水流沖不走乒乓球現(xiàn)象的研究

高志華，閆 妍，申 燕，孫媛媛,孫迎春

(1.東北師范大學(xué) 物理學(xué)院 物理學(xué)國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，吉林 長春 130024;2.岳池中學(xué)，四川 廣安 638300;3.長春職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 長春130033)

水流沖不走乒乓球現(xiàn)象的研究

高志華1，閆 妍1，申 燕2，孫媛媛3,孫迎春1

(1.東北師范大學(xué) 物理學(xué)院 物理學(xué)國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，吉林 長春 130024;2.岳池中學(xué)，四川 廣安 638300;3.長春職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 長春130033)

對水流沖不走乒乓球現(xiàn)象中水流流量、漏斗開口角度、乒乓球質(zhì)量對實(shí)驗(yàn)成功率的影響進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)研究. 利用伯努利方程建模分析表明：乒乓球上下表面水流速度差引起壓力差是產(chǎn)生此現(xiàn)象的主要因素. 理論分析和實(shí)驗(yàn)測量均表明:水流量越大、漏斗的開口角度越小水流托起的乒乓球質(zhì)量越大，實(shí)驗(yàn)成功率越高. 保證實(shí)驗(yàn)成功率的實(shí)驗(yàn)最佳條件為：水流量大于40 L/h，漏斗的開口角度在30°～45°，采用正常輕質(zhì)的乒乓球.

伯努利原理；流體力學(xué)；壓力差

伯努利原理是流體動力學(xué)問題中的基本原理，應(yīng)用非常廣泛，如飛機(jī)的升力、汽油發(fā)動機(jī)的汽化器、噴霧器等[1]. 不僅如此，很多生活現(xiàn)象也遵循伯努利原理，如急速行駛的汽車、火車等會把附近的物體吸向它們，旋轉(zhuǎn)的足球可以改變運(yùn)動軌跡成為“香蕉球”[2]，旋轉(zhuǎn)的乒乓球可以增加接球的難度，等等. 因此，理解、掌握和應(yīng)用該原理解決實(shí)際問題對大學(xué)生具有重要的意義. 本文通過對水流沖不走乒乓球現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象統(tǒng)計,對各影響因素進(jìn)行了理論定量的分析研究，展示了利用該原理定性和半定量分析日常生活現(xiàn)象的方法.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 伯努利方程

不可壓縮的理想流體做定常流動時滿足伯努利原理. 如圖1[2]所示，在密度為ρ的流體中任取一流管，流管在高度為h1和h2處的橫截面積分別為S1和S2，設(shè)流體微元ab在S1和S2處的速度分別為v1和v2，流體微元從位置1運(yùn)動到位置2過程中，機(jī)械能守恒. 于是有[3]

(1)

圖1 理想流體

式中p為流體內(nèi)壓強(qiáng)，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

1.2 沿漏斗壁流動水流的壓強(qiáng)

實(shí)驗(yàn)在常溫(T=20 ℃)、常壓下(p=1.01×105Pa)進(jìn)行,所用自來水的黏度很小(η=1.003×10-6m2/s)，因此水流動時體積變化可忽略，實(shí)驗(yàn)過程中水流可視為理想流體.

實(shí)驗(yàn)漏斗剖面圖如圖2所示，設(shè)漏斗頸半徑為r1，漏斗的開口角度為α，漏斗的深度為h.

圖2 漏斗剖面圖

v1S1=v2S2.

(2)

(a)

(b)圖3 沖不走乒乓球的水流示意圖

水層截圖如圖3(b)所示，令乒乓球(半徑為r)與漏斗壁的距離即水層厚度為L，水流的橫截面積為S2=2πrLcosα，水流速度為v2，則單位時間流量為

V=v2S2=2πrLv2,

(3)

根據(jù)式(2)得水流通過S2的流速度v2為

(4)

由于實(shí)驗(yàn)中流過乒乓球下半表面的水流速很小，可近似認(rèn)為0. 由于乒乓球直徑較小，可忽略S2處到乒乓球最低點(diǎn)的高度差和速度差. 對乒乓球下表面水流有

p0+ρgh3=c,

(5)

對乒乓球上表面水流有

(6)

取流經(jīng)乒乓球上、下半球面的流線計算壓強(qiáng)差有

(7)

此壓強(qiáng)差為乒乓球提供了向上的托力使其不被水沖走.

2 乒乓球受力分析與模擬研究

2.1 受力分析

由圖3(a)可知乒乓球受力包括:水流到乒乓球后速度由豎直變?yōu)樗綄ζ古仪蚴┘酉蛳碌臎_力，水流在乒乓球上下表面流速不同引起向上的壓力差，水層表面張力對乒乓球產(chǎn)生向上的吸引力，乒乓球上部封住的水的重力對球施加向下的壓力.

由圖3(a)可知乒乓球上、下表面壓力差的有效作用面積可近似認(rèn)為上下相同，為

Sh=πr′2,

(8)

式中r′=rcosα為乒乓球與漏斗壁相切圓的半徑. 由式(7)可得水流動引起的乒乓球上下表面壓力差為

(9)

水流由上向下沖到乒乓球后，速度改變?yōu)檠厮椒较?，因此施加給乒乓球向下的沖力. 水沖到乒乓球上部的速度為

則水流給乒乓球的沖力為

(10)

水流下時在漏斗壁與乒乓球之間形成了水膜，由此水膜對乒乓球上表面處產(chǎn)生表面張力，形成對乒乓球向上拉力為

f3=α2πr′,

(11)

式中α為水的表面張力系數(shù)，取室溫為20 ℃，則α=72×10-3N·m-1.

如圖4所示，當(dāng)乒乓球被托起時，有水被封在漏斗中，對乒乓球形成向下的壓力為

f4=ρgV′,

(12)

式中ρ為水的密度，V′為被封住的水的體積，且為

(13)

圖4 漏斗中存水體積

(14)

能夠托起的乒乓球質(zhì)量m與F的關(guān)系為

m≤F/g.

(15)

2.2 模擬研究

由式(15)得水流量與托起乒乓球質(zhì)量的關(guān)系和漏斗開口角度與托起乒乓球質(zhì)量關(guān)系，如圖5和圖6所示. 圖中質(zhì)量為負(fù)值說明該參量下無法托起乒乓球.

圖5 托起乒乓球質(zhì)量與流量的關(guān)系

圖6 托起乒乓球質(zhì)量與漏斗開口角度關(guān)系

圖5表明：漏斗開角一定、流量一定時水流能夠托起的乒乓球質(zhì)量隨流量增加而增加，漏斗開角越大而能夠托起乒乓球質(zhì)量增加越小. 當(dāng)水流較小時，漏斗開角越大托起的乒乓球質(zhì)量越大，通過理論計算可知，此時開角小的漏斗中封閉的水質(zhì)量較大. 正常的乒乓球質(zhì)量約為3 g，根據(jù)理論計算可知，水流量為20 L/h時托不起乒乓球.

圖6表明：流量較小(20 L/h)時，能夠被托起的乒乓球質(zhì)量隨漏斗開角增大而增加；當(dāng)水流量較大(120 L/h)時，能夠被托起的乒乓球質(zhì)量隨漏斗開角增大而迅速減少. 對于特定的角度，能托起的乒乓球質(zhì)量隨水流量增加而增大，當(dāng)漏斗開角較大(60°)時，能夠托起的乒乓球質(zhì)量較小.

3 實(shí)驗(yàn)測量及分析

實(shí)驗(yàn)使用LZB-10型號玻璃轉(zhuǎn)子流量計(測量范圍20～160 L/h)測量水流量，連接漏斗、流量計和自來水龍頭的軟管內(nèi)徑為8 mm，采用漏斗均為塑料材質(zhì)；流量計和漏斗采用鐵架臺固定，實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示.

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)利用6個半徑為19 mm的不同質(zhì)量乒乓球、5種漏斗開口角度、5種水流量進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試，6個乒乓球編號為1～6，相應(yīng)質(zhì)量分別為2.29,3.10,4.57,6.04,7.46,11.03 g. 漏斗開口角度分別為23.8°,30°,36.6°,45°,60°. 水流量分別為20,40,80,120,160 L/h.

實(shí)驗(yàn)時將漏斗開口向下豎直固定，水流量由流量計讀出，水流調(diào)好之后，將乒乓球放入漏斗底部進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如果乒乓球能夠在2 min之內(nèi)不下落，視為實(shí)驗(yàn)成功.

3.1 水流速、漏斗開口角度、質(zhì)量對實(shí)驗(yàn)的影響

分別對6種質(zhì)量乒乓球在不同水流量和漏斗不同開口角度情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對每種條件重復(fù)40次操作，統(tǒng)計乒乓球保持托起的成功概率p，結(jié)果表1所示.

表1 水沖不走的乒乓球?qū)嶒?yàn)統(tǒng)計

表1表明:漏斗開口角度α越大，實(shí)驗(yàn)成功率越低；乒乓球的質(zhì)量越小、水流量越大，實(shí)驗(yàn)成功率越大. 在漏斗開角一定的情況下，水流速度越大能夠托起的乒乓球質(zhì)量越大. 在漏斗開角一定時，乒乓球上部封住的水的質(zhì)量一定，球與水層接觸的面積很接近，因而表面張力幾乎不變，此時，水流速度越大乒乓球上下表面的壓力差越大，因而，托起的乒乓球質(zhì)量越大.

水流量一定時，隨著漏斗開口角度α增加，保持被托起狀態(tài)的乒乓球質(zhì)量m減小. 隨著漏斗的開口角度的增加，乒乓球與漏斗壁之間水層接觸面積減小，使得球上下表面產(chǎn)生壓力差減小，同時表面張力也減小，水對球的沖力保持不變，從而最終導(dǎo)致對乒乓球的托力減小. 當(dāng)漏斗開口角度較小(23.8°)時，流量為20 L/h的水流不能托起乒乓球的原因主要是乒乓球上部被封住的水質(zhì)量過大，而此時水流產(chǎn)生的上下表面壓力差又過小所導(dǎo)致. 漏斗開口角度在30°～45°時，實(shí)驗(yàn)可在較大的乒乓球質(zhì)量和水流量范圍內(nèi)保證成功.

綜上所述，保證乒乓球被托起的漏斗開角在30°～45°較為合適；水流量大于40 L/h較為合適，乒乓球質(zhì)量越小越好.

3.2 質(zhì)量、漏斗開口角度及水流量對實(shí)驗(yàn)成功概率的影響

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)選取質(zhì)量分別為2.29 g和6.04 g的2只乒乓球在不同漏斗開口角度和水流量條件進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)成功率統(tǒng)計研究，每種條件下重復(fù)實(shí)驗(yàn)40次，結(jié)果如圖8所示.

(a)m=2.09 g

(b)m=6.04 g圖8 漏斗開口角度對實(shí)驗(yàn)成功率影響

由圖8可知，當(dāng)水流量小于40 L/h時，實(shí)驗(yàn)成功率低且結(jié)果波動很大. 由圖6可知，當(dāng)水流量小于40 L/h時，能夠托起的乒乓球質(zhì)量較小，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果對條件敏感、不穩(wěn)定，成功率很低且波動大. 實(shí)驗(yàn)表明:隨水流量增加實(shí)驗(yàn)成功率增加，這與理論預(yù)測(圖5)中水流能夠托起的乒乓球質(zhì)量隨水流量增大而增加的結(jié)果是相吻合的.

漏斗開口角度對實(shí)驗(yàn)成功率影響很大，開口角越大，成功率越低，結(jié)果穩(wěn)定性越差，尤其當(dāng)水流量較小時更明顯. 這與模擬結(jié)果(圖5)中隨漏斗開口角度增大托起的乒乓球質(zhì)量減小相一致.

相同條件下，乒乓球質(zhì)量也影響實(shí)驗(yàn)的成功率. 比較圖8(a)和(b)可知，實(shí)驗(yàn)使用小質(zhì)量的乒乓球更容易成功，且實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象穩(wěn)定. 結(jié)果表明：當(dāng)選用質(zhì)量小的乒乓球?qū)嶒?yàn)時，水流量大于40 L/h、漏斗開口角度在30°～45°之間，可以保證較好的實(shí)驗(yàn)成功率，這與理論模擬結(jié)果(圖5)相一致.

總之，理論與實(shí)驗(yàn)都表明：乒乓球質(zhì)量、水流量、漏斗開角都會對實(shí)驗(yàn)成功率造成影響，其中水流量對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的影響最為嚴(yán)重，當(dāng)水流量大于40 L/h時，只要選擇正常乒乓球使用開角小于45°的漏斗都可以保證實(shí)驗(yàn)的成功率.

3.3 說 明

1)在建立模型過程中考慮了由伯努利原理引起的乒乓球上下表面壓力差、水流對乒乓球的沖力、乒乓球封住的水的重力以及水膜表面張力對乒乓球的吸引力，其中，乒乓球上下表面壓力差和水流對乒乓球的沖力對實(shí)驗(yàn)的影響較大，所以實(shí)驗(yàn)時需要考慮水流量和漏斗的開口角度.

2)模擬結(jié)果中有些條件可托起的乒乓球質(zhì)量較大，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)能夠托起的乒乓球質(zhì)量并不能達(dá)到理論預(yù)測的值，這是由于理論建模時水層厚度取為1 mm，而實(shí)際流量增大時水層厚度會超過該數(shù)值，導(dǎo)致水表面張力不能維持乒乓球封住其上部的水，使得乒乓球掉落. 實(shí)驗(yàn)過程中漏斗中乒乓球上部會有部分空氣被封在內(nèi)，也會導(dǎo)致托起乒乓球的質(zhì)量減小. 另外，實(shí)驗(yàn)采用自來水的流量受到同一管道上其他閥的開、關(guān)影響，也使流量測量不準(zhǔn)確，影響測量的準(zhǔn)確性.

4 結(jié)束語

利用伯努利方程對水沖不走的乒乓球現(xiàn)象進(jìn)行建模，通過實(shí)驗(yàn)研究了乒乓球質(zhì)量、水流量、漏斗開口角度對實(shí)驗(yàn)成功率的影響. 理論模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，得到了保證實(shí)驗(yàn)成功的實(shí)驗(yàn)條件：乒乓球質(zhì)量小于4.57 g,漏斗開口角度在30°～45°，水流量大于40 L/h.

[1] 陳燕黎. 伯努利方程的原理及運(yùn)用淺析[J]. 漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2012，11(2)：87-88.

[2] 趙昌友. 伯努利方程及其應(yīng)用[J]. 池州學(xué)院學(xué)報,2014,28(6):48-49.

[3] 漆安慎，杜嬋英. 普通物理學(xué)教程·力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社，1997：354.

[4] 康良溪. 伯努利原理實(shí)驗(yàn)集錦[J]. 福建教育學(xué)院學(xué)報，2004(6)：93-96.

[5] 楊述武，趙立竹，沈國土. 普通物理實(shí)驗(yàn)(力學(xué)、熱學(xué)部分)[M]. 4版. 北京:高等教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Ping-pong ball in an inverted funnel

GAO Zhi-hua1, YAN Yan1, SHEN Yan2, SUN Yuan-yuan3, SUN Ying-chun1

(1. National Demonstration Center for Experimental Physics Education,School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China;2. Yuechi Middle School, Guang’an 638300, China;3. Changchun Vocational Institute of Technology, Changchun 130033， China)

Based on Bernoulli principle, this paper studied quantitatively the phenomenon that a ping-pong ball in an inverted funnel would remain attached to the funnel when water flowed through the neck. The experimental results showed that when keeping the flux rate of the water constant, the ping-pong ball could stay in the funnel when the opening angle of the funnel was between 30° ～ 45°. When keeping the funnel angle constant, the maximum mass of the ball before falling increased with the flux rate of the water. And the probability of keeping the ping-pong ball stay in the funnel increased with the flux rate of the water. The simulation results agreed with that of the experiments.

Bernoulli principle; fluid mechanics; pressure difference

2016-07-20；修改日期：2016-12-24

“東師教學(xué)學(xué)術(shù)研究支持計劃”教師教學(xué)發(fā)展基金項(xiàng)目(No.15B2XZJ001,No.15B1XZJ015);高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)研究項(xiàng)目(No.01-201601-46)

高志華(1972-)，女，山東平度人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院講師，碩士，主要從事普通物理理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)及研究.

O351.2

A

1005-4642(2017)06-0014-05