基于Matlab PDETOOL的滲流力學(xué)可視化教學(xué)與上機(jī)實(shí)驗(yàn)

蘇關(guān)東， 顧 勛， 趙蘭苓， 孫德永， 韓貝宇， 陳林輝

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京) a.石油工程學(xué)院； b.理學(xué)院,北京 102249；2.新疆醫(yī)科大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,烏魯木齊 830011)

基于Matlab PDETOOL的滲流力學(xué)可視化教學(xué)與上機(jī)實(shí)驗(yàn)

蘇關(guān)東1a， 顧 勛1a， 趙蘭苓1b， 孫德永1a， 韓貝宇1a， 陳林輝2

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京) a.石油工程學(xué)院； b.理學(xué)院,北京 102249；2.新疆醫(yī)科大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,烏魯木齊 830011)

為提高滲流力學(xué)的課堂效率，針對(duì)滲流力學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)及其在教學(xué)實(shí)踐中普遍存在的問(wèn)題，提出了將MatlabPDE工具箱引入課堂的教學(xué)方法：介紹了利用Matlab中的PDE工具箱(PDETOOL)對(duì)滲流力學(xué)中經(jīng)典數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的方法和步驟，歸納了常見(jiàn)的油氣滲流數(shù)學(xué)模型和邊界條件，并利用PDETOOL對(duì)滲流力學(xué)中一源一匯、兩源兩匯、穩(wěn)定滲流、彈性不穩(wěn)定滲流等經(jīng)典的模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，實(shí)現(xiàn)了各經(jīng)典滲流模型壓力場(chǎng)、流場(chǎng)的可視化，有利于幫助學(xué)生理解流函數(shù)、壓力波、導(dǎo)壓系數(shù)等抽象概念，加深學(xué)生對(duì)壓力波傳播，不穩(wěn)定滲流壓力衰竭等抽象過(guò)程的感性認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生上課的興趣和熱情；同時(shí)提出了在滲流力學(xué)教學(xué)過(guò)程中增設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教學(xué)建議，充分發(fā)揮可視化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，為數(shù)值模擬、油藏工程等課程打基礎(chǔ)，使學(xué)生對(duì)石油工程整個(gè)專業(yè)的知識(shí)體系產(chǎn)生宏觀的認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)質(zhì)量。

PDE工具箱； 滲流力學(xué)； 偏微分方程； 數(shù)值模擬； 可視化； 教學(xué)

0 引 言

滲流力學(xué)(fluid flow in porous media)是研究流體在多孔介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科，是流體力學(xué)的一個(gè)重要分支[1], 主要研究油氣水等在巖石這種多孔介質(zhì)中的流動(dòng)規(guī)律以及血液在毛細(xì)血管及微毛細(xì)血管網(wǎng)絡(luò)中的流動(dòng)規(guī)律。石油工程專業(yè)，滲流力學(xué)課程屬于專業(yè)主干課和專業(yè)基礎(chǔ)課，這門課程主要研究地下油、氣、水及其混合物在地層中的流動(dòng)規(guī)律[1-2]，它在石油工程專業(yè)課程體系中處于承上啟下的重要地位，類似于材料力學(xué)在土木工程專業(yè)知識(shí)體系中的地位，它以高等數(shù)學(xué)、油層物理等課程為基礎(chǔ)，同時(shí)又為油藏工程、采油工程、數(shù)值模擬等課程提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

滲流力學(xué)對(duì)石油工程專業(yè)知識(shí)體系而言，其重要性毋庸置疑，但是它的教學(xué)難度也不可忽視：從研究對(duì)象來(lái)看，由于滲流力學(xué)所研究的油氣水賦存于地下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)法觀察，使得學(xué)生缺乏對(duì)滲流的形象認(rèn)識(shí)；從研究手段來(lái)看，滲流力學(xué)主要以歐拉方法(場(chǎng)論)來(lái)描述地下油氣水的運(yùn)動(dòng)，以微分方程為數(shù)學(xué)工具對(duì)地下油氣水的流動(dòng)進(jìn)行研究，因?yàn)槲⒎址匠汤碚摫旧砭途哂幸欢ǖ膶W(xué)習(xí)難度，使得滲流力學(xué)的學(xué)習(xí)難上加難，以至于滲流力學(xué)課程具有理論性強(qiáng)、邏輯性嚴(yán)密、公式多等特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)了教師教學(xué)難、學(xué)生學(xué)習(xí)效果差等教學(xué)現(xiàn)狀[3]。

PDETOOL是Matlab中一個(gè)基于有限元方法求解偏微分方程的工具箱，由于其具有操作簡(jiǎn)便，可視化效果好，而被廣泛用于熱傳導(dǎo)[4-5]、油氣管道集輸[6]、煤層氣擴(kuò)散[7]、電磁場(chǎng)[8]、應(yīng)力場(chǎng)[8-11]、地下水滲流[12]等領(lǐng)域的數(shù)值模擬。本文將其運(yùn)用到滲流力學(xué)的教學(xué)中，不僅可有針對(duì)性地從教學(xué)方法和教學(xué)手段上解決目前滲流力學(xué)教學(xué)實(shí)踐中普遍存在的問(wèn)題，同時(shí)還可以開(kāi)闊學(xué)生在本專業(yè)的知識(shí)面，培養(yǎng)研究型人才。

在教學(xué)形式上， 教師不僅可以在課堂上展示可視化仿真結(jié)果，還可以根據(jù)課時(shí)安排，以上機(jī)實(shí)驗(yàn)或者課后大作業(yè)的形式進(jìn)行仿真可視化教學(xué)，增加學(xué)生對(duì)仿真過(guò)程的體驗(yàn)，以期達(dá)到最好的教學(xué)效果。

1 基于PDETOOL的偏微分方程的解法

偏微分方程數(shù)學(xué)模型包括：四類偏微分方程模型和兩類邊界條件。這四類偏微分方程分別是橢圓型(Elliptic)、拋物型(Parabolic)、雙曲型(Hyperbolic)，本征值方程(Eigenmodes)，其中雙曲型偏微分方程和拋物型偏微分方程涉及到時(shí)間變量，可用于動(dòng)態(tài)的數(shù)值模擬；兩類邊界條件包括：狄里克雷邊界條件(Dirichlet)和諾曼邊界條件(Neumann)，偏微分方程模型及其邊界條件的基本形式歸納如表1所示[6,13-15]

表1 偏微分方程基本類型及邊界條件

解偏微分方程的方法主要有3類[4]，包括：有限差分法、有限元法和譜方法。其中，使用有限元法時(shí)可以直接利用MATLAB中的PDE工具箱(PDETOOL)進(jìn)行求解，操作簡(jiǎn)單易學(xué)，可視化效果好，運(yùn)用在教學(xué)中有利于幫助學(xué)生理解各種抽象的滲流場(chǎng)，激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

2 油氣滲流的數(shù)學(xué)模型

流體在多孔介質(zhì)中的滲流按照流體的壓力場(chǎng)是否隨時(shí)間變化可以分為兩大類：穩(wěn)定滲流和非穩(wěn)定滲流，分別對(duì)應(yīng)不同的微分方程數(shù)學(xué)模型，它們的基本形式和在Matlab PDETOOL中的參數(shù)設(shè)置及模型的適用條件歸納如表2所示[16-17]。表2中p,K,μ,Ct,t分別為壓力、滲透率、黏度、綜合彈性系數(shù)和時(shí)間。對(duì)于具體的問(wèn)題還需要知道邊界條件和初始條件才可以得到偏微分方程的解。

油藏的邊界條件分為兩類：外邊界條件和內(nèi)邊界條件，外邊界條件指的是處于油藏外部，一般由地質(zhì)作用形成的邊界所滿足的水力學(xué)條件，由油藏的成藏過(guò)程決定，主要分為供給邊界和封閉邊界；而內(nèi)邊界條件指的是在油藏內(nèi)部、一般由人工鉆井而形成的邊界所滿足的水動(dòng)力學(xué)條件，由生產(chǎn)制度決定，可分為定壓邊界條件和定產(chǎn)邊界條件。外邊界的數(shù)學(xué)表達(dá)形式以及其對(duì)應(yīng)的地質(zhì)條件和內(nèi)邊界的數(shù)學(xué)表達(dá)形式及其對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)制度如表3所示。表3中pe,pw,A,Q分別為供給壓力，井底流壓，滲流截面積和產(chǎn)量。

表2 滲流力學(xué)的數(shù)學(xué)模型

表3 滲流力學(xué)數(shù)學(xué)模型的邊界條件

根據(jù)滲流力學(xué)的基本模型，結(jié)合Matlab PDE工具箱的功能特性，并借鑒文獻(xiàn)[6-12]所用的相關(guān)方法，設(shè)計(jì)流程框圖，得到利用PDE工具箱解滲流數(shù)學(xué)模型的流程圖，如圖1所示。

圖1 PED工具箱解滲流數(shù)學(xué)模型流程圖

3 算 例

算例部分通過(guò)3個(gè)典型的案例，進(jìn)一步介紹使用PDETOOL求解二位滲流場(chǎng)的方法，同時(shí)為教師課堂教學(xué)實(shí)踐提供教案參考。這3個(gè)經(jīng)典案例分別是：一源一匯、兩匯、水平井開(kāi)發(fā)油藏滲流模型，無(wú)解析解的滲流模型，五點(diǎn)井網(wǎng)法開(kāi)發(fā)油藏動(dòng)態(tài)模型。

3.1 經(jīng)典穩(wěn)定滲流場(chǎng)數(shù)值模擬

算例1 如圖3所示，一均質(zhì)地層供給邊界為半徑1 000 m的圓(可近似看作無(wú)限大地層)，在距離圓心400 m處，以圓的直徑為對(duì)稱軸，打兩口井，分別求出兩口井都是生產(chǎn)井(兩匯)時(shí)，以及一注一采(一源一匯)時(shí)的壓力分布。用水平井段為1 000 m的水平井生產(chǎn)壓力分布又如何？

解 用一源一匯、兩匯、水平井3種方式生產(chǎn)油藏的壓力分布圖分別如圖2～4所示。

由圖2(b)可見(jiàn)：在注水井和生產(chǎn)井處分別產(chǎn)生一個(gè)高壓峰和低壓谷，對(duì)應(yīng)圖2中流線由注水井指向生產(chǎn)井；圖2(a)中，在近井地帶，等壓線較密，壓力梯度大，與圖2(b)對(duì)應(yīng)，可見(jiàn)近井地帶的壓力漏斗，根據(jù)達(dá)西定律可推斷兩井中心的連線流量最大，為主流線所在的位置，對(duì)應(yīng)圖2(b)中明顯可見(jiàn)：兩井連線的中軸線上的壓力分布與外邊界的供給壓力一致，因而可等效為供給邊界；在油藏的外圍等壓線較疏，壓力梯度較小，對(duì)應(yīng)圖2(b)中的壓力坡降平緩，甚至幾乎沒(méi)有明顯變化。

(a)

(b)

由圖3(b)可知，與以一源一匯的方式相比，當(dāng)以兩匯的方式生產(chǎn)時(shí)，同樣可見(jiàn)壓力漏斗，不同的是出現(xiàn)了兩個(gè)低壓谷，同時(shí)在兩井連線的中軸線上，出現(xiàn)了一個(gè)極值點(diǎn)(高壓中心)，此時(shí)在該點(diǎn)附近的流體由于壓力相對(duì)較低，勢(shì)能相對(duì)較小而無(wú)法跨越該點(diǎn)，從一口生產(chǎn)井流向另一口生產(chǎn)井，因而使該中軸線成為分流線，等效于斷層，對(duì)應(yīng)圖3(a)中的中軸線附近的流線只沿著中軸線流動(dòng)而無(wú)法穿越中軸線，而處于該點(diǎn)的流體也因此無(wú)法被采出而形成死油點(diǎn)。

同時(shí)，通過(guò)圖2、圖3的對(duì)比可以看出：在一源一匯、一注一采情況下，壓力場(chǎng)是以兩井連線的中垂線為中心對(duì)稱軸，中心對(duì)稱分布的；而在兩匯的情況下，壓力場(chǎng)是以兩井連線的中垂線為對(duì)稱軸，軸對(duì)稱分布的。這也是在滲流力學(xué)中，用鏡像原理來(lái)求解滲流數(shù)學(xué)模型的事實(shí)依據(jù)。

由圖4與圖3對(duì)比可知，采用水平井生產(chǎn)時(shí)，井壁與油藏的接觸面積增大，藍(lán)色部分的低壓中心區(qū)域面積明顯擴(kuò)大，即泄油面積擴(kuò)大，從而增大了單井產(chǎn)量；同時(shí)，低壓區(qū)的擴(kuò)大也可以解釋當(dāng)水平井作為注入井時(shí)，相對(duì)于直井具有較低的注入壓力的原因。

(a)

(b)

(a)

(b)

3.2 無(wú)解析解的穩(wěn)定滲流場(chǎng)數(shù)值模擬

算例2 如圖5(a)所示，在一個(gè)水平無(wú)限大的均質(zhì)等厚地層中， 直線斷層邊界和直線供給邊界夾角約為60°，對(duì)稱于兩個(gè)邊界位置上有一口生產(chǎn)井，生產(chǎn)井距離直線斷層的距離約為200 m，泄油區(qū)供給半徑re為5 km，井半徑rw為0.1 m，供給邊界上壓力pe為20.0 MPa，井底流壓pw為4.0 MPa，地層滲透率K=0.8 μm2,地層厚度h=10 m，液體黏度μ=4 mPa·s，求地層壓力場(chǎng)及流場(chǎng)分布。

(a) (b)

圖5 油藏地質(zhì)模型及其鏡像原理解法示意圖

解法1(鏡像原理)

根據(jù)鏡像原理：以封閉邊界(斷層)為對(duì)稱軸作的井為同號(hào)井，以供給邊界為對(duì)稱軸作的井為異號(hào)井(正號(hào)井為生產(chǎn)井，負(fù)號(hào)井為注水井)，按順時(shí)針?lè)较蛞来巫鲧R像井，結(jié)果如圖5(b)所示，1號(hào)井(生產(chǎn)井)按順時(shí)針鏡像得到的2號(hào)井為注水井，而按照順時(shí)針鏡像得到的2號(hào)井應(yīng)該為生產(chǎn)井，自相矛盾，說(shuō)明鏡像原理——用于求解壓力分布解析解的方法在這種情況下不適用，即該微分方程在此邊界條件下沒(méi)有解析解。

通過(guò)本例，教師即可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解析方法在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中的不足，同時(shí)還可以順勢(shì)簡(jiǎn)單地介紹一下油藏?cái)?shù)值模擬這門課程的基本任務(wù)和基本方法以及常用的油藏?cái)?shù)值模擬軟件例如：Eclipse，CMG等，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能使課堂的內(nèi)容更貼近生產(chǎn)實(shí)際，還可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)油藏?cái)?shù)值模擬這門課程時(shí)更加容易接受；在教學(xué)安排上，教師既可以將本例在課堂上用解法2演示一遍，也可以提供基本的思路將本題布置成作業(yè)，供學(xué)生課后探究。

解法2(用Matlab的PDETOOL進(jìn)行求解)

按照題中給出的已知條件設(shè)置PDE參數(shù)，并將得到的數(shù)值解可視化如圖6所示。由圖6(a)可見(jiàn)，供給邊界與流線垂直，與等壓線和等勢(shì)線相切(平行)，說(shuō)明供給邊界為流體提供地下滲流的能量，“推”著流體向井口運(yùn)動(dòng)；而封閉邊界則與流線相切(平行)，與等勢(shì)線等壓線垂直，說(shuō)明流體只能夠貼著封閉邊界運(yùn)動(dòng)而不能穿過(guò)封閉邊界；同時(shí)，封閉邊界垂直截?cái)嗟葎?shì)線也說(shuō)明了壓力波無(wú)法穿透封閉邊界，這也是流體無(wú)法穿過(guò)封閉邊界的動(dòng)力學(xué)原因。

(a)

(b)

近井地帶的等壓線比較緊密，遠(yuǎn)井地帶的等壓線比較稀疏，說(shuō)明在生產(chǎn)井附近，壓力下降較快，生產(chǎn)井對(duì)近井地帶的壓力場(chǎng)影響較大，對(duì)應(yīng)圖6(b)中可見(jiàn)壓力漏斗。

3.3 不穩(wěn)定滲流場(chǎng)數(shù)值模擬

算例3(五點(diǎn)井網(wǎng)法) 如圖7(a)所示，有一足夠大水平均質(zhì)油藏(可視為無(wú)限的地層)，以五點(diǎn)井網(wǎng)法對(duì)其進(jìn)行開(kāi)發(fā)，注水井壓力pe=10.0 MPa，生產(chǎn)井井底流壓為pw=7.5 MPa，油井半徑rw=0.1 m，地層厚度h=5 m，滲透率K=1 μm2，黏度μ=4 mPa·s，注水開(kāi)發(fā)周期為T，求該過(guò)程中地層壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)分布？

解 為了對(duì)油藏滲流模型進(jìn)行求解，從井網(wǎng)中選取一個(gè)小單元[18]，如圖7(b)所示。

圖7 五點(diǎn)井網(wǎng)及其單元示意圖

由圖8可知，隨著時(shí)間的推移，,注水井處的壓力波緩慢向采油井方向傳遞，高壓中心擴(kuò)散；采油井附近，隨著地下油的采出對(duì)油藏泄壓，低壓中心向四周擴(kuò)散。隨著時(shí)間增長(zhǎng)，壓力波推進(jìn)的速度越來(lái)越慢，最后幾乎靜止，達(dá)到準(zhǔn)靜態(tài)(擬穩(wěn)態(tài))。在最終驅(qū)替完畢時(shí)，在兩井中軸線中心的區(qū)域壓力值不變，這就是賦存剩余油的死油區(qū)(見(jiàn)圖8(c))，此時(shí)應(yīng)當(dāng)調(diào)整注采關(guān)系(注采井網(wǎng))以提高波及效率，從而提高采收率。

(c) t=T

圖8 五點(diǎn)井網(wǎng)單元開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)圖

本例很好地展示了油藏開(kāi)發(fā)從非穩(wěn)態(tài)階段到擬穩(wěn)態(tài)階段的過(guò)程，同時(shí)又和油藏工程數(shù)值模擬緊密聯(lián)系，有利于學(xué)生理解油氣田開(kāi)發(fā)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

特別說(shuō)明：由于PDETOOL本身的不完善性，在教學(xué)實(shí)踐中大可不必嚴(yán)格拘泥于物理模型和數(shù)值模型的幾何比例關(guān)系，可以為了達(dá)到較好的可視化效果而對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

4 結(jié)論與展望

(1) 歸納總結(jié)了用Matlab自帶的PDE工具箱對(duì)偏微分方程的求解方法和基本流程以及常見(jiàn)的油氣滲流數(shù)學(xué)模型及邊界條件。

(2) 用PDETOOL對(duì)滲流力學(xué)中經(jīng)典的一源一匯，兩匯，水平井等滲流模型以及五點(diǎn)井網(wǎng)法開(kāi)發(fā)油藏的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，有利于加深學(xué)生對(duì)滲流力學(xué)理論的理解，同時(shí)為教師課堂教學(xué)實(shí)踐提供教案參考。

(3) 提出了相關(guān)的教學(xué)建議：除了在課堂上演示滲流場(chǎng)的可視化過(guò)程外，還可以在滲流力學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，根據(jù)具體情況，增設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，既可以上機(jī)實(shí)驗(yàn)課的形式進(jìn)行， 也可以課后報(bào)告的形式進(jìn)行，豐富課堂形式，使學(xué)生投入到可視化教學(xué)的體驗(yàn)中，以充分發(fā)揮可視化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。

(4) 將PDE工具箱引入滲流力學(xué)的教學(xué)，不僅有利于學(xué)生對(duì)抽象的滲流理論產(chǎn)生形象化的認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)質(zhì)量；同時(shí)有利于學(xué)生提前了解油藏工程、數(shù)值模擬等課程，對(duì)石油工程專業(yè)知識(shí)體系有全面的認(rèn)識(shí)，提高畢業(yè)生的質(zhì)量。

致謝 感謝中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院滲流力學(xué)本科教研組的支持與幫助。衷心感謝中國(guó)石油大學(xué)(北京)理學(xué)院趙蘭苓老師的指導(dǎo)以及在論文修改上的幫助。特別感謝中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院龐占喜老師、涂斌老師和李春蘭老師給予的幫助。特別感謝中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院隋微波老師、朱舟元老師和東曉虎老師提供的部分圖片。衷心感謝中國(guó)石油大學(xué)(北京)鄭力會(huì)教授、張鵬教授給予的鼓勵(lì)。

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Visual Teaching and Computer-based Experiment of Fluid Flow in Porous Media with PDETOOL of Matlab

SU Guandong1a， GU Xun1a， ZHAO Lanling1b， SUN Deyong1a， HAN Beiyu1a， CHEN Linhui2

(1a. College of Petroleum Engineering, 1b. College of Science, China University of Petroleum (Beijing), Beijing 102249 China; 2. School of Basic Medical Sciences，Xinjiang Medical University, Urumqi 830011 China)

In order to improve the classroom efficiency and the teaching quality of the course of fluid flow in porous media, the teaching method of introducing Matlab PDETOOL into the classroom is put forward, and the method and steps to solve the classical mathematical model in fluid flow in porous media with the PDE toolbox in Matlab are introduced, according to the characteristics of the subject of fluid flow in porous media and the problems in teaching practice. The PDETOOL is used to simulate the classical models of fluid flow in porous media such as source-sink, source-sink, steady-flow, and elastic-unsteady flow in porous media. It helps students understand the abstract concepts of stream function, pressure wave and conductivity coefficient, enhances students’ perceptual knowledge of the process of the propagation of pressure wave and unsteady flow in porous media. At the same time, it is suggested to add computer-based experiment to the teaching process of fluid flow in porous media. On conclusion, this study will lay a foundation for the course of numerical simulation and reservoir engineering, so that the students will have a macroscopic understanding of the whole knowledge system of petroleum engineering.

PDETOOL; fluid flow in porous media; partial differential equations; numerical simulation; visualization; teaching

2016-11-22

國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃支持項(xiàng)目(201611414019);中國(guó)石油大學(xué)基礎(chǔ)研究基金(2462015YQ0604)

蘇關(guān)東(1995-)，男，廣東湛江人，本科生。

Tel.：18801322091;E-mail：su_gd@qq.com

趙蘭苓(1977-)，女，山東泰安人，博士，講師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)、復(fù)雜流體建模與計(jì)算。

Tel.：010-89731993；E-mail：zllblue@163.com

TE 312; O 242.1

A

1006-7167(2017)08-0137-06