黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線峰值點(diǎn)的數(shù)值方法

杜瑞鋒, 裴向軍, 張曉超, 常志璐, 崔雪婷

(1. 成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610059；2. 內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 呼和浩特 010070)

黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線峰值點(diǎn)的數(shù)值方法

杜瑞鋒1,2, 裴向軍1, 張曉超1, 常志璐1, 崔雪婷1

(1. 成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610059；2. 內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 呼和浩特 010070)

擊實(shí)試驗(yàn)是衡量實(shí)際施工中土體被壓實(shí)或夯實(shí)到最優(yōu)程度的室內(nèi)指導(dǎo)性試驗(yàn)，對(duì)土木工程的抗壓、抗剪、抗?jié)B等性能有重要意義。在探討擊實(shí)試驗(yàn)中的密度、含水量、干密度在數(shù)學(xué)及土力學(xué)意義的空間圖形關(guān)系基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)值分析原理并采用分段三次多項(xiàng)式插值方法，自編Matlab程序，有效、快捷地確定擊實(shí)曲線峰值點(diǎn)以及繪制成果曲線，克服了應(yīng)用“圖解法”的不準(zhǔn)確性和不方便性。該方法可應(yīng)用于不同地區(qū)的黃土擊實(shí)試驗(yàn)中，效果良好。

擊實(shí)試驗(yàn)； 圖解法； 峰值點(diǎn)； 數(shù)值方法

0 引 言

擊實(shí)試驗(yàn)是土木工程中的基本土工試驗(yàn)之一，試驗(yàn)?zāi)康脑谟诖_定土體在某一擊實(shí)功下的最優(yōu)含水率和最大干密度，用于評(píng)價(jià)建筑地基土、路基土、擋土墻回填土等的壓實(shí)或夯實(shí)質(zhì)量，對(duì)土體的抗壓、抗剪、抗?jié)B等性能有重要意義[1-2]。因此，擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性對(duì)工程建設(shè)方、施工方、監(jiān)理方等單位都是重要的、敏感性的指標(biāo)。

多數(shù)研究者從擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果的影響因素、如何提高試驗(yàn)結(jié)果的精確度以及不同類型土的擊實(shí)特性等方面進(jìn)行探討[3-4]；極少數(shù)研究者對(duì)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理問題進(jìn)行過研究，但缺乏系統(tǒng)的、科學(xué)的、實(shí)用的研究方法和工具[5]。

黃英等[6]于2002年提出通過數(shù)值解法獲取擊實(shí)試驗(yàn)基本參數(shù)，認(rèn)為最大干密度和最優(yōu)含水率之間符合2次函數(shù)關(guān)系，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，可用于數(shù)據(jù)點(diǎn)不足5點(diǎn)的情況下的分析，由于采用了數(shù)值分析中的擬合處理，誤差是不言而喻的，實(shí)際中應(yīng)用起來不方便，且沒有給出實(shí)用的工具。

王永和等[7]于2006年利用Matlab軟件對(duì)擊實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合處理，分別采用了2次、3次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，認(rèn)為3次多項(xiàng)式曲線能較好地?cái)M合最大干密度和最優(yōu)含水率之間關(guān)系，同樣采用了擬合方法，但缺乏有力的分析和實(shí)用的程序工具。

本文針對(duì)黃土的壓實(shí)特性研究中曾做過多組輕型擊實(shí)試驗(yàn)。在整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，常遇到曲線不理想而需要補(bǔ)點(diǎn)或重做現(xiàn)象；而更關(guān)鍵的問題是如何科學(xué)、統(tǒng)一、方便地確定擊實(shí)曲線的峰值點(diǎn)。因此，如何使擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程既簡(jiǎn)單又不失科學(xué)性，是本文探討的主題，即尋求一種既省時(shí)、省力，又能快速、準(zhǔn)確地確定土的最優(yōu)含水率和最大干密度的數(shù)據(jù)處理方法。

1 擊實(shí)試驗(yàn)

擊實(shí)試驗(yàn)?zāi)康脑谟诖_定某種土的最優(yōu)含水率和最大干密度。當(dāng)擊實(shí)功和擊實(shí)方法一定時(shí)，土的干密度隨含水率的增加而增大；當(dāng)干密度達(dá)到某一最大值后，含水率的繼續(xù)增加反而會(huì)使干密度減小。因此，干密度與含水率之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)的峰值點(diǎn)即被確定為土的最優(yōu)含水率和最大干密度。

擊實(shí)曲線之所以呈現(xiàn)曲線變化的特點(diǎn)，是因?yàn)橥林械乃炙幍臓顟B(tài)。當(dāng)土處于低含水率時(shí)，土中水分主要是結(jié)構(gòu)水或強(qiáng)結(jié)合水。擊實(shí)時(shí)，由于顆粒表面基本無薄膜水，隨著干密度增大，摩阻力增大，擊實(shí)功較多消耗在克服土體移動(dòng)的摩阻力上，有效擊實(shí)功降低，因而土體不易被壓實(shí)。

當(dāng)含水率逐漸增大時(shí)，顆粒表面水膜逐漸變厚，會(huì)出現(xiàn)大量的薄膜水，其水膜的潤(rùn)滑作用增大。擊實(shí)時(shí)，顆粒表面摩阻力相應(yīng)減小，有效擊實(shí)功增加，壓實(shí)效果增強(qiáng)。但當(dāng)含水率超過某一值后，土顆粒中孔隙內(nèi)的自由水逐漸增多，大量自由水被封閉不易排出，擊實(shí)功將大量消耗在自由水中，擊實(shí)效果又將降低，同時(shí)大量孔隙被自由水占據(jù)，土的干密度就會(huì)減小[2，8]。

2 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

2.1 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

我國(guó)不同行業(yè)的土工試驗(yàn)規(guī)范或規(guī)程中對(duì)擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果的處理原則是以干密度為縱坐標(biāo)、含水量為橫坐標(biāo)，曲線上峰值點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)分別為最大干密度和最優(yōu)含水量[9-11]。這里首先需要說明的是，曲線上的峰值點(diǎn)不能簡(jiǎn)單地理解為是擊實(shí)數(shù)據(jù)中的最高點(diǎn)，注意強(qiáng)調(diào)的是曲線上的峰值點(diǎn)。

在過去沒有計(jì)算機(jī)普遍應(yīng)用的年代，擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理一般是在坐標(biāo)紙上手工描繪出至少5個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，然后用光滑曲線連接起來，然后找出曲線上的峰值點(diǎn)，定為最大干密度和最優(yōu)含水量，有文獻(xiàn)稱之為圖解法。顯而易見，局限于手工繪制光滑曲線的緣故，最終確定的曲線上峰值點(diǎn)常常就是坐標(biāo)紙上描出的最高點(diǎn)。這就使得擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程中結(jié)果隨意性大，存在人為的誤差等等，失去了科學(xué)的數(shù)據(jù)處理原則，同時(shí)忽略了數(shù)據(jù)變量間的內(nèi)在的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系。

如圖1(a)所示，表面上看，6個(gè)點(diǎn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中第5個(gè)點(diǎn)的位置最高(w=15.8%，ρd=1.83 g/cm3)；如果采用手工處理方法找峰值點(diǎn)，第5點(diǎn)會(huì)被大多數(shù)土工試驗(yàn)員選中；而圖1(a)中給出的峰值點(diǎn)坐標(biāo)值為：wop=15.0%，ρd,max=1.83 g/cm3，顯然這兩組數(shù)值是不相等的。此處，姑且不論文獻(xiàn)[9]中采用了何種方法確定出了曲線上的峰值點(diǎn)，但絕對(duì)不是手工“圖解法”所能完成的。更進(jìn)一步推斷，圖1(a)中擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中使用了數(shù)值分析中的插值運(yùn)算，即對(duì)擊實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值處理。當(dāng)然，這是基于目前計(jì)算機(jī)普遍應(yīng)用的前提下能完成的工作，對(duì)土工試驗(yàn)員或工程師而言，當(dāng)然也需要一定的數(shù)值分析基礎(chǔ)知識(shí)。順便指出，擊實(shí)試驗(yàn)成果曲線中，應(yīng)繪出飽和曲線(圖1(a)或(b)中右側(cè)的傾斜直線)，并標(biāo)以Va=0，即表示土體中空氣體積為零。

(a)文獻(xiàn)[9]中曲線(b)本文方法繪制的曲線(o為峰值點(diǎn))

圖1 擊實(shí)試驗(yàn)曲線

很顯然，上述“圖解法”不能滿足當(dāng)今科研和生產(chǎn)實(shí)踐中的要求。為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的需要，對(duì)擊實(shí)數(shù)據(jù)整理可在數(shù)值分析原理的基礎(chǔ)上編寫適用的計(jì)算機(jī)程序，以減輕“圖解法”帶來的繁瑣工作，提高數(shù)據(jù)處理的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。

2.2 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的空間關(guān)系分析

在土力學(xué)中，土的密度ρ、含水量w、干密度ρd之間有下式關(guān)系：

如果單純地在數(shù)學(xué)空間內(nèi)表達(dá)三者的關(guān)系，即如圖2(a)所示的曲面，顯然函數(shù)ρd是不存在極限值的；而在擊實(shí)試驗(yàn)中，ρ、w是2個(gè)獨(dú)立測(cè)量的物理變量，ρd是由ρ、w在土力學(xué)理論框架下導(dǎo)出的物理變量，賦予了土力學(xué)實(shí)際概念且基于文獻(xiàn)[9]中數(shù)據(jù)繪出的3個(gè)變量關(guān)系散點(diǎn)圖如圖2(b)所示，如果把ρ、w看成2個(gè)連續(xù)的變量，那么組成的曲線是有極值的，擊實(shí)試驗(yàn)就是確定ρ、w的極值問題的試驗(yàn)。將圖2(a)、(b)表示的圖形繪制在同一坐標(biāo)下，即為圖2(c)所示的圖形，可見散點(diǎn)落在曲面上。

(a) 數(shù)學(xué)空間分布

(b) 土力學(xué)意義分布

(c) 散點(diǎn)圖與曲面疊加圖

圖2 土的密度ρ、含水量w、干密度ρd之間空間關(guān)系

3 應(yīng)用Matlab處理擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

3.1 數(shù)值分析中的插值與擬合

科學(xué)試驗(yàn)及生產(chǎn)實(shí)踐中，面對(duì)一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，而函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)未知，要從某函數(shù)類(如多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等)中求得一個(gè)函數(shù)y′=f(x′)作為y=f(x)的近似函數(shù)，這類計(jì)算問題統(tǒng)稱為數(shù)據(jù)建?；驍?shù)值分析[12]。

處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)采用的數(shù)據(jù)分析方法有兩類：① 插值方法，要求所求的函數(shù)嚴(yán)格通過數(shù)據(jù)點(diǎn)；② 擬合方法，函數(shù)可以不全通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，即允許存在誤差，但要求達(dá)到某種誤差指標(biāo)的最小化。通常，插值方法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量較小的情況；而擬合方法適用于數(shù)據(jù)有誤差且數(shù)據(jù)量大的情況[13]。

擊實(shí)試驗(yàn)中，由于數(shù)據(jù)少，一般僅有5、6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，對(duì)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，合適的方法是插值方法，而不是擬合方法，即達(dá)到使數(shù)據(jù)點(diǎn)間的曲線符合光滑、平順的目的。在處理本研究項(xiàng)目中不同地點(diǎn)黃土擊實(shí)試驗(yàn)時(shí)，本文采用分段的3次多項(xiàng)式函數(shù)插值方法，可保證每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處(亦稱“斷點(diǎn)”)具有連續(xù)的2階導(dǎo)數(shù)，這樣可使得插值函數(shù)曲線具有比較光滑、平順的特性。

3.2 處理程序在Matlab軟件平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)

基于數(shù)值分析原理，在Matlab軟件平臺(tái)上，將不同的擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)寫在擴(kuò)展名為.m的腳本文件中，通過執(zhí)行自編的M函數(shù)程序SKLGP_CompactionTest.m，能完成數(shù)據(jù)的插值運(yùn)算、峰值點(diǎn)的確定以及曲線的繪制工作。為了便于交流、討論及應(yīng)用，列出了所編寫的腳本文件和M函數(shù)程序的全部代碼。限于篇幅，M程序中沒有列出分段三次多項(xiàng)式的方程式，有興趣的讀者可自行處理；同時(shí)說明的是，數(shù)值分析計(jì)算原理在其他文獻(xiàn)中有充分的證明過程，因此本文不作相關(guān)的討論和證明。

腳本文件Gonglulizi.m的內(nèi)容如下：

clc; clear all; format bank

%以下?lián)魧?shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[9]

rop=[1.71 1.75 1.80 1.83 1.76];

w=[10.2 11.8 13.0 15.8 19.0];

%Name為工程項(xiàng)目名稱

Name='文獻(xiàn)[9]中擊實(shí)試驗(yàn)曲線';

SKLGP_CompactionTest(w,rop,Name)

總體上，M程序中插值方法采用分段三次多項(xiàng)式插值，其中spline為三次樣條曲線插值算法，pchip為三次Hermite插值算法，cubic為雙三次插值算法[13]。3種插值計(jì)算方法有所差異，插值效果自然不同，但均具有較好的光滑性。使用時(shí)，在interp1命令選項(xiàng)中設(shè)定即可。

SKLGP_CompactionTest.m的內(nèi)容如下：

function SKLGP_CompactionTest(w,rop,Name)

W=linspace(min(w),max(w),100);

Rop=interp1(w,rop,W,′spline′);

Rop_max=max(Rop);

[y,J]=max(Rop);

plot(w,rop,′o′,W,Rop,′-r′,′linewidth′,6)

grid on

hold on

title(Name,′fontsize′,30,′fontweight′,′bold′)

xlabel(′w(%)′,′fontsize′,25)

ylabel(′ ho_d(g/cm^3)′,′fontsize′,25)

set(gca,′FontSize′,20)

wmax=(1./rop-1/2.7)*100;

plot(wmax,rop,′-m′,′linewidth′,4)

set(gca,′Xtick′,[round(min(w))-1:1:round(max(wmax))+1])

set(gca,′Ytick′,[round(min(Rop))-1:0.05:round(max(Rop))+1])

gtext([′最大干密度′,′=′,num2str(Rop_max),′(g/cm^3)′],′fontsize′,20)

gtext([′最優(yōu)含水量′,′=′,num2str(W(J)),′(%)′],′fontsize′,20)

plot(W(J),Rop_max,′o′,′Markersize′,20)

gtext([′V_a′,′=′,′0′],′fontsize′,20)

hold off

3.3 不同地區(qū)黃土的輕型擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

來自4個(gè)地區(qū)的黃土輕型擊實(shí)試驗(yàn)中，采用干法制土，每層擊數(shù)為27。擊實(shí)曲線見圖3，其中圖3(a)、(b)中采用spline插值，圖3(c)、(d)中采用cubic插值。其中，圖3(a)、(c)、(d)中經(jīng)本文方法插值處理后峰值點(diǎn)位置就是試驗(yàn)散點(diǎn)中的最高點(diǎn)，能與采用“圖解法”確定峰值點(diǎn)保持一致性；而圖3(b)經(jīng)插值處理后出現(xiàn)的峰值點(diǎn)位置顯然不是試驗(yàn)散點(diǎn)中的最高點(diǎn)。這是因?yàn)?，峰值點(diǎn)選取了分段三次多項(xiàng)式插值函數(shù)曲線的最大值點(diǎn)，當(dāng)然從數(shù)學(xué)意義上舍棄了試驗(yàn)點(diǎn)中的最高點(diǎn)。整個(gè)過程符合數(shù)值計(jì)算原理，曲線光滑、平緩，完全符合文獻(xiàn)[9-10]中規(guī)定的確定峰值點(diǎn)的基本原則。同時(shí)需要說明的是，如果利用“圖解法”確定峰值點(diǎn)則非常困難，且不易做到數(shù)據(jù)統(tǒng)一、操作簡(jiǎn)單。因此，摒棄“圖解法”勢(shì)在必行。

(a) 河南靈寶

(b) 陜西富縣

(c) 甘肅蘭州

(d) 寧夏石碑塬

圖3 不同地區(qū)黃土的擊實(shí)試驗(yàn)成果曲線(o為曲線峰值點(diǎn))

最后，作為一個(gè)有力的例證，應(yīng)用本文方法處理文獻(xiàn)[9]中的擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。擊實(shí)曲線如圖1(b)所示，與圖1(a)相比，盡管兩圖的縱橫坐標(biāo)比例有差異，但曲線的形態(tài)、峰值點(diǎn)位置及數(shù)值能保持一致性，表明自編程序的科學(xué)性、有效性和可操作性。

4 結(jié) 論

(1) 本文指出“圖解法”在處理擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)的不足之處。在目前計(jì)算機(jī)普遍應(yīng)用的情況下，科研和生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)擯棄“圖解法”；建議在相關(guān)的擊實(shí)試驗(yàn)規(guī)范或規(guī)程中應(yīng)明確指出，并建議采用相應(yīng)的插值方法等；從相關(guān)的外文文獻(xiàn)中，也可見數(shù)值方法確定峰值點(diǎn)的應(yīng)用實(shí)踐[15]。

(2) 為滿足黃土擊實(shí)試驗(yàn)的需要，基于數(shù)值分析原理和Matlab軟件平臺(tái)，編寫了能進(jìn)行分段三次多項(xiàng)式曲線插值的程序，能科學(xué)地、方便地確定出峰值點(diǎn)以及繪制擊實(shí)成果曲線。為了便于土木工程師、高校師生及土工試驗(yàn)員進(jìn)一步交流、討論及應(yīng)用本文中的自編程序，列出完整的程序代碼，以期得到更好的完善。

(3) 黃土是一種大孔隙、結(jié)構(gòu)性強(qiáng)的粉土，有時(shí)成分接近于粉砂，但性質(zhì)又不同于一般的粉土[16]。本研究中僅進(jìn)行了黃土的擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理工作，對(duì)于其他類型的土(如黏土以及粗粒土等)是否適用本文提出的插值方法及程序，還需要進(jìn)一步的試驗(yàn)和探索。

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Numerical Method on Peak Point in Loess Compaction Test

DU Ruifeng1,2, PEI Xiangjun1, ZHANG Xiaochao1, CHANG Zhilu1, CUI Xueting1

(1. State Key Laboratory of Geo-hazards Prevention and Geo-environment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059, China； 2. Department of Civil Engineering, Inner Mongolia Technical College of Construction, Hohhot 010070，China)

In actual construction, compaction test is used to evaluate the tamping quality of soil and reach the optimal state, and is a laboratory experiment with significance to soil performance of compression, shear and penetration. The relations of spatial drawing and bulk density, water content and dry density in compaction test of civil engineering are researched respectively with viewpoints of mathematics and soil physics. A self-made program used Matlab is installed successfully on the platform, and it can fast deal with peak points and plot curve. The method gets better result than the diagrammatical method which is still used now, and is inaccuracy and inconvenience. The program is suitable to other soils (such as clay and coarse-grained soil), and is needed to develop more related research.

compaction test; diagrammatical method; peak point; numerical method

2016-12-20

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2014CB744703)

杜瑞鋒(1978-)，男，山西五寨人，博士生，主要研究方向?yàn)榈刭|(zhì)工程及土木工程。

Tel.：18686089280; E-mail：dddrrrfeng@126.com

裴向軍(1970-)，男，內(nèi)蒙古林東人，教授，博士生導(dǎo)師。

Tel.：028-84079076； E-mail：peixj0119@tom.com

TU 411.99

A

1006-7167(2017)08-0044-04