非線性自回歸序列一致可數(shù)可加性的一個(gè)充分條件

陳芬，張韌

(1.武漢學(xué)院信息及傳播學(xué)院，湖北 武漢 430212; 2. 武漢華夏理工學(xué)院信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430223)

非線性自回歸序列一致可數(shù)可加性的一個(gè)充分條件

陳芬1，張韌2

(1.武漢學(xué)院信息及傳播學(xué)院，湖北 武漢 430212; 2. 武漢華夏理工學(xué)院信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430223)

討論一類自回歸序列滿足一致可數(shù)可加性的一個(gè)充分條件.此時(shí)，自回歸序列所對(duì)應(yīng)的馬氏鏈不具有不可約性.

非線性自回歸；一致可數(shù)可加；馬氏鏈

非線性時(shí)間序列，即使是很簡單的非線性時(shí)間序列，它們顯示出來的特點(diǎn)，也會(huì)令人們感到很新奇.由于非線性時(shí)間序列強(qiáng)大的應(yīng)用性，目前它已被廣泛地應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、生物和氣候等領(lǐng)域[1].近年來，對(duì)非線性時(shí)間序列的研究取得了豐富的成果，見參考文獻(xiàn)[2-3].眾所周知，在對(duì)非線性時(shí)間序列模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性質(zhì)研究時(shí)，模型的平穩(wěn)性及其高階矩的存在性是非常重要的指標(biāo)，因此，眾多學(xué)者專家對(duì)模型的平穩(wěn)性及其高階矩的存在性進(jìn)行了廣泛和深入的研究.

對(duì)非線性時(shí)間序列的研究方法，與線性時(shí)間序列有很大的差別.馬氏鏈的理論方法是目前研究非線性時(shí)間序列的重要工具之一，大部分情況下，非線性時(shí)間序列都不是馬氏鏈，但是通過擴(kuò)大狀態(tài)空間的方法，可以將其轉(zhuǎn)化為馬氏鏈.當(dāng)非線性時(shí)間序列滿足一定條件時(shí)，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的馬氏鏈具有不可約性.而當(dāng)非線性時(shí)間序列所對(duì)應(yīng)的馬氏鏈不具有不可約性時(shí)，一致可數(shù)可加條件是研究非線性時(shí)間序列的另一個(gè)有力的工具，見參看文獻(xiàn)[4-6].

本文中利用馬氏鏈的理論方法，找到判別一種應(yīng)用廣泛的非線性自回歸序列滿足一致可加性的一個(gè)充分條件，此時(shí)模型所對(duì)應(yīng)的馬氏鏈不具有不可性.

1 馬氏鏈的基本知識(shí)及幾個(gè)重要的模型

設(shè)Φ是定義在狀態(tài)空間(X,B(X))上的一個(gè)馬氏鏈，其中(X,B(X))是一個(gè)可分的可測空間，P(x,A)為Φ的一步轉(zhuǎn)移概率核，Pn(x,A)為n步轉(zhuǎn)移概率核，

為P的抽樣鏈，其中a(k)為Z+上的概率測度.

定義1.1 稱一步轉(zhuǎn)移概率P滿足一致可數(shù)可加條件，如果對(duì)任意的緊集K，有

在非線性時(shí)間序列中，非線性自回歸模型是線性自回歸模型的自然推廣，因其廣泛的適用性而占有重要的位置.

考慮如下的p階函數(shù)型隨機(jī)方差非線性自回歸模型，即存在Rp→R上的可測函數(shù)φ和Rp→[0,∞]上的可測函數(shù)ω，使得

Yn=φ(Yn-1,…,Yn-p)+εnω(Yn-1,…,Yn-p)

(1)

事實(shí)上，當(dāng)p=1時(shí)，模型(1)是時(shí)齊馬氏鏈，當(dāng)p≥2時(shí)，模型(1)不是馬氏鏈.此時(shí)令

則(1)式可記為

Xn=Φ(Xn-1)+εnω(Xnpn-1)e,n≥p

(2)

下面考慮更一般的自回歸序列，存在Rm×Rm→Rm上的可測函數(shù)φ，使得

(3)

模型(3)是一個(gè)取值于狀態(tài)空間(Rm,B(Rm))上的時(shí)齊馬氏鏈，我們借助馬氏鏈的理論，來研究模型(3)的平穩(wěn)遍歷性及其高階矩的存在性，得到了模型(1.3)具有一致可數(shù)可加性的一個(gè)充分條件.

2 主要結(jié)果及證明

定理2.1 若模型(3)滿足：

(i) 對(duì)?i≥1，εi關(guān)于m維Lebesgue測度μ的絕對(duì)連續(xù)部分的密度函數(shù)f存在，且

(ii) 函數(shù)φ滿足：

(1) 存在開集U?Rn，函數(shù)h(z,y):U×Rm→Rm連續(xù)，

(a)Ka(x,A)≥T(x,A),x∈Rm,?A∈B(Rm)，

(b)T(x,A)=c,x∈Rm，

定理2.1的證明 由f∈L(Rm)可知，對(duì)?0<ε

?u∈U,A∈B(Rm)，令

則有

因此

(4)

由上式可知，對(duì)任意的A∈B(Rm)，有F(u,A)=F(u,Rm)-F(u,Ac)=c-F(u,Ac),

于是F(u,Ac)關(guān)于u是連續(xù)的.由Dini定理知對(duì)U中的任意緊集B，有

(5)

令

T(x,A)=F(S(x),A),x∈Rm,A∈B(Rm).

(6)

對(duì)Rm中的任意緊集K，由條件(4)中映射S的定義知，存在U中的緊集R，使得S(k)?R，結(jié)合(6)式，有

(7)

再由(5)式和(7)式有

此即結(jié)論(c)成立.

又由(4)式和(6)式知

T(x,Rm)=c, ?x∈Rm.

此即結(jié)論(b)成立.

而Ka(x,A) ≥P(x,A)=P(x1∈A|x0=x)=P(φ(x,ε)∈A)=P(h(S(x),ε)∈A)≥

即結(jié)論(a)成立，從而定理2.1成立.

注： 定理2.1是一個(gè)應(yīng)用廣泛的定理，文獻(xiàn)[5]中命題2.2.1可作為定理2.1的推論.

推論2.2 設(shè)模型(3)滿足條件：

(i) {εn,n=1,2,…}有下半連續(xù)的密度函數(shù)f(t)存在，且f(t)>0，μm-a.s.,

(ii)φ(x,Rm)=Rm,?x∈Rm,

則定理2.1結(jié)論成立.

推論2.2的證明 在定理2.1中取S(x)=x,U=Rm，則滿足定理(2.1)中條件，從而結(jié)論成立.

最后，考慮模型(8)在p=1時(shí)的情形，即

Yn=φ(Yn-1)+εnω(Yn-1)

(8)

推論2.3 設(shè)模型(2.5)滿足

那么定理2.1的結(jié)論成立.

推論2.3的證明 在定理2.1中令U=R×(0,∞)，h(z,y)=z1+z2y，Z=(z1,z2)∈U,y∈R，映射T:R→U，T(x)=(φ(x),ω(x))，記Φ(x,y)=h(T(x),y)，易驗(yàn)證Φ(x,y)滿足定理2.1的條件，故推論2.3的結(jié)論成立.

[1] An H Z, Chen M. Nonlinear time series analysis[M]. Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1998.

[2] An H Z, Chen S G. A note on the ergodicity of nonlinear autoregressive models[J]. Statist Probab Lett, 1997,34:365-372.

[3] Brockwell P J, Povis R A. Time series analysis: theory and methods[M]. New York: Springer-verlag, 1998.

[4] Fonseca G,Tweedie R L. Stationary measure for mon-irreducible non-continuous markovchains with time series applications[J]. Statist Sini,2001,12(1):651-660.

[5] 盛昭瀚 .非線性時(shí)間序列模型的穩(wěn)定性分析遍歷性理論與應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社,1993.

[6] 張韌, 張紹義. 非線性自回歸序列的平穩(wěn)解及其矩陣的存在性[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013(2): 260-266.

(責(zé)任編輯 趙燕)

A sufficient condtion for uniformly countable additiveof nonlinear autoregressive sequences

CHEN Fen1，ZHANG Ren2

(1. School of Information and Communication,Wuhan College, Wuhan 430212,China;2. School of Information Engineering, Wuhan Huaxia Institute of Technology, Wuhan 430223,China)

We study a sufficient condition of a class of autoregressive sequences for uniformly countable additive, and the corresponding Mokov chains don’t possess irreducibility.

nonlinear autoregressive; uniformly countable additive; Mokov chains

2017-06-01

湖北省自然科學(xué)基金(2016cfc747)資助

陳芬(1980-),女，碩士，講師

1000-2375(2017)05-0539-03

O.211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.05.018