6維三步冪零李代數(shù)導子的刻畫

蘇 鵬，任 斌

（蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009）

6維三步冪零李代數(shù)導子的刻畫

蘇 鵬，任 斌*

（蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009）

主要研究特征不等于2的域上6維三步冪零李代數(shù)的導子代數(shù)。文中將6維三步冪零李代數(shù)分為三種類型，借助矩陣的計算，刻畫了每一類型其導子的結構。

冪零李代數(shù)；基；導子

導子代數(shù)[1-3]是李代數(shù)結構理論[4-7]研究的一個重要方面，也在微分幾何、理論物理等其他領域有重要應用。文獻[8]得到了三維中心的二步冪零李代數(shù)導子的一個充要條件，而關于三步冪零李代數(shù)的導子代數(shù)，目前這方面的討論還不多，筆者主要研究了特征不等于2的域上6維三步冪零李代數(shù)的導子代數(shù)。文獻[9]給出了特征不等于2的域上維數(shù)小于等于6的冪零李代數(shù)的所有分類，其中6維三步冪零李代數(shù)N按其N2、N3的維數(shù)可歸為三種類型，文中刻畫了每一類型其導子的結構。根據(jù)這些等價條件，能較容易地刻畫出N的導子代數(shù)的結構，也為進一步研究其導子代數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎。

文中討論的李代數(shù)N均是特征不等于2的域F上有限維李代數(shù)。

1 基本概念和基本結論

定義1[10]有限維李代數(shù)N稱為冪零的，如果存在正整數(shù)i使得Ni=0。若N3≠0，N4=[N3，N]＝0，則稱有限維李代數(shù)N是三步冪零的。

定義2[10]設N是域F上的李代數(shù)，D是N上的一個線性變換。若D滿足下述條件

則稱D是N的一個導子。記DerN={D∈gl（N）|D是N的導子}。

引理1[11]若N是一個冪零李代數(shù)，則下面兩個命題等價：

（1）{x1，x2，…，xn}是 N 的一個極小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空間 N/N2的一組基。

引理 2 設{x1，x2，…，xn}為李代數(shù) N的一組基，D是 N上的一個線性變換，則 D∈DerN當且僅當D[xi，xj]＝[Dxi，xj]+[xi，Dxj]， 1≤i，j≤n。

定理1[9]設N是特征不等于2的域F上不可分解的6維三步冪零李代數(shù)，同構意義下可分為6種：

N6，6：[x1，x2]＝x4，[x1，x3]＝x5，[x1，x4]＝x6。

定義 3 設 N 是一個三步冪零李代數(shù)，若 dimN=p+m1，dimN2=m1，dimN3=m2，則稱 N 為（m1，m2，p）型的。

不可分解的 6 維三步冪零李代數(shù) N 可分為如下三種類型：（2，1，4）型：N6，1；（3，1，3）型：N6，2（ε）；N6，3，N6，4，N6，6；（3，2，3）型：N6，5（ε）。

2 主要結果

下面將得到每一類型的6維三步冪零李代數(shù)導子的一個充要條件。這里所討論的李代數(shù)N均是不可分解的6維三步冪零李代數(shù)。

設{x1，x2，x3，x4，x5，x6}為 N 的一組基，若 D 是 N 上的一個線性變換，則有

2.1 （2，1，4）型的導子

設 N 是一個（2，1，4）型的，則 N 有一個極小生成元系{x1，x2，x3，x4}。 設{x5，x6}是 N2的一組基，{x6}是 N3的基，于是有 5×5 的反對稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij）使得[xi，xj]=Eijx5+Fijx6， 1≤i，j≤5。 當 i＝5 或 j＝5 時，Eij＝0。 記 E1＝（Eij）4×4，F(xiàn)1＝（Fij）4×4。

定理2 設N是一個（2，1，4）型的，N的一個線性變換D是導子的充要條件是D對應的矩陣

這里 C1＝（a51，a52，a53，a54），F(xiàn)2=（F51，F(xiàn)52，F(xiàn)53，F(xiàn)54）。

證明 必要性 因為 D（x5）∈N2，D（x6）∈N3，所以

由于D是N的一個導子，則有

顯然，等式（4）等價于等式（5）、（6）同時成立

下面將由等式（5）、（6）推出必要性成立，證明如下：

因為[xi，xj]=Eijx5+Fijx6，所以

同理可得

故得（5）式右邊=（E1A+ATE1）（x5I4）+（F1A+ATF1+C1TF2-F2TC1）（x6I4），所以可得等式（1）、（2）成立。

由等式（6），有 D[x5，xj]＝[Dx5，xj]+[x5，Dxj]，1≤j≤4，注意到

充分性 由必要性的證明過程易證等式（4）成立。由引理2知，D是N的一個導子。

2.2 （3，2，3）型的導子

設 N 是一個（3，2，3）型的，則 N 有一個極小生成元系{x1，x2，x3}。 設{x4，x5，x6}是 N2的一組基，{x5，x6}是 N3的一組基，于是有 4×4 的反對稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij），J=（Jij）使得

當 i＝4 或 j＝4 時，Eij＝0。 記 E1＝（Eij）3×3，F(xiàn)1＝（Fij）3×3，J1＝（Jij）3×3。

定理3 設N是一個（3，2，3）型的，N的一個線性變換D是導子的充要條件是D對應的矩陣

這里 C1＝（a41，a42，a43），F(xiàn)3＝（F41，F(xiàn)42，F(xiàn)43），J2=（J41，J42，J43）。

定理的證明與定理2的證明類似，這里略。

2.3 （3，1，3）型的導子

設 N 是一個（3，1，3）型的，則 N 有一個極小生成元系{x1，x2，x3}。 設{x4，x5，x6}是 N2的一組基，{x6}是 N3的基，于是有 5×5 的反對稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij），J=（Jij）使得

當 i＝4，5 或 j＝4，5 時，Eij＝Fij＝0。 記 E1＝（Eij）3×3，F(xiàn)1＝（Fij）3×3，J1＝（Jij）3×3。

定理4 設N是一個（3，1，3）型的，N的一個線性變換D是導子的充要條件是D對應的矩陣

定理的證明與定理2的證明類似，這里略。

通過以上討論，得到了每一類型的6維三步冪零李代數(shù)N的導子的一個充要條件。根據(jù)這些等價條件，能較容易地刻畫出N的導子代數(shù)。例如利用定理4可較容易地刻畫出（3，1，3）型的四種李代數(shù)的導子代數(shù)，結果如下

[1]范素君，周檬，崔麗娟.冪零李代數(shù)的導子代數(shù)的結構[J].河北師范大學學報（自然科學版），2009，33（5）：567-569.

[2]巫永萍.5維冪零李代數(shù)的導子代數(shù)的結構[J].大學數(shù)學，2012，28（5）：76-79.

[3]WU Mingzhong.The derivaion algebra of Qnfiliform Lie algebra[J].Chin Quart J Math，2013，28（3）：397-401.

[4]SEELEY C.7-dimensional nilpotent Lie algebra[J].Trans Amer Math Soc，1993，335：479-496.

[5]REN B，ZHU L S.Classification of 2-step nilpotent Lie algebras of dimension 8 with 2-dimensional center[J].Comm Algebra，2011，39：2068-2081.

[6]YAN Z L，DENG S Q.Completable two step nilpotent Lie algebras of type（2，p）[J].Linear and Multilinear Algebra，DOI：10.1080/03081087.2013.780605.

[7]REN B，ZHU L S.Quasi Qnfiliform Lie algebras[J].Algebra Colloquium，2011，18（1）：139-154.

[8]潘林輝，任斌.（3，p）型二步冪零李代數(shù)導子的一個充要條件[J].蘇州科技學院學報（自然科學版），2014，31（3）：10-13.

[9]WILLEM A DE GRAAF.Classification of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over fields of characteristic not 2[J].Computational Algebra，2007，309（2）：640-653.

[10]蘇育才，盧才輝，崔一敏.有限維半單李代數(shù)簡明教程[M].北京：科學出版社，2008.

[11]SANTHAROUNANE L.Kac-Moody Lie algebra and the classification of nilpotent Lie algebra of maxial rank[J].Cannad J Math，1982，34：1215-1239.

Characterization for derivation of three step 6-dimensional nilpotent Lie algebras

SU Peng，REN Bin*
（School of Mathmatics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

In this paper,we studied the derivation of three step 6-dimensional nilpotent Lie algebras over the fields that characteristics are not 2.We classified the algebras into three types and characterized the structure of the derivation of each type by the calculation of matrix.

nilpotent Lie algebra；base；derivation

O512 MR（2010）Subject Classification：17B05；17B30；17B40

A

2096－3289（2017）03－0025－05

責任編輯：謝金春

2015－12－16

國家自然科學基金資助項目（11271056）

蘇 鵬（1989-），女，山西朔州人，碩士研究生，研究方向：代數(shù)方向。

*通信作者：任 斌（1964-），男，教授，博士，碩士生導師，E-mail：renbin1964@163.com。