基于凸包域的三維公差分析模型研究*

張庚楠，楊志宏，李其勝，于奎剛，黃賀福，李 娜

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南 250061)

基于凸包域的三維公差分析模型研究*

張庚楠，楊志宏，李其勝，于奎剛，黃賀福，李 娜

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南 250061)

為了更好地解決復(fù)雜裝配體的公差分析問題，文章提出了基于凸包域的三維公差表達(dá)和公差分析方法。以凸包理論為基礎(chǔ)，建立了尺寸公差和形位公差域模型；對(duì)公差域內(nèi)的變動(dòng)特征進(jìn)行PDF的建模，構(gòu)建偏差累積方程；根據(jù)公差域模型和PDF對(duì)蒙特卡羅仿真方法進(jìn)行修正；運(yùn)用修正的蒙特卡羅方法和HDMR對(duì)偏差累積方程進(jìn)行敏感度和貢獻(xiàn)因子分析。與傳統(tǒng)的基于點(diǎn)的建模方法相比，基于凸包的建模方法能真實(shí)的體現(xiàn)幾何特征的變動(dòng)與公差標(biāo)準(zhǔn)的契合關(guān)系。最后通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和精確性。

凸包域；公差分析；公差建模；蒙特卡羅仿真

0 引言

隨著技術(shù)和生產(chǎn)方式的發(fā)展，機(jī)械產(chǎn)品的復(fù)雜程度不斷提高，對(duì)產(chǎn)品精度質(zhì)量以及設(shè)計(jì)周期的要求也不斷提高。產(chǎn)品的公差分析變得尤為重要。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在公差分析方法的研究上投入了大量的精力[1]。公差分析也由開始的一維、二維逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槿S復(fù)雜產(chǎn)品的裝配，同時(shí)，公差分析的精度也不斷提高。

在過去的幾十年中，在基于運(yùn)動(dòng)學(xué)和小位移旋量的基礎(chǔ)上，矩陣、旋量、雅克比矩陣、雅克比矩陣旋量、基于基準(zhǔn)流的方法、T-Map、D-Domain模型等相繼在解決公差分析問題中得到了運(yùn)用[2]。矩陣法通過齊次變換矩陣建立尺寸鏈中功能要求極值點(diǎn)與相關(guān)的特征公差變動(dòng)極值點(diǎn)之間的關(guān)系[3]。矢量環(huán)法以連接副上的點(diǎn)表示特征的公差變動(dòng)，利用坐標(biāo)變換矩陣求解出變動(dòng)公差特征與功能要求之間的關(guān)系[4]。旋量法以向量為基礎(chǔ)建立各個(gè)變動(dòng)特征的相互作用，最終求解出個(gè)各個(gè)旋量與功能要求之間的關(guān)系[5]。雅克比矩陣旋量法避開了上述基于點(diǎn)的建模方式，通過模態(tài)區(qū)間的方式構(gòu)建變動(dòng)特征與功能要求之間的關(guān)系[6]。T-Map通過幾何的閔科夫斯基加法構(gòu)建各個(gè)凸包之間的關(guān)系，以坐標(biāo)變換最終求解出功能要求的凸包[7]。D-Domain將小位移旋量與凸包理論結(jié)合構(gòu)建變動(dòng)特征的公差域，最終求解出功能要求的D-Domain模型。

但是，目前的公差分析技術(shù)仍然存在如下問題：

(1)偏差累積方程建模多是局限于公差極值條件下的建模；

(2)基于點(diǎn)的公差建模方法與公差標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一；

(3)公差表達(dá)建模不能考慮基準(zhǔn)優(yōu)先順序；

(4)偏差累積建模不能考慮基準(zhǔn)的優(yōu)先順序；

(5)復(fù)合公差域的建模無法考慮包容要求的影響。

1 基于凸包的公差域建模方法

本章在T-Map和D-Domain的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)新的公差模型，該模型利用凸包理論，對(duì)公差域進(jìn)行建模，利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)原理和修正的蒙特卡羅算法進(jìn)行公差分析。

1.1 基于凸包的公差表示模型

運(yùn)用新的公差域建模方法，把變動(dòng)特征通過坐標(biāo)變換映射到重心坐標(biāo)下的點(diǎn)空間模型，通過改變特征變動(dòng)的旋轉(zhuǎn)分量，得到基于凸包域和運(yùn)動(dòng)空間的新模型。根據(jù)TTRS(拓?fù)浜图夹g(shù)相關(guān)表面)和MGDE(最小幾何基準(zhǔn)要素)理論，下文中分別以平面、孔和輪廓度為例，對(duì)復(fù)合公差下的變動(dòng)特征進(jìn)行建模。

1.1.1 平面的公差建模

如圖1所示，在矩形塊上加工一個(gè)通孔，零件上各個(gè)特征所對(duì)應(yīng)的公差要求已分別進(jìn)行了定義。在給出的公差要求中每個(gè)公差都限制了相應(yīng)特征的變動(dòng)要求，對(duì)零件上表面各個(gè)公差要求進(jìn)行分析，根據(jù)T-Map模型對(duì)平面特征變動(dòng)的表達(dá)，利用新的方法對(duì)該特征進(jìn)行建模。

圖1 零件的GD&T圖紙

當(dāng)特征受到多個(gè)公差限制時(shí)，各個(gè)公差對(duì)變動(dòng)特征的約束相互影響。因此，零件的上表面在尺寸公差約束的下的特征變動(dòng)，將受到形狀公差和定向公差進(jìn)一步的約束，尺寸公差下的模型也將在這些形狀或定向公差的作用下發(fā)生改變。

當(dāng)零件的上表面只受尺寸公差和平行面度公差控制時(shí)，特征的公差域模型如圖2所示。

圖2 平面在尺寸公差和平面度公差下的模型

在模型中，三個(gè)坐標(biāo)軸分別描述了平面特征變動(dòng)時(shí)三個(gè)自由度的變量，各變量的坐標(biāo)值根據(jù)相應(yīng)的坐標(biāo)變換得到。在描述旋轉(zhuǎn)變量的坐標(biāo)軸(σx、σy)中，坐標(biāo)值通過變換不再是角度量，而是一個(gè)與平移變量一樣具有長(zhǎng)度單位的變量。為了利用D-Domain模型的優(yōu)點(diǎn)，在不改變約束方程的條件下，經(jīng)變換得到的坐標(biāo)軸σx和σy用來描述旋轉(zhuǎn)變量。根據(jù)T-Map的建模理論可以得到各變量間的約束方程，如式(1)所示：

(1)

通過映射方程，將平面特征的變動(dòng)一一映射到三維點(diǎn)空間，就可以得到模型中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，從而得到平面受尺寸公差和平面度公差限制時(shí)的公差模型。

當(dāng)零件的上表面受到尺寸公差和平行度公差tA的控制時(shí)，平面的公差域模型如圖3所示。

圖3 平面在尺寸公差和平行度公差下的模型

同樣，當(dāng)平面受到尺寸公差和垂直度公差tC的控制時(shí)，平面的公差域模型將變?yōu)槿鐖D4所示。

圖4 平面在尺寸公差和垂直度公差下的模型

1.1.2 孔特征的公差建模

在矩形零件中加工通孔，特征孔的變動(dòng)受到位置度的約束(圖1)。根據(jù)公差標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)一個(gè)孔受到公差控制時(shí)，它的變動(dòng)區(qū)域是一個(gè)圓柱，其中幾個(gè)具有代表意義的軸線位置可以對(duì)這個(gè)變動(dòng)域進(jìn)行表達(dá)，如圖5所示。

圖5 孔的變動(dòng)域

在變動(dòng)區(qū)域中，σ1、σ2、σ3、σ4和σ5是定義軸線變動(dòng)位置的5條基本直線，σ6、σ7、σ8、σ9是與之對(duì)稱的軸線位置。當(dāng)孔受到位置度公差控制時(shí)，利用與平面建模同樣的方法對(duì)孔的變動(dòng)進(jìn)行描述，得到孔的模型如圖6所示。

圖6 孔在位置度公差下的模型

1.1.3 線輪廓的公差建模

當(dāng)零件的側(cè)面受到圖1所示的線輪廓度公差的控制時(shí)，特征的變動(dòng)域如圖7所示。σ1和σ2表達(dá)輪廓度變動(dòng)最大的區(qū)域，σ12是名義輪廓，σ3、σ6分別是σ12在公差域內(nèi)向右、向左偏移t/2的輪廓，σ4、σ7分別是σ12在公差域內(nèi)向上、向上平移t/2的輪廓，σ5、σ8則分別是σ12在公差域內(nèi)正向、負(fù)向旋轉(zhuǎn)最大角度的輪廓。因此，輪廓度的變動(dòng)可以分別用左右平移(Tx)、上下平移(Ty)和旋轉(zhuǎn)(θ)來表達(dá)，同樣的方法可以得出線輪廓的公差模型，如圖8所示。

圖7 線輪廓的變動(dòng)域

圖8 線輪廓的公差模型

2 公差域內(nèi)變動(dòng)特征的PDF

不同公差控制下的特征，在公差域內(nèi)的變動(dòng)不同。Whitney提出了孔銷裝配和塊槽裝配的變動(dòng)規(guī)律，以及特征在受到不同公差控制時(shí)，裝配體封閉環(huán)的變動(dòng)曲線。根據(jù)設(shè)計(jì)和制造的經(jīng)驗(yàn)以及基于凸包的公差變動(dòng)域建模方法，可以得出特征在公差域范圍內(nèi)的變動(dòng)規(guī)律[19]。在公差域內(nèi)，特征變動(dòng)規(guī)律PDF的求解過程可分為以下幾步：

(1)將基于凸包的特征變動(dòng)模型向二維空間投影，在二維空間中的每個(gè)坐標(biāo)軸代表特征變動(dòng)的每個(gè)小位移旋量；

(2)利用修正的蒙特卡羅方法隨機(jī)得到公差范圍內(nèi)的一個(gè)公差值；

(3)根據(jù)二維空間內(nèi)的投影結(jié)果和得到的隨機(jī)的公差值求出線性方程、重心坐標(biāo)方程和體積方程；

(4)求出在不同公差控制下特征變動(dòng)的PDF。

根據(jù)PDF的求解過程可以把總結(jié)為如圖9所示的流程圖的形式。

圖9 PDF的建模流程

2.1 平面特征的PDF建模

當(dāng)平面只受尺寸公差控制時(shí)，把特征變動(dòng)的凸包模型投影到二維空間上，如圖10所示。特征在公差域內(nèi)變動(dòng)的PDF如式(2)所示。當(dāng)平面進(jìn)一步受到定向公差控制時(shí)，投影結(jié)果如圖11所示，特征變動(dòng)的PDF如式(3)所示。

圖10 尺寸公差下的模型

(2)

圖11 尺寸公差和定向公差下的模型

(3)

2.2 孔特征的PDF建模

根據(jù)同樣的方法，產(chǎn)生的二維投影面如圖12和圖13所示，由此可以分別得到孔特征在只受定位公差以及同時(shí)受到定位和定向公差控制時(shí)的PDF，如式(4)和式(5)所示。

圖12 定位公差下的模型

(4)

圖13 定位公差和定向公差下的模型

(5)

2.3 線輪廓的PDF建模

在線輪廓度約束下的凸包模型向二維空間投影，產(chǎn)生的平面如圖14所示，由同樣的方法可以得到線輪廓控制下的PDF，如式(6)所示。

圖14 線輪廓公差

(6)

δ=a/b,a、b分別輪廓的長(zhǎng)和寬。

3 偏差累積方程建模

基于凸包理論，本文建立了新的偏差累積模型的求解方法，求解步驟如下：

(1)基于節(jié)點(diǎn)基準(zhǔn)鏈的方法求出裝配體上影響封閉環(huán)的關(guān)鍵尺寸鏈，在尺寸鏈中的每個(gè)特征上設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)系，用來確定特征的位置；

(2)確定尺寸鏈中每個(gè)特征的位置后，在各自坐標(biāo)系下構(gòu)建基于凸包理論的公差域模型，并求出每個(gè)變動(dòng)特征的PDF；

(3)根據(jù)修正的蒙特卡羅方法(如圖15)隨機(jī)產(chǎn)生尺寸鏈中每個(gè)公差的隨機(jī)值；

(4)根據(jù)修正的蒙特卡羅方法，求解尺寸鏈中的變換矩陣，如式(7)、式(8)所示，根據(jù)基于凸包理論的公差建模方法，最終得到尺寸鏈的偏差方程，如式(9)所示。

(7)

(8)

TFR-i=TFR-1·DT1-1′·F1·T1′-2·DT2-2′·
F2…T(i-1)′-i·DTi-i′·Fi

(9)

在式(7)～式(9)中，F(xiàn)R代表封閉環(huán)，T(i-1)′-i代表從第i-1個(gè)特征到第i個(gè)特征的坐標(biāo)變換矩陣，DTi-i′是特征公差的小位移旋量矩陣，F(xiàn)i是變動(dòng)特征的PDF，α、β、γ分別是從第i-1個(gè)特征到第i個(gè)特征繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn)角度，U、V、W則分別是從第i-1個(gè)特征到第i個(gè)特征繞x、y、z軸平移的距離，φx、φy、φz是每個(gè)特征公差小位移旋量旋轉(zhuǎn)的分量，p是變動(dòng)特征公差的平移分量，式(9)可以從式(7)、式(8)求出。

圖15 基于LHS和凸包理論的修正蒙特卡羅法

4 敏感度分析

傳統(tǒng)的敏感度分析方法以蒙特卡羅仿真為基礎(chǔ)，是基于點(diǎn)-點(diǎn)的參數(shù)輸入方法。本文利用凸包理論對(duì)這一方法進(jìn)行改進(jìn)，將參數(shù)的輸入由一個(gè)單純的取點(diǎn)過程拓展到一個(gè)取凸包域的過程。把PDF、凸包理論和修正的蒙特卡羅方法結(jié)合起來，對(duì)偏差函數(shù)進(jìn)行敏感度分析，這個(gè)方法的理論基礎(chǔ)是HDMR[22]。偏差函數(shù)如式(10)所示：

y=f(t1,t2…ti,…tn)

(10)

(11)

5 實(shí)例分析

利用MATLABA12.0的仿真優(yōu)化模塊和數(shù)值計(jì)算模塊對(duì)該實(shí)例應(yīng)用本文提出的方法進(jìn)行仿真計(jì)算。Matlab是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)值分析和仿真優(yōu)化軟件，利用Matlab編碼簡(jiǎn)單、內(nèi)涵各種數(shù)學(xué)公式的特點(diǎn)進(jìn)行修正的蒙特卡羅程序的編寫。對(duì)該實(shí)例進(jìn)行計(jì)算的流程圖如圖16所示：

圖16 驗(yàn)證流程

5.1 汽車前大燈子裝配體

如圖17所示，汽車前車燈子裝配體由前大燈 Headlamp(GD&T圖紙見圖19)、轉(zhuǎn)向燈 Turnlamp(GD&T圖紙見圖20)和安裝支架 Bracket (GD&T圖紙見圖21)三個(gè)零件組成，前大燈與轉(zhuǎn)向燈均安裝在安裝支架上。裝配體的功能要求見圖18，前大燈的端面HL_Trimedge與轉(zhuǎn)向燈端面TL_Trimedge間的間隙為關(guān)鍵尺寸，功能尺寸要求為6.5±1.5mm。前大燈Headlamp中三個(gè)銷的臺(tái)階面Headlp_X1、Headlp_X2、Headlp_X3 分別與安裝支架 bracket 上的三個(gè)特征面Bracket_Headlp_X1、Bracket_Headlp_X2、Bracket_Headlp_X3 接觸，兩個(gè)銷軸通過面 Headlp_YZ、Headlp_Z分別與安裝支架上的孔 Bracket_Headlp_YZ、槽Bracket_Headlp_Z 裝配在一起。轉(zhuǎn)向燈turnlamp中三個(gè)銷的臺(tái)階面 Turnlp_X1、Turnlp_X2、Turnlp_X3分別與安 裝支架bracket 上的三個(gè)特征面Bracket_Turnlp_X1、Bracket_Turnlp_X2、Bracket_Turnlp_X3 裝配在一起，銷軸Turnlp_YZ 、 Turnlp_Y分別與安裝支架上的孔Bracket_Turnlp_YZ、Bracket_Turnlp_Y進(jìn)行裝配。該裝配體的偏差累積路徑如圖22所示。

圖17 前車燈裝配體

圖18 車燈功能要求

圖19 Headlamp的 GD&T圖

圖20 Turnlamp 的GD&T圖

圖21 Bracket 的GD&T圖

圖22 基于節(jié)點(diǎn)基準(zhǔn)鏈的偏差路線圖

5.2 模型數(shù)模

在本文中，模型的輸入變量如表1所示。

表1 模型輸入變量

分別對(duì)尺寸鏈中的關(guān)鍵特征進(jìn)行建模，如圖23～圖26所示。

圖23 HL的模型

圖24 B_Headlp_YZ的模型

圖25 B_ Turnlp_YZ的模型

圖26 TL的模型

對(duì)尺寸鏈中各變動(dòng)特征的PDF進(jìn)行建模，得到HL和TL的PDF函數(shù)如下式：

(12)

則B_Headlp_YZ和B_ Turnlp_YZ的PDF函數(shù)為：

(13)

偏差累積方程如式(14)所示：

TG_Ct-TL=TG_Ct-HL·DTHL·THL-Hp_YZ·DTB_Headlp_YZ·THp_YZ-Tp_YZ·

DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·ITG_Ct-HL·THL-TL=TG_Ct-TL

THp_YZ-Tp_YZ·DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·I

(14)

尺寸鏈上變動(dòng)特征的PDF累積函數(shù)如式(15)所示：

(15)

變動(dòng)特征的小位移旋量的約束方程如式(16)所示：

-1≤vi≤1(i=0,3)-0.565≤γ0≤0.565
Vi2+wi2≤0.25(i=1,2)

(16)

對(duì)模型的中間矩陣進(jìn)行總結(jié)，得到表2。

表2 方程的變換矩陣

Contribution式中，SI指的是正弦sin，CS指的是余弦cos。

通過修正的蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真，得到了置信水平為99.73%時(shí)FR(功能要求)的取值，為[5.2401, 8.4475]，F(xiàn)R分布及其取值的PDF函數(shù)曲線如圖27所示。

圖27 FR的分布

尺寸鏈的敏感度分布如圖28所示。

圖28 敏感度分析結(jié)果

通過對(duì)幾種不同方法的計(jì)算和比較，結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法結(jié)果對(duì)比

6 結(jié)論

本文結(jié)合蒙特卡羅仿真、T-Map建模和基于HDMR的敏感度分析方法，提出了一種基于凸包的公差域模型，并得出了以修正的蒙特卡羅仿真為基礎(chǔ)的公差分析方法。與傳統(tǒng)的3D公差分析理論相比，根據(jù)實(shí)例分析流程可知，該模型只需要輸入節(jié)點(diǎn)信息、節(jié)點(diǎn)類型、公差類型、以及基準(zhǔn)之間的關(guān)系，就可以直接得到封閉環(huán)的分析結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了對(duì)基于凸包理論的公差模型進(jìn)行蒙特卡羅仿真分析，并通過將得出的結(jié)果與運(yùn)用閩科夫斯基求和方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步證明了方法的合理性。在對(duì)復(fù)合公差的建模問題上，基準(zhǔn)順序的考慮還不完整，對(duì)公差域變動(dòng)特征PDF的建模也還需要在下一步進(jìn)一步改善。

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(編輯 李秀敏)

A New Method of Tolerance Analysis Model Based on Convex Hull for 3D Assembly

ZHANG Geng-nan,YANG Zhi-hong, LI Qi-sheng ,YU Kui-gang,HUANG He-fu,LI Na

(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Ministry of Education, School of Mechanical Engieering, Shandong University, Jinan 250061, China)

We propose a methodology in this study for the analysis and optimization of assembly tolerances. A tolerance zone model is developed based on convex hull, which is the basis of the tolerance-map (T-map) and deviation-domain (D-domain). Instead of point-based model for tolerance analysis, the model is conducted for domain reflecting true 3D tolerance zones and geometric variations, which is in accordance with the ASME and ISO standards. In a control frame, the probability density function (PDF) of a variant feature in the tolerance zone combined with the Monte Carlo method for tolerance analysis, a new approach to assembly tolerance analysis is carried out. A 3D case has been performed to demonstrate the new tolerance zone model and the new approach to tolerance analysis.

convex hull; tolerance analysis; tolerance modeling; Monte-Carlo method

1001-2265(2017)08-0014-07

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.004

2016-09-22；

2016-12-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(51375277)

張庚楠(1990—)，女，山東菏澤人，山東大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)楣罱＃?E-mail)qisheng6@163.com;通訊作者：楊志宏(1970—)，女，回族，山東菏澤人，山東大學(xué)教授，研究方向?yàn)榫婀芾恚?E-mail)yangzhihong@sdu.edu.cn。

TH161;TG506

A