脈沖擾動(dòng)下微分系統(tǒng)的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性

曲本鑫，奚雷雷，申建華

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

脈沖擾動(dòng)下微分系統(tǒng)的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性

曲本鑫，奚雷雷，申建華

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

對(duì)于脈沖微分系統(tǒng)的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性給出了一個(gè)新的、更廣泛的判定定理，突出了脈沖效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵影響，并給出例子進(jìn)一步說明了所得結(jié)果.

混合動(dòng)力系統(tǒng)；李雅普諾夫函數(shù)；弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性；脈沖微分系統(tǒng)

1 引言和預(yù)備知識(shí)

脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時(shí)突變現(xiàn)象，在現(xiàn)代科技各領(lǐng)域的實(shí)際問題中是普遍存在的，其數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng). 近30年來，脈沖微分方程理論的研究受到較廣泛的關(guān)注，已經(jīng)形成較完整的體系并得到了深入的發(fā)展. 關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)的定性理論(穩(wěn)定性、周期性、有界性、振動(dòng)性等)受到普遍重視，是脈沖微分方程理論中一個(gè)很重要的課題.

文[1]提出弱指數(shù)穩(wěn)定的概念，推廣了指數(shù)漸近穩(wěn)定的概念，可用于更好地刻劃解趨于零的速度.對(duì)于脈沖微分方程的穩(wěn)定性問題，已有不少研究[2-4]，但對(duì)脈沖微分方程的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性的研究不多. 本文在文[5]關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性的判定定理上進(jìn)一步推廣，使得定理適應(yīng)的范圍更大.

R表示實(shí)數(shù)集，R+=[0,)，Rn表示n維歐氏空間. N+是正整數(shù)集合.

定義 1[6]設(shè)A?X，T?R+，對(duì)任意固定的a∈A，t0∈T，稱映射p為運(yùn)動(dòng)，若滿足p(·,a,t0):Ta,t0→X，p(t0,a,t0)=a，其中Ta,t0=[t0,t1)∩T，t1>t0，t1是有限數(shù)或無窮大.

定義2[6]設(shè)S是一族運(yùn)動(dòng)，即S?{p(·,a,t0)∈Λ:p(t0,a,t0)=a}，其中Λ=∪(a,t0)∈A×T{Ta,t0×{a}×{t0}→X}，并且Ta,t0×{a}×{t0}→X代表一個(gè)從Ta,t0×{a}×{t0}到X的映射，于是稱{T,X,A,S}為一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).

定義3[7]設(shè){T,X,A,S}是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，則稱集合M?A是對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)S的不變集合，如果a∈M，對(duì)所有t∈Ta,t0，t0∈T和p(·,a,t0)∈S使得p(t,a,t0)∈M. 特別地，當(dāng)M={x0}，其中x0∈A，則稱x0為平衡點(diǎn).

定義 4[7]設(shè){T,X,A,S}是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，M?A是S的一個(gè)不變集合. 假設(shè)λ(s)∈K，α>0是一個(gè)常數(shù). 對(duì)任意ε>0，t0∈T，存在δ=δ(ε,t0)>0，對(duì)所有的t∈Ta,t0，p(·,a,t0)∈S，當(dāng)d(a,M)<δ時(shí)，有d(p(t,a,t0),M)≤ε，則稱(S,M)是穩(wěn)定的；進(jìn)一步地，如果(S,M)是穩(wěn)定的且對(duì)任意t0∈T，存在ξ=ξ(t0)>0，對(duì)所有的p(·,a,t0)∈S，當(dāng)d(a,M)<ξ時(shí)，有λ(d(p(t,a,t0),M))≤εe-α(t-t0)，則稱(S,M)是弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的. 有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)λ(s)的作用，也稱為λ型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定，α稱為指數(shù)，λ(s)稱為型或指數(shù)α的吸引階.

考察下列形式的脈沖微分系統(tǒng)

(1)

其中，x∈X=Rn代表狀態(tài)且f∈C[R×Rn,Rn]對(duì)x滿足利普希茨條件以保證系統(tǒng)(1)在滿足給定的初值條件時(shí)解的存在性和唯一性. 集合E={θ1,θ2,…:θ1<θ2<…}?R+是R+一個(gè)無界、閉的離散子集，它代表了跳躍發(fā)生的時(shí)刻的集合，Ji:Rn→Rn代表時(shí)刻θi時(shí)狀態(tài)的改變.需要指出的是，一般情況下集合E依賴于一個(gè)確定的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于不同的運(yùn)動(dòng)相關(guān)的集合E一般是不同的. 函數(shù)φ:[θ0,)→Rn是系統(tǒng)(1)的解如果滿足：1)對(duì)某個(gè)θ0≥0，φ(t)在[θ0,)是左連續(xù)的；2)φ(t)在[θ0,)與E的補(bǔ)集上是可微的并且導(dǎo)數(shù)為f(φ(t),t)；3)對(duì)任意t=θi∈E，φ(t+)=lims→t,s>tφ(s)=φ(t)+Ji(φ(t)). 通篇文章將使用這個(gè)記號(hào).

如果對(duì)系統(tǒng)(1)，假設(shè)f(t,0)=0，t∈R+且Ji(0)=0，i∈N+，則x=0是一個(gè)平衡點(diǎn).

定義 5[5]設(shè)V:R+×Rn→R+，稱V屬于V0類的，若V(t,x)滿足

2)V關(guān)于x滿足局部利普希茨條件.

定義6[5]設(shè)函數(shù)V∈V0，則V沿著系統(tǒng)(1)的解x(t)的右上導(dǎo)數(shù)記作

命題1[5]設(shè)存在K類函數(shù)u(s)，w(s)及V0類函數(shù)V(t,x)使

2)D+V(t,x(t))≤cVm(t,x(t))，t≠θi，i∈N+，這里c>0，m≥1.

則當(dāng)m=1時(shí)，系統(tǒng)(1)的零解為u型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的；當(dāng)m>1時(shí)，系統(tǒng)(1)的零解為λ型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的，這里λ(s)=exp[-u1-m(s)].

命題1給出了系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)x=0的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)存在K類函數(shù)u(s)，w(s)及V0類函數(shù)V(t,x)以及常數(shù)m∈R，0<ρ<γ使

2)當(dāng)m≥1時(shí)，D+V(t,x(t))≤c(t)Vm(t,x(t))；當(dāng)m<1時(shí)，D+V(t,x(t))≤c(t)Vm-2(t,x(t))，這里c(t)≤ρ，t≠θi，i∈N+.

則當(dāng)m=1時(shí)，(1)的零解為u型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的；當(dāng)m>1時(shí)，(1)的零解為λ型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的，這里λ(s)=exp[-u1-m(s)]；當(dāng)m<1時(shí)，(1)的零解為λ型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的，這里λ(s)=exp[-um-1(s)].

證明 Ⅰ 考慮m=1的情形.

取γ1>0，使γ>γ1>ρ，由條件3)知存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有

(2)

(3)

記α1=γ1-ρ，則α1>0. 當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，2)知

(4)

由條件1)，式(3)及(4)知

(5)

當(dāng)t∈(θ1,θ2]，由條件2)，3)，式(4)及(5)得

(6)

由條件1)，式(3)和(6)知

(7)

類似可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，有

(8)

當(dāng)t∈(θN,θN+1]，由條件2)，3)和式(8)得

(9)

由式(2)，(3)和(9)得

M1exp[ρ(θN+1-θN)]exp[-γ1(θN+1-θN)]≤M1exp[-α1(θN+1-θN)]≤M1≤u(H1)，

(10)

用歸納法可證得：對(duì)自然數(shù)n=N+1,N+2,…，當(dāng)t∈(θn-1,θn]時(shí)，有

(11)

當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，式(3)和(4)得

(12)

當(dāng)t∈(θ1,θ2]時(shí)，由條件1)，式(3)和(6)得

(13)

類似地可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，

(14)

當(dāng)t∈(θn-1,θn] ，n=N+1,N+2,…時(shí)，由條件1)，式(2)，(3)和(11)得

εexp[-γ1(θN-θ0)]exp[ρ(t-θ0)-γ1(θn-θN)]≤εexp[-α1(t-θ0)].

(15)

Ⅱ 考慮m>1的情形.

(16)

(17)

記α2=(m-1)(γ2-ρ)，則α2>0且(1-m)ρ=α2+(1-m)γ2.

當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，2)知

(18)

由條件1)，式(17)及(18)知

(19)

當(dāng)t∈(θ1,θ2]，由條件2)，3)和式(18)得

(20)

由條件1)，式(17)和(20)知，

(21)

類似可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，有

(22)

當(dāng)t∈(θN,θN+1]，由條件2)，3)和式(22)得

(23)

由條件1)，式(16)，(17)和(23)得

(24)

用歸納法可證得：對(duì)自然數(shù)n=N+1,N+2,…，當(dāng)t∈(θn-1,θn]時(shí)，有

(25)

因此，由式(23)和(25)得，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，有

(26)

當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，式(17)和(18)得

exp[-M2-α2(t-θ0)≤εexp[-α2(t-θ0)].

(27)

類似地可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，由條件1)，式(17)和(26)得

exp[-M2-α2(t-θ0)]≤εexp[-α2(t-θ0)].

(28)

當(dāng)t∈(θn-1,θn] ，n=N+1,N+2,…時(shí)，由條件1)，式(16)，(17)和(26)得

exp[-M2-α2(t-θ0)]≤εexp[-α2(t-θ0)].

(29)

Ⅲ 考慮m<1的情形.

(30)

(31)

記α3=(1-m)(γ3-ρ)，則α3>0且(m-1)ρ=α3+(m-1)γ3.

當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，2)知

(32)

由條件1)，式(31)及(32)知

(33)

當(dāng)t∈(θ1,θ2]，由條件2)，3)和式(32)得

(34)

由條件1)，式(31)和(34)知，

(35)

類似可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，有

(36)

當(dāng)t∈(θN,θN+1]，由條件2)，3)和式(36)得

(37)

由條件1)，式(30)，(31)和(37)得

(38)

用歸納法可證得：對(duì)自然數(shù)n=N+1,N+2,…，當(dāng)t∈(θn-1,θn]時(shí)，有

(39)

因此，由式(36)，(39)得，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…時(shí)，有

(40)

當(dāng)t∈[θ0,θ1]時(shí)，由條件1)，式(31)，(32)得

exp[-M3-α3(t-θ0)≤εexp[-α3(t-θ0)].

(41)

類似地可證，當(dāng)t∈(θn-1,θn]，n=2,3,…,N時(shí)，由條件1)，式(31)和(40)得

exp[-M3-α3(t-θ0)]≤εexp[-α3(t-θ0)].

(42)

當(dāng)t∈(θn-1,θn] ，n=N+1,N+2,…時(shí)，由條件1)，式(30)，(31)和(40)得

exp[-M3-α3(t-θ0)]≤εexp[-α3(t-θ0)].

(43)

注1 容易看到，定理1條件3)中的di>γ(θi+1-θi)可以用下面更方便驗(yàn)證的條件來代替：

圖1 系統(tǒng)(44)的數(shù)值模擬 Fig.1 Numerical simulation of system(44)

3 舉例應(yīng)用

例題1 考慮系統(tǒng)

(44)

當(dāng)t∈[i-1,i)時(shí)，

(45)

(46)

則式(46)滿足定理1中的條件3). 因此，系統(tǒng)(44)是λ型弱指數(shù)漸近穩(wěn)定的.

[1] 溫立志，夏華興．泛函微分方程的弱指數(shù)漸近穩(wěn)定性[J]．中國(guó)科學(xué)A輯，1992，22(3)：235-242．

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Weak Exponential Asymptotic Stability for Impulsive Differential Equations

QU Benxin, XI Leilei, SHEN Jianhua

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

A new and broader decision theorem for the weak exponential asymptotic stability of differential equations with impulsive effects is established. And the notable effect of impulse upon the stability of a system is stressed. An example is also discussed to illustrate the results.

hybrid dynamical system; Lyapunov function; weak exponential asymptotic stability; impulsive differential system

2016-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11571088)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY14A010024).

申建華(1961—)，男，教授，博士，主要從事常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究．E-mail：jianhuashen2013@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.003

O19；O175 MSC2010:34D20；93D20

A

1674-232X(2017)04-0353-07