基于統(tǒng)計(jì)收斂意義下的Stolz定理的研究

林麗華，曾劍守

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

基于統(tǒng)計(jì)收斂意義下的Stolz定理的研究

林麗華，曾劍守

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

利用數(shù)列的經(jīng)典收斂與統(tǒng)計(jì)收斂的極限理論，給出了在經(jīng)典收斂意義下的Stolz定理逆命題成立的條件，并得出了在統(tǒng)計(jì)收斂意義下數(shù)列｝數(shù)列斂散性的關(guān)系。

經(jīng)典收斂；統(tǒng)計(jì)收斂；Stolz定理

1951年，H.Fast[1]給出了統(tǒng)計(jì)收斂的定義之后，它就成為人們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，不斷有學(xué)者對(duì)統(tǒng)計(jì)收斂做出進(jìn)一步的研究和探討，出現(xiàn)了一系列相關(guān)的文章。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)收斂已經(jīng)形成了一個(gè)龐大的理論體系，各種各樣的統(tǒng)計(jì)收斂多達(dá)幾十種。如1985年，J.Fridy[2]定義了與通常Cauchy列平行的統(tǒng)計(jì)Cauchy列和統(tǒng)計(jì)有界序列。1988年，J.Maddox[3]將統(tǒng)計(jì)收斂的研究領(lǐng)域進(jìn)一步推廣到局部凸空間中。J.Connor，M.ganichew和V.kadets[4]在Bancah空間中類似地給出了統(tǒng)計(jì)收斂與弱統(tǒng)計(jì)收斂的定義。M.Mursaleen和H.H.O.Edely[5]介紹了雙序列統(tǒng)計(jì)收斂的概念。2005年，Richard，Pattersont和Ekrem Savas[6]介紹了雙序列雙Lacunary統(tǒng)計(jì)收斂等等。藍(lán)永藝研究了Banach空間中的統(tǒng)計(jì)收斂，得到了有界序列統(tǒng)計(jì)收斂必平均收斂，統(tǒng)計(jì)收斂必μ-統(tǒng)計(jì)收斂等結(jié)論[7]。劉軍霞等研究了隨機(jī)變量的收斂性，給出了統(tǒng)計(jì)收斂a.s.、統(tǒng)計(jì)依概率收斂概念[8]。程立新等研究了統(tǒng)計(jì)收斂的測(cè)度理論，證明了每個(gè)有限可加概率測(cè)度都可以唯一的分解為一個(gè)可數(shù)可加概率測(cè)度和一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)度，并證明了每個(gè)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)測(cè)度都是連續(xù)型的等結(jié)論[9]。鞏增泰、張璐引入模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計(jì)收斂，一致統(tǒng)計(jì)收斂，等度統(tǒng)計(jì)收斂等概念，并討論了它們之間的相互關(guān)系以及其水平截函數(shù)之間的關(guān)系；以及得到測(cè)度有限的情況下，模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計(jì)收斂的Egorov定理和勒貝格定理[10]。程立新與鮑玲鑫給出了統(tǒng)計(jì)測(cè)度與統(tǒng)計(jì)收斂中最為一般的收斂形式——理想收斂之間的關(guān)系[11]。林麗華與鮑玲鑫利用幾何泛函分析和Banach空間理論，討論了Banach空間中統(tǒng)計(jì)測(cè)度收斂與超濾子收斂的關(guān)系[12]。鮑鈴鑫與官明友針對(duì)Lacunary統(tǒng)計(jì)收斂與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)收斂的相容性問(wèn)題,利用統(tǒng)計(jì)測(cè)度理論給出了Lacunary統(tǒng)計(jì)收斂與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)收斂等價(jià)的充要條件[13]。雖然統(tǒng)計(jì)收斂已經(jīng)得到了廣泛的討論和研究，但統(tǒng)計(jì)收斂理論同經(jīng)典收斂理論相比，其基本理論尚未完全建立，有許多內(nèi)容值得進(jìn)一步去研究。

在經(jīng)典收斂中，Stolz定理在研究數(shù)列極限的存在性與求極限這兩個(gè)核心問(wèn)題，起著很大的作用，張麗婭通過(guò)幾個(gè)實(shí)例介紹了如何利用Stolz定理求解一些特殊的極限問(wèn)題，并指了利用Stolz定理時(shí)注意的條件[14]；黃濤、申方給出并證明了Stolz定理的推廣形式，并說(shuō)明了推廣形式的Stolz定理在證明L'Hospital法則、求待定型數(shù)列的極限、研究具有非線性遞推關(guān)系數(shù)列的漸近性等方面的應(yīng)用[15]；王少英、劉文菡研究了Stolz定理的證明方法，并將Stolz定理推廣到函數(shù)極限的形式[16]。因此，如果在統(tǒng)計(jì)收斂意義下也有相應(yīng)的Stolz定理，那么將為討論數(shù)列是否統(tǒng)計(jì)收斂提供了一種新方法，因此，本文研究Stolz定理在統(tǒng)計(jì)收斂中的推廣。

1 統(tǒng)計(jì)收斂定義及性質(zhì)

為了行文與讀者閱讀的方便，先給出本文中常見(jiàn)的符號(hào)說(shuō)明。

A#表示集合A的勢(shì)；N+表示正整數(shù)集；｛xnk｝表示數(shù)列 ｛xn｝的子列。定義1[1]對(duì)于給定數(shù)列｛xn｝，l是一個(gè)常數(shù)。 如果對(duì)于?ε＞0，都有

則稱數(shù)列xn｛｝統(tǒng)計(jì)收斂于l，記為，有時(shí)記為 xn→l（s） （n→∞）。

下面給出統(tǒng)計(jì)無(wú)窮大量的概念。

定義2對(duì)于給定數(shù)列xn｛｝，如果對(duì)?G＞0，都有

則稱數(shù)列xn｛｝統(tǒng)計(jì)無(wú)窮大，記為

可知對(duì)?ε＞0，?N∈N+,當(dāng) n＞N 時(shí)，有| xn-l|＜ε，從而即證畢。

定理 2[17]數(shù)列{xn}統(tǒng)計(jì)收斂于 a 當(dāng)且僅當(dāng)存在 K={k1，k2，…，kn，…}?N+使得

容易證明，對(duì)于統(tǒng)計(jì)收斂有著與經(jīng)典收斂相類似的四則運(yùn)算性質(zhì)，即

定理3[17]若則，其中 b≠0。

下面給出經(jīng)典收斂中的Stolz定理。

2 Stolz定理

定理4（Stolz定理）[18]若yn｛｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且（其中l(wèi)可以為有限數(shù),+∞ 與-∞），則

對(duì)Stolz定理的兩點(diǎn)說(shuō)明。

注意到Stolz定理的逆命題不成立，例如取xn（-1)n，yn=n，則yn｛｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且，但結(jié)合數(shù)列yn｛｝的特征，補(bǔ)充數(shù)列｝是一有界數(shù)列的條件，則由的結(jié)論，即定理5。

定理5設(shè)yn｛｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且存在一個(gè)N0∈N+，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有

因此

將上式同時(shí)除以yn-yn-1，可得

由已知條件當(dāng)n＞N0時(shí)，有，從而，當(dāng) n＞N0時(shí)，有，于是，取 N=max{N0，N1}∈N+，當(dāng) n＞N 時(shí)，有

3 統(tǒng)計(jì)收斂意義下的 Stolz定理

由上述的定理5（Stolz定理），結(jié)合定義2容易得出如下結(jié)論。

定理6設(shè)yn｛｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且（其中l(wèi)可以為有限數(shù),+∞與

于是由定理 2 知，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+使得，其中。因此，對(duì)?ε＞0，存在 nN?N*，使?nk＞nN，有成立，因此可得，

由于｛yn｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量,因此｛ynk｝也是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，此時(shí)不妨設(shè) ynN＞0，于是

將上式不兩邊同除以ynk，得到

又 ｛ynk｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，而yn是數(shù)列 ｛ynk｝中一確定的項(xiàng)，故當(dāng)k充分大時(shí)，有N從而

同理，由 ｛ynk｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，xn是數(shù)列 ｛xnk｝中一確定的項(xiàng)，故當(dāng)k充分大時(shí)，有從而有

淑芬錫伯風(fēng)情農(nóng)家樂(lè)由當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶于2013年創(chuàng)辦，是察布查爾縣孫扎齊鄉(xiāng)眾多農(nóng)家樂(lè)的一個(gè)縮影。該農(nóng)家樂(lè)地處錫伯民俗博物館旁，很多游客參觀完博物館時(shí)都會(huì)來(lái)到這里感受錫伯族的特色農(nóng)家小院。

這就證明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+，使得

因此?ε＞0，有

即有

注意到在統(tǒng)計(jì)收斂意義下，Stolz定理的逆命題也是不成立的。如取數(shù)列：

定理8設(shè)yn｛｝是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且存在一個(gè)N0∈N+,使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有，其中 M∈（0,1），則當(dāng)（其中 l可以為有限數(shù)，+∞ 與-∞），有

又由已知條件當(dāng)n＞N0時(shí)，有，M∈（0,1），從而，當(dāng) n＞N0時(shí)，有

于是，取 N=max{N0，nN}∈N+，當(dāng) n＞N 時(shí)，有

這就證明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+，使得

［1］ FAST H．Surle convergence statistical［J］．Colloqium Mathematicum，1951，2（3）：241－244．

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［8］ 劉軍霞，劉衛(wèi)軍，林正嚴(yán)．隨機(jī)變量的收斂性［J］．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，34（2）：132－135．

［9］ 程立新，藍(lán)永藝，林國(guó)琛，等．統(tǒng)計(jì)收斂的測(cè)度理論［J］．中國(guó)科學(xué)，2008，38（4）：450－468．

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［11］ BAOLX，CHENGLX．Onstatixticalmeasuretheory［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，407：413－424．

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［13］ 鮑玲鑫，官明友．統(tǒng)計(jì)收斂與 Lacunary 統(tǒng)計(jì)收斂［J］．福州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，43（6）：742－745．

［14］ 張麗婭．Stolz 定理的巧用［J］．天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，28（2）：4－5．

［15］ 黃濤，申方．Stolz 定理的相關(guān)問(wèn)題及應(yīng)用探討［J］．天中學(xué)刊，2008，23（5）：12－15．

［16］ 王少英，劉文菡．Stolz 定理的證明和推廣［J］．新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，26（4）：11－12．

［17］ SALAT T．On statistically convergent sequences of real numbers［J］．Math Slovaca，1980，30（2）：139－150．

［18］ 陳紀(jì)修，於崇華，金路．?dāng)?shù)學(xué)分析［M］．北京：高等教育出版社，2004：34－51．

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Study of the Stolz Theorem on the Statistical Convergence

LIN Li-hua,ZENG Jian-shou
(School of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004,China）

By using the limit theory of classical convergence and statistical convergence,the condition of converse proposition about Stolz theorem in classical convergence is given,and the relationship of convergence and divergence between｝in the statistical convergence is obtained.

classical convergence；statistical convergence； stolz theorem

O171

A

1673-4343（2017）04-0001-07

10．14098 ／j．cn35－1288 ／z．2017．04．001

2017-02-08

三明學(xué)院科研基金項(xiàng)目（B08231Q）；三明學(xué)院教改項(xiàng)目（L1208/G)

林麗華，女，福建沙縣人，副教授。主要研究方向：Banach空間理論。