自主選擇構(gòu)造命題 嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范推理證明

鄧厚波

蘇科版《數(shù)學(xué)》教材第166頁“探索研究”第12題，給出三個(gè)條件，要求我們用兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，另一個(gè)事項(xiàng)作為結(jié)構(gòu)，構(gòu)造1～3個(gè)命題，并判斷和證明命題的真假.這類習(xí)題在各級(jí)考試中比較常見，應(yīng)對(duì)這類考題的關(guān)鍵是先在草稿上構(gòu)造真命題，然后貫通思路，再嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范書寫推理證明.下面我們舉例關(guān)注這類問題.

例1 如下圖，有三個(gè)論斷：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，請(qǐng)從中任選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)命題，并證明該命題的正確性.

【解析】（方法1）已知∠B=∠D，∠A=∠C，證明∠1=∠2.

證明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD.

∴∠B=∠BFC.

∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D.

∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.

∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2.

（方法2）已知∠B=∠D，∠1=∠2，證明∠A=∠C.證明過程略.

（方法3）已知∠1=∠2，∠A=∠C，證明∠B=∠D.證明過程略.

例2 如右圖所示，已知AB∥CD，分別探究下面圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關(guān)系，請(qǐng)你從四個(gè)圖形中任選一個(gè)，說明你所探究的結(jié)論的正確性.

（1）結(jié)論：① ；② ；

③ ；④ ；

（2）選擇結(jié)論 ，說明理由.

圖3 圖4

【解析】（1）①如圖1，過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，

∴∠1+∠PAB=180°，

∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

②如圖2，過點(diǎn)P作直線PE∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

③如圖3，∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD.

∵∠PEB是△APE的外角，

∴∠PEB=∠PAB+∠APC，

∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

④如圖4，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角，

∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

∴∠PAB=∠APC+∠PCD.

（2）選擇結(jié)論①，證明同上.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）