微積分中值定理及其應(yīng)用

陳 杰

(蘇州旅游與財(cái)經(jīng) 高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校,江蘇 蘇州 215104)

【教學(xué)改革】

微積分中值定理及其應(yīng)用

陳 杰

(蘇州旅游與財(cái)經(jīng) 高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校,江蘇 蘇州 215104)

文章分析了微積分中值定理及其實(shí)踐意義,圍繞中值定理包含的內(nèi)在關(guān)系,從微分中值定理推廣到積分中值定理,總結(jié)中值定理在社會應(yīng)用中的效能估算等方面的具體推廣應(yīng)用,最后給出經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用中值定理的實(shí)踐案例。

微積分;中值定理;應(yīng)用

微積分中值定理的出現(xiàn)是一個(gè)科學(xué)邏輯典型代表,其中聚集了眾多數(shù)學(xué)愛好者和數(shù)學(xué)家的研究心血,在數(shù)學(xué)發(fā)展史具有舉足輕重的突出地位,它是自然科學(xué)研究不可缺失的基礎(chǔ)。

一、 微分中值定理

微分中值定理可以揭示了函數(shù)關(guān)系的曲線必然軌跡規(guī)律,是數(shù)學(xué)工具分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)工具,本文主要以微分中值定理(羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、Cauchy定理等)一系列成果及定理之間的關(guān)系為研究對象,利用它們來討論一些社會現(xiàn)象, 包括對供需平衡的求解問題,以及最佳增值效率的求解法等。

(一)羅爾中值定理

若函數(shù)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),則在[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得:f′(ξ)=0.曲線原理如圖1所示。

圖1 羅爾中值定理曲線

證明:目標(biāo)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),必然有最大值和最小值,最大值和最小值分別用m與M表示。如果有M=m,則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上即為為常數(shù),顯然結(jié)論成立;如果M>m,結(jié)合端點(diǎn)條件f(a)=f(b),容易想到,在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)ξ,使f(x)取得使得最大值M或最小值m,從而使ξ成為f(x)的極值費(fèi)馬點(diǎn),由于f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),并且f(x)在ξ處可導(dǎo),故可得結(jié)論:f′(ξ)=0.

實(shí)踐意義:設(shè)有一段弧的兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等,如果除兩端點(diǎn)之外,各處都有不垂直于水平x軸的切線,那么弧線上至少有一點(diǎn),使得該點(diǎn)處的切線平行于x軸。羅爾中值定理給我們揭示了許多物極必反現(xiàn)象的必然性存在性。例如:經(jīng)濟(jì)分析中的邊際分析法是把追加支出和追加收入相比較,計(jì)算二者相等時(shí)的臨界點(diǎn),即投入資金所得到的利益與成本輸出相等時(shí)的臨界點(diǎn)。構(gòu)造函數(shù)為利潤函數(shù),如果追求的目標(biāo)是取得最大利潤,那么當(dāng)追加收入等于所增加的支出時(shí),這一經(jīng)濟(jì)目標(biāo)就能夠?qū)崿F(xiàn)。

(二)柯西中值定理

假設(shè)有函數(shù)f(x)及g(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)滿足g(a)≠g(b)且g′(x)≠0, 則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得:

柯西定理可以由一般曲線的參數(shù)方程證明,可以理解為f(x)與另一函數(shù)曲線g(x)在(a,b)上至少存在一點(diǎn)ξ,使得在該點(diǎn)處,f(x)與g(x)曲線的切線是平行的?？挛髦兄刀ɡ懋a(chǎn)生了微積分學(xué)基本定理“牛頓-萊布尼茨公式”, 揭示了定積分或被積原函數(shù)或者不定積分函數(shù)之間的邏輯關(guān)系。

牛頓-萊布尼茨公式的主要內(nèi)容:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,并且滿足以下條件:(1)在區(qū)間[a,b]上可積;(2)在區(qū)間[a,b]上存在原函數(shù)F(x),則有

牛頓-萊布尼茨公式給我們揭示了社會現(xiàn)象的必然性存在性,找到了解決曲線長度、曲線圍成的面積和曲面圍成的體積等問題的一般方法。牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計(jì)算過程,條件是只要知道被積函數(shù)的原函數(shù),就可以計(jì)算出定積分的精確值或者是一定精度下的近似值。

(三)拉格朗日中值定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理又稱為拉氏定理,是羅爾(Rolle)中值定理的推廣,同時(shí)也是柯西(Cauchy)中值定理的特殊形式。如果函數(shù)f(x))在(a,b)上可導(dǎo),[a,b]上連續(xù),則必有一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得:

拉格朗日(Lagrange)中值定理曲線原理如圖2所示。

拉格朗日中值定理的幾何意義: 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù),開區(qū)間上可導(dǎo)后,那么在這個(gè)函數(shù)所表示的函數(shù)曲線上,必然一定至少存在一點(diǎn),使得該點(diǎn)的斜率切線與兩個(gè)端點(diǎn)連線平行。羅爾中職定理揭示了曲線與水平斜率的存在性,拉格朗日中值定理揭示了函數(shù)切線與一般直線斜率相等的存在性關(guān)系。

如果目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)數(shù)恒為0,那么函數(shù)在區(qū)間(a,b)上是一個(gè)常數(shù)。證明:f(b)-f(a)=f′(ξ)·(b-a),ξ∈[a,b],由于已知f′(ξ)=0,f(b)-f(a)=0,即f(b)=f(a).這就是說,在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)的函數(shù)值都相等。因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。

拉格朗日中值定理給我們揭示了社會現(xiàn)象的必然性存在性。對于非勻速直線運(yùn)動的物體,在其任意運(yùn)動過程中,至少存在一個(gè)位置點(diǎn)(或一個(gè)時(shí)刻)的瞬時(shí)速度等于該過程中的平均速度。 拉格朗日中值定理從根本上證明了:在自由經(jīng)濟(jì)交易中,經(jīng)濟(jì)利益的獲得效益是變動的,不完全都是增值的。從有限理性、交易利潤和交易增值的角度考慮,可以進(jìn)一步推導(dǎo)出商品交易中,合同成交的均衡條件,即:“經(jīng)濟(jì)——人”假說里的一般均衡,可以推廣到現(xiàn)實(shí)社會的廣義均衡理性。應(yīng)用拉格朗日中值定理,可以揭示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本邊際定價(jià)法則,價(jià)格函數(shù)曲線與邊際成本函數(shù)曲線相交點(diǎn)(邊際成本函數(shù)曲線的點(diǎn)斜率大于0、或者邊際成本函數(shù)曲線的點(diǎn)斜率比價(jià)格函數(shù)曲線的點(diǎn)斜率更平緩),則這個(gè)交點(diǎn)處便是最優(yōu)定價(jià)點(diǎn)。若把需求量與供給量都表示為價(jià)格函數(shù),則可以利用積分中值討論資源剩余等經(jīng)濟(jì)問題。

二、 積分中值定理

微積分學(xué)說是繼歐幾里得幾何學(xué)之后,數(shù)學(xué)理論應(yīng)用中最大的一個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn),它是聯(lián)系著經(jīng)濟(jì)社會的應(yīng)用過程發(fā)展起來的。17世紀(jì)末,人們?yōu)榱死斫夂徒鉀Q社會現(xiàn)象問題(尤其是物理力學(xué)問題和經(jīng)濟(jì)趨勢問題)創(chuàng)立了微積分學(xué)說。微積分學(xué)說極大地推動了自然科學(xué)(物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程技術(shù)等)各個(gè)分支科學(xué)的發(fā)展,并在這些學(xué)科中越來越廣泛的被實(shí)踐應(yīng)用。積分中值定理用來表示曲邊梯形的面積,可以推導(dǎo)平面曲線之間圖形面積、曲面面積和立體體積之間的關(guān)系。

積分中值定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ,使下式成立:

有假設(shè)條件: f(x)在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)連續(xù),設(shè)函數(shù)f(x)最大值及最小值分別為M和m,即:m≤f(x)≤M.將上式同時(shí)在區(qū)間[a,b]內(nèi)積分,可得積分中值定理,即:

因?yàn)閙≤f(x)≤M是連續(xù)函數(shù),由拉格朗日中值定理,必存在一點(diǎn)ξ,使得

積分中值定理在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理的應(yīng)用是廣泛的,積分中值定理需要由邊際函數(shù)的不定積分求解出原經(jīng)濟(jì)函數(shù),更重要的是由邊際函數(shù)的定積分和廣義積分法則,求解出原經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線的點(diǎn)變動特征。由于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象較難理解與掌握,積分中值定理在經(jīng)濟(jì)分析中的重要地位,積分中值定理成為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。例如:在經(jīng)濟(jì)利潤分析過程中,經(jīng)常會遇到假設(shè)目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)微分問題,求解這個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的效能問題,這涉及到積分求解的復(fù)雜問題。積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以視為互逆過程。

三、實(shí)踐總結(jié)

現(xiàn)代社會利用微積分中值定理方法和概念進(jìn)行分析演繹各種經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象,微積分中值定理的作用是作為理論基礎(chǔ),來邏輯分析社會學(xué)規(guī)律,非單純的計(jì)算工具。例如:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)作為研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的科學(xué),以中值定理為核心內(nèi)容,研究了經(jīng)濟(jì)中各種經(jīng)濟(jì)行為和行為者的最優(yōu)理性選擇,探討了實(shí)現(xiàn)有限資源的最優(yōu)配置方案。微積分中值定理是研究經(jīng)濟(jì)最優(yōu)選擇的根本方法,經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)具有天然的密切關(guān)聯(lián)性,無論是經(jīng)濟(jì)中靜態(tài)數(shù)據(jù)的最優(yōu)化理論,還是經(jīng)濟(jì)動態(tài)數(shù)據(jù)的最優(yōu)化理論中,微積分中值定理是最合適的經(jīng)濟(jì)分析工具。人們在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法,對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象予以定量描述,其研究深度日益增長。

假設(shè)以下經(jīng)濟(jì)函數(shù),(1)產(chǎn)量函數(shù)Q(x);(2)收益函數(shù)R(x);(3)需求函數(shù)Q(P);(4)成本函數(shù)C(x);(5)利潤函數(shù)L(x)等。邊際函數(shù)就是上述經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可以由各個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際計(jì)算,獲得其積分函數(shù),最終求出原經(jīng)濟(jì)函數(shù),來分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。在經(jīng)濟(jì)管理分析過程中,由各個(gè)類型的邊際函數(shù)求解經(jīng)濟(jì)函數(shù)的過程,一般都采用不定積分來實(shí)現(xiàn)。如果經(jīng)濟(jì)需求要求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)的估算,則可以采用定積分的方式來解決。例如:邊際收益、邊界需求、邊際成本和邊際利潤等,在產(chǎn)出量x的變動區(qū)間[a,b]上的增量,就是邊際函數(shù)各自源函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分(面積)。

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2017-04-08

陳杰(1980-)，男,江蘇丹陽人,蘇州旅游與財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校講師,碩士,研究方向:數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

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1672-2086(2017)02-0092-03