錯位相減法的例題后，有學(xué)生“意外”提出通項為an=n2·2n的數(shù)列能否用錯位相減法求和.筆者決定放棄課前預(yù)設(shè)的教學(xué)計劃，引導(dǎo)學(xué)生一起探究，“意外”收獲該數(shù)列的求和公式.通過對它不斷加強以及一般化推廣的過程中，學(xué)生熱情主動參與，在發(fā)現(xiàn)特點、類比方法、化歸轉(zhuǎn)化中體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.教師通過學(xué)習(xí)和研究，運用裂項相消法、導(dǎo)數(shù)法、組合數(shù)公式以及阿貝爾變換數(shù)列求和公式等4種不同的方法對結(jié)論加以驗證和推廣.課堂教學(xué)片段呈現(xiàn)如下：

1 例題呈現(xiàn)

題目 已知數(shù)列an=n·2n，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解 由題意知Sn=1×21+2×22+…+n×2n，2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1，兩式錯位相減，得

-Sn=1×21+1×(22+23+…+2n)-n×2n+1，

從而

Sn=(n-1)2n+1+2.

生1：老師，若an=n2·2n，還能用錯位相減法來求數(shù)列{an}的前n項和Sn嗎？

2 探究互動

2.1 探究1

師：好，同學(xué)們，接下來我們一起來研究生1提出的這個問題.錯位相減法的步驟是：乘公比，相減，除系數(shù).由題意知Sn=12×21+22×22+…+n2×2n,我們先給Sn乘上公比,得

2Sn=12×22+22×23+…+n2×2n+1,

接下來該怎么辦，新得到的式子有什么特點?

生2：得到的-Sn又是等差乘等比的形式，再進(jìn)行一次錯位相減，得

式(1)-式(2)，得

Sn=2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1-n2×2n+1+n2×2n+2,

化簡得

Sn=(n2-2n+3)×2n+1-6.

師：很好，生2觀察仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)了式(1)的特點，然后利用我們所熟悉的錯位相減法再一次進(jìn)行計算.既然我們使用了兩次錯位相減法解決這個問題，不妨把這種方法叫做“雙錯位相減法”.

(學(xué)生欣然接受.)

生3：老師，若an=n3·2n，怎么求Sn呢？

2.2 探究2

師：一起來試試.由Sn=13×21+23×22+…+n3×2n，2Sn=13×22+23×23+…+n3×2n+1，得

-Sn=(13-03)×21+(23-13)×22+…+[n3-(n-1)3]×2n-n3×2n+1,

即

接下來如何求解？

師：非常漂亮！通過嘗試列出式子，觀察通項[n3-(n-1)3]×2n的特點，利用分組求和的思想，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的(已掌握的)知識來解決問題，這體現(xiàn)了同學(xué)們轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力.

生4：我算出最后的結(jié)果是Sn=(n3-3n2+9n-13)·2n+1+26.

2.3 探究3

師：很好，能不能加強到an=n4·2n？

生5：我算出來啦！乘上公比相減可得通項[n4-(n-1)4]×2n，拆開得(4n3-6n2+4n-1)×2n，接下來與上述方法類似，利用分組求和的方法，代入探究1和探究2的結(jié)論，最后得到結(jié)果是

Sn=(n4-4n3+18n2-52n+75)·2n+1-150.

師(追問)：很好，活學(xué)活用.利用分組求和的方法，結(jié)合前面探究的結(jié)論，采用整體代入的思想得出結(jié)論.若an=n5·2n呢，能否用剛才的方法解決？

生5：不好算了.探究1錯位相減后是平方差公式，探究2錯位相減后是立方差公式，探究3錯位相減后可以看成是平方差，這些公式我們學(xué)過了，因此能解決.而5次方相減公式?jīng)]學(xué)過，感覺算不出來.

師：總結(jié)得很好！這幾個探究都有一個共同的特點，就是相減后都能利用基本公式化簡成一個多項式乘2n的形式.既然次數(shù)高了不好解，我們能不能對多項式中的等差數(shù)列進(jìn)行一般性地推廣呢?

2.4 探究4

師：已知an=(an+b)2×2n，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

師：得出結(jié)論的同學(xué)，請分享一下你的思路.

生6：觀察通項an=(an+b)2×2n=(a2n2+2abn+b2)×2n，分成(a2n2)×2n和(2abn+b2)×2n兩組，第一組代入探究1的結(jié)論，第二組用一次錯位相減法，最后兩部分相加就可以了.只是具體答案還沒有算出來.

師：思路清楚，計算仔細(xì)就能得到結(jié)論.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了錯位相減法，一起探究得到了an=n2·2n的前n項和Sn=(n2-2n+3)2n+1-6，并以它為基礎(chǔ)利用分組求和的思想探究了an=n3·2n，an=n4·2n的前n項和，最后對多項式中的等差數(shù)列進(jìn)行一般化推廣.由于時間關(guān)系，請同學(xué)們課后完成探究4.

看到學(xué)生們意猶未盡的樣子，筆者認(rèn)為這節(jié)課的探究值了.雖然沒能完成既定的教學(xué)任務(wù)，但是真正做到了以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生并且平等對待，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，積極主動地參與到數(shù)學(xué)課的研究中來，通過研究體驗成功的快感，以此提高對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

3 思維拓展

1)探究4的結(jié)論為Sn=a2[(n2-2n+3)2n+1-6]+2ab[(n-1)2n+1+2]+b2(2n+1-2).

2)雖然在課堂上用“雙錯位相減法”解決了an=n2·2n的前n項求和公式，對于它的求和公式的推導(dǎo)還有其他的方法.

方法1 (裂項求和)由n2·2n=[a(n+1)2+b(n+1)+c]·2n+1-(an2+bn+c)·2n，得a=1，b=-4，c=6，從而

n2·2n=[(n+1)2-4(n+1)+6]·2n+1-(n2-4n+6)·2n,

于是

Sn=[(n+1)2-4(n+1)+6]2n+1-(1-4+6)21=(n2-2n+3)2n+1-6.

(3)

(4)

式(5)的兩邊再次求導(dǎo)得

式(6)兩邊同乘x得

(7)

在式(7)中令x=2，得

Sn=12×21+22×22+…+n2×2n=(n2-2n+3)2n+1-6.

令q=2,得

Sn=(n2-2n+3)2n+1-6.

引理1[1]設(shè){an}是二階等差數(shù)列，{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，則

(n-2).

評注 裂項相消法是數(shù)列求和的基本方法，在很多高考題中都有所體現(xiàn).導(dǎo)數(shù)法從函數(shù)的視角入手，既可以通過對x不斷求導(dǎo)實現(xiàn)等差數(shù)列次數(shù)的增加，又可以通過對x的賦值實現(xiàn)對等比數(shù)列公比的推廣；組合數(shù)公式也能實現(xiàn)對等比數(shù)列公比的一般性推廣；阿貝爾變換數(shù)列求和公式的結(jié)論更具普遍性，適用范圍更廣.

4 反思

按部就班的課堂教學(xué)當(dāng)然是教師授課的主流，但“意外”的課應(yīng)當(dāng)多一些較好[2].通過這次“意外”的探究課:首先，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，從以往的“教師講，學(xué)生聽”到主動參與到對新知識和方法的構(gòu)建，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，增強了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的能力，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；其次，提高了教師駕馭課堂的能力，教師以一個協(xié)作者、促進(jìn)者和指導(dǎo)者的角色參與其中，關(guān)注學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和已具備的能力，將學(xué)生的探究活動設(shè)置在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生說思路、講道理，注重學(xué)生對探究過程的經(jīng)歷[3]，學(xué)生的主體意識得到充分的體現(xiàn)；最后，促進(jìn)了教師專業(yè)水平的發(fā)展，對探究結(jié)果意猶未盡，通過學(xué)習(xí)和嘗試，從裂項相消法、導(dǎo)數(shù)法、利用組合公式以及阿貝爾變換數(shù)列求和公式等4種方法對結(jié)論進(jìn)行驗證和推廣，開闊教學(xué)視野，實現(xiàn)教學(xué)相長.

[1] 裴東林.阿貝爾變換與數(shù)列求和[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2001, 15(4)：57-59.

[2] 蘇克義.“意外”的一堂高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課——放飛思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2017(1)：18-20.

[3] 蔡欣.一次沒有預(yù)約的“美麗”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(1/2)：20-22.

2017-05-16

蔣亞軍(1982-)，男，臺州仙居人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2017)09-16-03