一種新型美式期權(quán)的自由邊界問題

陳曉珊, 曹利敏, 易法槐

(1. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631; 2. 廊坊燕京職業(yè)技術(shù)學(xué)院,三河 065200)

一種新型美式期權(quán)的自由邊界問題

陳曉珊1*, 曹利敏2, 易法槐1

(1. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631; 2. 廊坊燕京職業(yè)技術(shù)學(xué)院,三河 065200)

研究一種新類型的股票期權(quán)定價問題,當(dāng)股票市場不利于普通的美式股票期權(quán)時,此類期權(quán)為持有者提供了一個最低保障. 將該金融問題轉(zhuǎn)化為一個具有2條自由邊界的拋物變分不等式,利用偏微分方程理論證明了該問題解的存在唯一性,并且得到2條自由邊界的存在性、單調(diào)性和光滑性,以及拋物變分不等式的解與最低保障之間的關(guān)系.

期權(quán)定價; 變分不等式; 自由邊界

美式看漲期權(quán)是一種未定權(quán)益,期權(quán)持有者有權(quán)在合約規(guī)定的到期日以前(包括到期日)任何一個工作日,按確定價格購買一定數(shù)量的原生資產(chǎn),但不承擔(dān)必須購入的義務(wù),期權(quán)的持有者為了取得這個未定權(quán)益所需要付出的代價稱為期權(quán)金[1-4].

現(xiàn)在,許多公司都把股票期權(quán)作為獎金獎勵給公司的杰出員工. 目前標準的股票期權(quán)的主要缺點是期權(quán)收益具有很大的不確定性,最主要的不確定性來自股票市場,當(dāng)整個股票市場的股票價格波動較大時,股票期權(quán)就難以逃脫受整個股票市場波動的命運,會給期權(quán)的持有者帶來畸高或畸低的收入,而與企業(yè)的績效沒有多大關(guān)系,因此就降低了它對公司員工的吸引力. 而對于公司來說,無力改變市場,所能做的就是構(gòu)造一種異于普通股票期權(quán)的新類型股票期權(quán),使得這種期權(quán)對員工有較高的吸引力. 公司在新類型的股票期權(quán)合約中確定一個大于敲定價格K的價值保障l,使得期權(quán)在t(t≤T)時刻實施時的收益為(max(st,l)-K),其中st是股票的價格,T是到期日. 這種新類型期權(quán)相當(dāng)于在沒有改變股票期權(quán)的標準形式下,公司給了優(yōu)秀員工在獎金與股票期權(quán)之間一個選擇的機會[5].

這種新類型的期權(quán)有以下幾個優(yōu)點: 第一,公司的優(yōu)秀員工得到的獎勵有一個最低的保障l-K; 第二,在市場背離本公司的股票的時候,公司不必重新發(fā)行股票期權(quán). 這種策略極大地鼓舞了公司的士氣,并且避免了由于重新發(fā)行股票期權(quán)而對公司股本的稀釋. 這種期權(quán)的一個可能的缺點是：當(dāng)市場上股票的價格大幅下降到K以下時,它就極大地增加了公司的成本,公司有可能承擔(dān)不起這種期權(quán),因此公司在采取這種獎勵措施時應(yīng)特別小心,期權(quán)合約中確定一個合適的價值保障l是很關(guān)鍵的. 例如,保守的公司可以選擇一個比較小的價值保障l.

1 建立模型

這種新型的股票期權(quán)作為公司的一種獎勵機制,當(dāng)市場上股票的價格很低時,它為杰出員工提供了一種最低的保障(l-K). 公司確定了一個比敲定價格K稍大的價值保障l,使得股票期權(quán)的持有者在實施期權(quán)時的收益為(max(l,st)-K),這種新類型的股票期權(quán)對員工有更大的吸引力,顯然這種新類型期權(quán)的價值與價值保障l有關(guān). 下面利用動態(tài)規(guī)劃原理為這種新類型股票期權(quán)建立模型,推導(dǎo)出這種新類型股票期權(quán)價值所滿足的HJB方程.

假設(shè)市場不存在套利機會,且無風(fēng)險利率r>0,風(fēng)險資產(chǎn)的紅利率q≥0,股票的價格st遵循幾何布朗運動[9]：

dst=μstdt+σstdWt，

其中Wt為標準布朗運動,μ≥0是期望回報率,σ>0是波動率.

設(shè)V(s,l,t)表示此類新類型期權(quán)在t時刻的價格,利用動態(tài)規(guī)劃原理,根據(jù)It’s公式,可知V(s,l,t)滿足以下變分不等式

(1)

(2)

其中QT=×(K,+)×(0,T],xu=?xxu+(r-q-)?xu-ru. 由于xu中不含有l(wèi)的微分,可將l看成參數(shù),則對于任一固定的l (l>K),問題(2)為一個一維拋物障礙問題. 本文第2部分可得到問題(2)的W2,1p,loc(ΩT)解的存在唯一性,其中ΩT=×(0,T].

2 問題(2)的W2,1p,loc解的存在唯一性

(3)

為了證明問題(3)解的存在性,引進懲罰函數(shù)βε(t)(圖 1)[4],滿足

βε(t)C2(-,+),βε(t)≤0,ε(t)≥0,β″ε(t)≤0,

βε(0)=-C0=-[(q+r)en+rl],

圖1 懲罰函數(shù)βε(t)

由于(ex-l)+不夠光滑, 因此定義逼近函數(shù)πε(t)(圖 2):

πε(t)C∞,0≤(t)≤1,π″ε(t)≥0,πε(t)=t+.

圖2 逼近函數(shù)πε(t)

現(xiàn)在考慮問題(3)的懲罰問題,對任意固定的ε>0,uε,n(x,l,)滿足

(4)

(ex-l)++l-K≤un≤ex+2l-K((x,)ΩnT),

(5)

?un(x,l,)≥0 ((x,)ΩnT),

(6)

?xun(x,l,)≥0 ((x,)ΩnT).

(7)

接下來證明當(dāng)n充分大時,有

πε(ex-l)+l-K≤uε,n≤ex+2l-K ((x,)ΩnT).

(8)

令v1(x)=πε(ex-l)+l-K,注意到當(dāng)ε充分小,有

πε(ex-l)+l-K≤ex+ε+l-K≤ex+l.

則由C0的定義有

C0≤qex+r(πε(ex-l)+l-K)-C0≤0,

且v1(x)滿足初邊值條件:

聯(lián)合式(4),應(yīng)用比較原理[14-15],有

πε(ex-l)+l-K≤uε,n.

以下證明式(8)的右端. 記v2(x)=ex+2l-K,對任意的0<ε

qex+r(2l-K)+βε(ex+2l-K-(πε(ex-l)+l-K))≥

qex+r(2l-K)+βε(ε)≥0.

因此，v2(x)滿足

應(yīng)用比較原理,有uε,n≤ex+2l-K,因此證得式(8).

因為uε,n為式(4)的解且滿足式(8),根據(jù)文獻[16],令ε→0,有

結(jié)合問題(3),由變分不等式的解關(guān)于初值的單調(diào)性，有

最后證明式(7). 在式(4)兩邊對x求導(dǎo),記v(x,l,)=?xuε,n(x,l,),那么v滿足

?xuε,n(x,l,)=v(x,)≥0,

令ε→0證得式(7).

u2(x,l,)>u1(x,l,)≥(ex-l)++l-K,

則對(x,)，?u2-xu2=0,?u1-xu1≥0. 記ω(x,)=u2(x,l,)-u1(x,l,),則ω(x,)滿足

其中?p是的拋物邊界. 由極值原理,得到

定理1 對任一固定的l>K,對任意的R>0,δ>0,0

證明對任一固定的l>K，問題(3)可寫成以下形式

(12)

且由Sobolev嵌入定理，有

3 自由邊界的性質(zhì)

本節(jié)將研究問題(2)的自由邊界的性質(zhì). 對任意固定的l>K，記

(u)={(x,)|u(x,l,)>++l-K},

(13)

(14)

由比較原理知

由式(11)和式(13),可知

?x(u-(l-K))≥0,?x(u-(ex-K))≤0.

因此，定義自由邊界為：

hc()=max{x|u(x,l,)=l-K} (0<≤T),

hs()=min{x|u(x,l,)=ex-K} (0<≤T).

從金融上看,如果股票的價格st非常高,則應(yīng)立即實施這張股票期權(quán),此時的收益為st-K. 同理,若股票的價格stl,故此時應(yīng)立即實施股票期權(quán),收益為l-K,否則會損失l-K的時間價值.

下面考慮當(dāng)q>0時,自由邊界hc()和hs()的有界性、 單調(diào)性、連續(xù)性以及光滑性.

文獻[18]考慮了此新類型股票期權(quán)在無限時間內(nèi)的定價問題,指出此新類型的永久美式期權(quán)的價值滿足下面的穩(wěn)態(tài)問題：

(15)

給出了解(V0(s,l),b*,a*),即無限時間內(nèi)新類型股票期權(quán)的價值滿足

其中γ0和γ1為r=(r-q)γ+σ2γ(γ-1)/2的解,a*>l,b*

(16)

(17)

其中c*=a*/b*是

的唯一的大于1的實根

利用相對應(yīng)穩(wěn)態(tài)問題的自由邊界性質(zhì)及比較原理,可得到自由邊界hc()、hs()的有界性.

定理2hc()和hs()(圖 3和圖 4)滿足

lnb*≤hc()≤lnl,

(18)

(19)

其中a*、b*為式(16)、(17)所給出的表達式.

證明 顯然有hc()≤lnl≤hs(). 由于(V0(s,l),b*,a*)是問題(15)的解, 其中b*

u0(x,l)≥u(x,l,) ((x,)×[0,T]).

顯然

?

?

即lnb*≤hc(),hs()≤lna*. 當(dāng)(x,)(u),即u(x,l,)=ex-K時,有

?u-xu=qex-rK≥0,

則x≥ln(rK/q),因此,由hs()的定義,證得

hs()≥max{lnl,ln(rK/q)}.

從金融上看,永久美式期權(quán)V0(s,l)比一般美式期權(quán)V(s,l,t)擁有更多的獲利機會,所以V0(s,l)≥V(s,l,t),且由于永久美式期權(quán)并無到期日,則期權(quán)持有者可以等到期權(quán)價值更高時才實施期權(quán),故對永久美式期權(quán)而言實施股票期權(quán)的范圍更小. 接下來考慮自由邊界的單調(diào)性.

定理3 hc()關(guān)于是嚴格單調(diào)遞減的函數(shù),hs()關(guān)于是嚴格單調(diào)遞增的函數(shù).

證明 由式(10)得

(20)

由式(20)和hc()的定義,可知hc()是單調(diào)遞減的.

事實上,hc()是嚴格單調(diào)減的,如果x=hc()有垂直的部分Γ={(x*,)|1≤≤2},那么在Γ上,u=l-K,?xu=0,?u=?u=0. 又因為

hc()單調(diào)遞減說明了：隨著→0,即離到期日越來越近時,最佳實施邊界x=hc()越來越大. 從金融上看,離到期日越來越近時,若此時市場上的股票價格S(t)l,則應(yīng)立即實施手中的這張股票期權(quán),否則就會蒙受股票價格波動所帶來的損失.

由于hc()關(guān)于是嚴格單調(diào)遞減的,hs()關(guān)于是嚴格單調(diào)遞增的,則定義

定理4hc()、hs()在(0,T]上連續(xù)(圖 3和圖 4)，且

hc(0)=lnl,

(21)

hs(0)=max{lnl,ln(rK/q)},

(22)

特別地,hc(),hs()C(0,T].

證明 首先證明式(21). 我們知道hc(0)≤lnl, 如果hc(0)0,使得

特別地,?xu(x,l,0)=0,?xxu(x,l,0)=0. 在=0上,由方程(3)得

接下來證明hc()在[0,T]上是連續(xù)的. 如果hc()在[0,T]上不連續(xù),則存在0>0,使得

由于

同理可證hs()在[0,T]上連續(xù),且hs(0)=max{lnl,ln(rK/q)}. 由?u(x,l,)≥0及((ex-l)++l-K)為下障礙,可利用文獻[11]、[19]、[20],同樣的論證證得hc(),hs()C(0,T]. 證畢.

圖3 自由邊界hc()和hs() (l≥rK/q)

圖4 自由邊界hc()和hs() (K

從金融上來講,當(dāng)利益保障l越大時,期權(quán)的收益就越高,則期權(quán)越貴,對員工的吸引力也越大. 但是當(dāng)l越大時,公司發(fā)行該期權(quán)的成本也就越高,因此選擇合適的l對公司來說是很重要的. 接下來將考慮期權(quán)價值以及自由邊界與利益保障l的關(guān)系.

證明 設(shè)ui(x,li,)(i=1,2)為以下問題的解:

定理6 hc()與hs()關(guān)于l是嚴格單調(diào)遞增的.

證明 由定理5可知,當(dāng)K

下證hs2()0充分小)中,)u1(x,l1,)-u2(x,l2,)滿足

下證hc2()

((x,)ΩT,i=1,2).

則由ui(s,li,)為問題(2)的解,可知)滿足

因為

根據(jù)變分不等式關(guān)于非齊次項、障礙及初值的單調(diào)性可知

0≤u1(x,l1,)-(l1-K)≤u2(x,l2,)-(l2-K),

同理,利用Hopf 引理可以證得hc2()

下面討論q=0時,hc()和hs()的性質(zhì). 由比較原理,容易證明以下引理.

引理3 假設(shè)u1(x,)為不支付紅利的標準美式看漲期權(quán)的解,即u1(x,)為下面問題的解：

(23)

文獻[18]還考慮了當(dāng)q=0時,新類型永久股票期權(quán)的問題,其價值滿足下面的穩(wěn)態(tài)問題:

類似于定理2、定理4的證明,可得

定理7 當(dāng)q=0時,hc()關(guān)于為嚴格單調(diào)遞減的函數(shù),且滿足

lnl*≤hc()=lnl,

特別地,hc()C[0,T]∩C(0,T].

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校:肖菁】

Free Boundary Problem of A New Type of American Option

CHEN Xiaoshan1*, CAO Limin2, YI Fahuai1

(1. School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzhou 510631, China; 2. Langfang Yanjing Polytechnic College, Sanhe 065200, China)

A parabolic variational inequality with two free boundaries arising from a new type of stock option pricing is considered, which provides a guaranteed minimum as an added incentive in case the market appreciation of the stock is low. The existence and uniqueness of solution to the problem via the PDE technique are proved. Moreover, the existence, monotonicity and smoothness of two free boundaries, and the relationship between the solution to the parabolic variational inequality and the guaranteed minimum are obtained.

option pricing; variational inequality; free boundary

2016-12-28 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項目(11601163); 廣東省自然科學(xué)基金項目(2016A030313448)

O29

A

1000-5463(2017)04-0095-07

*通訊作者:陳曉珊,講師,Email:xschen@m.scnu.edu.cn.