電磁駐波中的能量與能流分布探討

張 孟 吳趙龍 陸 慧 汪 溶 鐘菊花

(1華東理工大學(xué)理學(xué)院物理系，上海 200237)

電磁駐波中的能量與能流分布探討

張 孟1吳趙龍1陸 慧1汪 溶1鐘菊花1

(1華東理工大學(xué)理學(xué)院物理系，上海 200237)

本文對(duì)平面時(shí)諧電磁波形成的駐波能量與能流的分布情況進(jìn)行了理論推導(dǎo)，探討了電磁駐波能量的分布特征。結(jié)果與機(jī)械波形成的駐波場(chǎng)進(jìn)行比較，揭示了駐波能量和能流的規(guī)律具有普遍性。

電磁波；駐波；能量；能流

波動(dòng)是自然界一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，波的概念在物理學(xué)中極其重要。對(duì)于工科大學(xué)物理課程來(lái)說(shuō)，波動(dòng)知識(shí)點(diǎn)貫穿始終，從力學(xué)模型引出的機(jī)械波到麥克斯韋方程組的電磁波，再到波動(dòng)光學(xué)中的干涉、衍射、偏振，最后到量子力學(xué)部分的物質(zhì)波以及波函數(shù)。波是經(jīng)典物理和量子物理的結(jié)合點(diǎn)，因此掌握好波的知識(shí)點(diǎn)是學(xué)好大學(xué)物理的重要一環(huán)。然而對(duì)于波疊加涉及能量問(wèn)題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)一些似是而非的矛盾，筆者在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常與學(xué)生以及同事對(duì)波的能量問(wèn)題進(jìn)行討論。趙凱華先生也對(duì)波疊加時(shí)的能量佯謬問(wèn)題專(zhuān)門(mén)撰文論述過(guò)，解答了讀者普遍存在的一些疑問(wèn)[1]。已有的一些關(guān)于駐波能量討論都是局限在機(jī)械波范疇內(nèi)，如一列機(jī)械波與其反射波形成的駐波場(chǎng)中，不存在沿單一方向的能流[2-7]。迄今為止，還沒(méi)有關(guān)于電磁波形成的駐波方面的文章報(bào)道。為此，本文從不同的角度出發(fā)，對(duì)一列平面時(shí)諧電磁波形成的駐波進(jìn)行分析，得到類(lèi)似機(jī)械波的結(jié)論，說(shuō)明駐波能量與能流的分布規(guī)律具有一般性。這些結(jié)論很好地補(bǔ)充了波疊加時(shí)的能量問(wèn)題，為進(jìn)一步深入理解經(jīng)典波動(dòng)光學(xué)中能量疊加和量子物理波函數(shù)物理意義提供了參考價(jià)值。

1 駐波的描述

介質(zhì)中傳播的電磁波與界面處的反射波疊加形成駐波場(chǎng)是常見(jiàn)的一種物理現(xiàn)象，例如微波在一端放置短路面的波導(dǎo)中傳播時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)便形成了駐波狀態(tài)；但在波導(dǎo)中傳播的電磁波較為復(fù)雜，一般不可能是橫電磁波[8]，筆者僅討論平面時(shí)諧電磁波形成的駐波場(chǎng)，例如光學(xué)諧振腔中的激光光場(chǎng)。

假設(shè)一列平面時(shí)諧電磁波在電容率為ε、磁導(dǎo)率為μ的線(xiàn)性介質(zhì)中與其反射波形成駐波場(chǎng)，若其電場(chǎng)強(qiáng)度幅值為E0，磁感線(xiàn)強(qiáng)度幅值為B0，角頻率為ω，波數(shù)為k，則此二列電磁波的表達(dá)式可以寫(xiě)為

(1)

在相遇區(qū)域內(nèi)疊加后，形成駐波場(chǎng)，有：

(2)

利用和差化積公式，不難得到：

(3)

同理可以得到，駐波波節(jié)的位置坐標(biāo)為

進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，駐波場(chǎng)中波腹x1處，電場(chǎng)強(qiáng)度的振動(dòng)幅度最大，但是磁感應(yīng)強(qiáng)度的振幅為零；而波節(jié)x2處，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為零，但是磁感應(yīng)強(qiáng)度的振幅最大。綜上可以定性地看出，駐波場(chǎng)中電場(chǎng)能量最大的位置磁場(chǎng)能量最小，兩部分能量的空間分布情況完全不同。

2 駐波的能量

我們先考慮一般位置處，駐波場(chǎng)中電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的時(shí)間和空間分布情況。

在線(xiàn)性介質(zhì)(ε、μ)中傳播的電磁波，其電場(chǎng)能量密度ωE和磁場(chǎng)能量密度ωM的計(jì)算公式為

(4)

將式(3)代入式(4)中，得到電場(chǎng)能量密度ωE與磁場(chǎng)能量密度ωM的具體表達(dá)式：

(5)

法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式為

將式(3)代入此式，即：

(6)

對(duì)于駐波場(chǎng)中波腹x1處，由式(5)可得其能量密度：

(7)

(8)

同理，對(duì)于駐波場(chǎng)中的波節(jié)x2處，能量密度為

(9)

(10)

3 駐波的能流

利用式(3)計(jì)算線(xiàn)性介質(zhì)(ε、μ)中駐波的能流密度S:

(11)

(12)

為確保能量?jī)H在相鄰的波腹與波節(jié)之間來(lái)回流動(dòng)，而不流過(guò)波腹和波節(jié)的結(jié)論正確，我們最后來(lái)計(jì)算相鄰波腹和波節(jié)之間的總能量。假設(shè)駐波場(chǎng)中的體積元為dτ=Adx，則結(jié)合式(5)，計(jì)算相鄰波腹與波節(jié)之間的電場(chǎng)能量WE和磁場(chǎng)能量WM為

(13)

結(jié)合式(6)，可以得到相鄰波腹與波節(jié)之間的總能量Wtot：

(14)

從式(13)、(14)可以看出，相鄰波腹與波節(jié)之間的電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量均隨時(shí)間周期性變化，但它們之和卻不隨時(shí)間變化，即相鄰波腹和波節(jié)之間的總能量守恒，與駐波場(chǎng)中的其他部分之間不存在能量的轉(zhuǎn)移，能量只在波腹和波節(jié)之間來(lái)回振蕩。

4 總結(jié)

本文從平面時(shí)諧電磁波形成駐波場(chǎng)的假設(shè)出發(fā)，研究了其能量與能流的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：

(1) 該駐波場(chǎng)中，波腹位置處磁場(chǎng)能量密度恒為零，電場(chǎng)能量密度隨時(shí)間周期性變化；波節(jié)位置處電場(chǎng)能量密度恒為零，磁場(chǎng)能量密度周期性變化。

(2) 駐波場(chǎng)中，電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度之和的平均值不隨位置的改變而不同，波腹附近電場(chǎng)能量密度的平均值更大，波節(jié)附近磁場(chǎng)能量密度的平均值更大，但各位置處總能量密度的均值相同。

(3) 駐波場(chǎng)中的能量?jī)H在相鄰的波腹與波節(jié)之間來(lái)回流動(dòng)，且相鄰波腹與波節(jié)之間的電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量之和守恒，并不與其他部分存在能量交換。

將上述結(jié)論與機(jī)械橫波形成的駐波場(chǎng)[2]進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)駐波能量和能流的特點(diǎn)具有一般性。

[1] 趙凱華.波疊加時(shí)的能量佯謬[J].物理與工程,2008,18(5):2-4.ZhaoKaihua.Paradoxesofenergyonwaveoverlapping[J].PhysicsandEngineering, 2008, 18(5): 2-4. (inChinese)

[2] 郭建軍.關(guān)于駐波能量的分析[J].大學(xué)物理,2005,24(5):23-25.GuoJianjun.Theanalysisaboutenergyofstandingwaves[J].CollegePhysics, 2005, 24(5): 23-25. (inChinese)

[3] 陶宗明,聶淼,儲(chǔ)德林.相向傳播的兩列簡(jiǎn)諧波疊加時(shí)能量問(wèn)題的研究[J].大學(xué)物理,2012,31(11): 11-13.TaoZongming,NieMiao,ChuDelin.Thestudyontheenergyproblemoftwocounter-propagatingharmonicwavessuperposition[J].CollegePhysics, 2012, 31(11): 11-13. (inChinese)

[4] 周越,張國(guó)鋒.對(duì)簡(jiǎn)諧波能量的討論[J].大學(xué)物理,2015(10):15-16+19.ZhouYue,ZhangGuofeng.Thediscussiononenergyofharmonicwaves[J].CollegePhysics, 2015(10): 15-16,19. (inChinese)

[5] 梁法庫(kù),徐寶辰,劉道森.非均勻介質(zhì)的駐波演示及分析[J].物理與工程,2004,15(4): 59-60.LiangFaku,XuBaochen,LiuDaosen.Thedemonstrationandanalysisonstandingwavesinheterogeneousmedia[J].PhysicsandEngineering, 2004,15(4): 59-60. (inChinese)

[6] 李建青,袁松柳.關(guān)于兩個(gè)駐波疊加結(jié)果的討論[J].物理與工程,2002,12(4): 13-14.LiJianqing,YuanSongliu.Thediscussiononthesuperpositionresultoftwostandingwaves[J].PhysicsandEngineering, 2002,12(4): 13-14. (inChinese)

[7] 趙慧,王銀海,鄧穎宇,等.用3DStudioMax演示駐波的振動(dòng)[J].物理與工程,2010,20(2): 34-36.ZhaoHui,WangYinhai,DengYinyu,etal.Demostratingthevibrationofstandingwavesby3DStudioMax[J].PhysicsandEngineering, 2010,20(2): 34-36. (inChinese)

[8] 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

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EXPLORE THE DISTRIBUTION OF ENERGY AND ENERGY FLOW IN ELECTROMAGNETIC STANDING WAVES

Zhang Meng Wu Zhaolong Lu Hui Wang Rong Zhong Juhua

(Department of Physics, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237)

In this article, theoretical derivations were carried out to reveal the distribution of energy and energy flow of the plan harmonic electromagnetic standing waves. The distribution properties of the standing wave energy are discussed in detail. It was found that the forms of electromagnetic wave distributions are in consistent with the standing wave generated from the mechanical wave field, which reveals the law of standing wave energy and energy flow is universal.

electromagnetic wave; standing wave; energy; energy flow

2016-05-29

華東理工大學(xué)教改項(xiàng)目(YK0126111、YK0126102);國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201510251063)。

張孟，男，副教授，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)橛?jì)算物理，mzhang@ecust.edu.cn。

張孟，吳趙龍, 陸慧,等. 電磁駐波中的能量與能流分布探討[J]. 物理與工程，2017，27(5)：47-50.