幾類特殊的積分因子求法

張嘉煒

摘 要：積分因子法是求解常微分方程的一種重要的辦法，本文先簡單介紹了只跟 或者 有關的兩類積分因子，接著介紹了幾類特殊方程，如伯努利方程，齊次方程， 為特殊多項式的方程的積分因子，以及其計算方法。

關鍵詞：積分因子 為特殊多項式的方程 伯努利方程 齊次方程

一、兩種常見的積分因子

如果存在連續(xù)可微的函數(shù) ，使得

為一恰當微分方程，即存在函數(shù) ，使 ，則稱 為方程（1） 的積分因子。

這時 是方程（1）的通解。通過解上述方程求積分因子一般較為困難，但在幾種特殊情況下，比較容易。對于方程 ，如果存在只與 有關的積分因子 ，則 ，這時方程（2）變?yōu)?即

由此可知，方程（1）有只與 有關的積分因子的充要條件是

方程（2）的一個積分因子為 ，（2）只與 有關的積分因子的充要條件以及相應的積分因子同理可得。

二、 為特殊多項式時的積分因子

例1：

解：原式= 顯然， ， 不是只關于 或 的函數(shù)，因此無法用一般方法求積分因子。注意到 為多項式，設積分因子

則

將 ， 看作新的 ，記作

注意到若可以使 ，則新的積分因子為1，總得積分因子即為

則 成立需要滿足的條件為 解得， ，則積分因子 ，代入原方程可得 ， ，方程解為

注意到此方法要求新的 求偏導數(shù)以后除系數(shù)不同外，其他對應相同，即需滿足

，（ 表示等式兩邊只有對應的系數(shù)不同）即 ，當 中 的次數(shù)相同時，一定滿足此方法的條件。

三、伯努利方程的積分因子：

形如： 的方程，稱為伯努利微分方程，這里 為 的連續(xù)函數(shù)， 是常數(shù)。查閱資料發(fā)現(xiàn)，要求伯努利方程的積分因子，需要先證明以下定理：

1.假定方程（1） 中的函數(shù) 滿足 ，其中 ， 分別為 的連續(xù)函數(shù)，則方程（1）有積分因子

證明：用 同時乘以方程（1）的兩端，則（3）

得出

又由于 ，故 ，所以方程（3）為全微分方程，故 是方程一的積分因子。即

故 ， ，取 ，則滿足關系式 ，得積分因子為 。

參考文獻

[1]王高雄.常微分方程[M].第三版.高等教育出版社.北京.2006.7.

[2]李廣偉.典型方程的積分因子的解法[D].大連理工大學.2010.endprint