正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)

郭怡冰 苑文法 龐永峰

(1. 三峽大學(xué) 科技學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710055)

正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)

郭怡冰1苑文法2龐永峰2

(1. 三峽大學(xué) 科技學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710055)

本文主要討論了正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)問(wèn)題，即對(duì)正則的正實(shí)部函數(shù)，從已知的三階，四階導(dǎo)數(shù)估計(jì)式，利用歸納法原理及正則的正實(shí)部函數(shù)的性質(zhì)推出n階導(dǎo)數(shù)的一般估計(jì)式．

正實(shí)部函數(shù)； 正則函數(shù)； 導(dǎo)數(shù)； 估計(jì)

對(duì)于有界正則函數(shù)族B={φ(z)|φ(z)=c+c1z+…+cnzn+…，且|φ(z)|<1}中的函數(shù)，有熟知的經(jīng)典不等式

潘一飛、廖孝中[1]對(duì)此類函數(shù)族進(jìn)行了研究，得到二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)式如下：

設(shè)φ(z)=c0+c1z+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且|φ(z)|<1，則

并由此得到，正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)式：

苑文法[2]將正則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)推到三階和四階，并由此苑文法[3]將正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

估計(jì)推到三階和四階，得到

|g(4)(z)|≤

苑文法[4]將有界正則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)式推廣到一般(n階)的估計(jì)表達(dá)式，

本文的目的是對(duì)正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)做進(jìn)一步的研究，推出正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的估計(jì)式．從而將導(dǎo)數(shù)估計(jì)的問(wèn)題，從特殊推廣到一般．

主要結(jié)果：

定理 設(shè)g(z)=a0+a1z+…+anzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且Reg(z)>0，則

在證明定理之前，引入和證明下面的幾個(gè)引理．

引理1[5]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，|φ(z)|<1，則

成立．其中|s|<1，g0=φ(z)

引理2[5]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，|φ(z)|<1，則

成立．

引理3 若g(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且Reg(z)>0．則

成立．

證明：考慮函數(shù)

由于正實(shí)部函數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)滿足：

|an|≤2Re{a0}

故有關(guān)系

|G(n)(0)|≤2n！Reg(z)

由引理1，有

則

2n！Reg(z)(n≥1)

利用引理2和三角不等式，并令v=n-j，則有

所以引理3得證．

為證明的簡(jiǎn)單化，用歸納法來(lái)證明定理：

證明：當(dāng)n=1時(shí)，有I(1，0)=1，得

所以，定理成立；

當(dāng)n=2時(shí)，I(2，1)=I(1，0)=1，I(2，0)=1，得

所以，定理成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，估計(jì)式成立，即有

下證n=k+1的情形，考慮函數(shù)

并對(duì)其求n階導(dǎo)數(shù)，令s=0，由引理3可得

將式(5)代入式(6)，得

即

故定理得證，即式(1)成立．

從而解決了正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)問(wèn)題．

[1] 潘一飛，廖孝中．關(guān)于有界函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[J]．江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),1984(1)：21-24．

[2] 苑文法，溫金環(huán)．關(guān)于有界函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的估計(jì)[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001,17(4)：358-362．

[3] 苑文法，王玉英，潘智民．正則的正實(shí)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004,20(3)：225-227．

[4] 苑文法．有界正則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志,2001,21(3)：301-303．

[5] 龔 升．關(guān)于M?bius變換的一點(diǎn)注記(一)[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1985,1(1)：1-15．

[6] Shaffer D B． On Bounds for the Derivative of Analytic Functions[J]．Proc. Amer. Math. Soc., 1973，37(2)：517-520．

[責(zé)任編輯 王迎春]

Estimation of Derivatives forRegular PositiveReal Part Functions

Guo Yibing1Yuan Wenfa2Pang Yongfeng2

(1. College of Science & Technology, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China; 2. College of Science, Xi'an Univ. of Architecture & Technology, Xi'an 710055, China)

The problem of estimating the nth derivative of regular positive real part functions:g(z)=c0+c1z+…+cnzn+…, which are regular in |z|<1 and Reg(z)>0, is discussed. With the principle of inductive method and the characters of regular positive real part functions, an estimation formula of the nth derivative for the functions is presented.

regular positively real part function; regular function； derivatives; estimation

2016-05-04

陜西省自然科學(xué)基金(2014JM1010)

郭怡冰(1983-)，女，碩士，講師，主要研究方向?yàn)閹缀魏瘮?shù)論．E-mail：670069604@qq.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.023

O174

A

1672-948X(2017)04-0110-03