基于欠定盲源分離的柴油機(jī)曲軸軸承故障診斷方法研究

朱江濤

(山西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 山西 太原 030031)

基于欠定盲源分離的柴油機(jī)曲軸軸承故障診斷方法研究

朱江濤

(山西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 山西 太原 030031)

針對(duì)柴油機(jī)曲軸軸承振動(dòng)信號(hào)盲源分離的欠定問(wèn)題，提出了基于相空間重構(gòu)和動(dòng)態(tài)聚類奇異值分解的適定化方法。首先通過(guò)引入廣義時(shí)間窗的概念確定最佳時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)，重構(gòu)信號(hào)相空間矩陣；然后對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)奇異值進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類以確定最佳重構(gòu)階數(shù)，進(jìn)而重構(gòu)得到虛擬觀測(cè)信號(hào)，從而將欠定問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫m定或超定；最后利用自適應(yīng)Parafac方法對(duì)原觀測(cè)信號(hào)與虛擬觀測(cè)信號(hào)構(gòu)成虛擬傳播路徑進(jìn)行盲源分離得到有效源信號(hào)。仿真結(jié)果表明，該方法可有效分離出混合信號(hào)中的源信號(hào)，并將其應(yīng)用到柴油機(jī)曲軸軸承故障診斷中，診斷準(zhǔn)確率提高了18.4%。

振動(dòng)信號(hào)； 欠定盲源分離； 相空間重構(gòu)； 奇異值分解； 動(dòng)態(tài)聚類； 故障診斷

由于柴油機(jī)振源眾多，在對(duì)柴油機(jī)軸承故障進(jìn)行診斷時(shí)，反映軸承故障的振動(dòng)信號(hào)常被淹沒(méi)在其他振動(dòng)信號(hào)之中，導(dǎo)致檢測(cè)的信號(hào)信噪比較低，嚴(yán)重影響柴油機(jī)故障診斷的可靠性和準(zhǔn)確性[1]。近年來(lái)盲源分離技術(shù)迅速發(fā)展起來(lái)，為從混合信號(hào)中提取軸承故障特征信息提供了新思路。在柴油機(jī)振動(dòng)信號(hào)盲源分離中，往往假設(shè)觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目不小于源信號(hào)的數(shù)目。而在實(shí)際應(yīng)用中，由于傳感器安裝不便或源信號(hào)受干擾嚴(yán)重，觀測(cè)信號(hào)數(shù)目會(huì)少于原信號(hào)，此時(shí)需要在欠定狀態(tài)下對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行分離。對(duì)于欠定盲源分離，已有的研究主要是基于源信號(hào)的稀疏表示，借助聚類算法實(shí)現(xiàn)[2]。但是，由于柴油機(jī)軸承振動(dòng)信號(hào)是多個(gè)振源信號(hào)以未知的形式混疊而成的復(fù)雜信號(hào)，因此，對(duì)于柴油機(jī)振動(dòng)信號(hào)，源信號(hào)的稀疏性假設(shè)并不一定成立[3]。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了基于欠定盲源分離的柴油機(jī)軸承故障診斷方法。利用相空間重構(gòu)和奇異值分解構(gòu)造虛擬觀測(cè)信號(hào)，從而將盲源分離從欠定轉(zhuǎn)變?yōu)檫m定或超定，進(jìn)而采用自適應(yīng)Parafac方法將軸承故障特征信息從混合信號(hào)中分離出來(lái)，并將其應(yīng)用到柴油機(jī)軸承故障診斷中，提高了故障診斷準(zhǔn)確率。

1 基于廣義嵌入窗長(zhǎng)的相空間重構(gòu)

1.1 相空間重構(gòu)原理

x(i)，i=1,2，…N為單變量時(shí)間序列，對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到嵌入維數(shù)為p、時(shí)間延遲為τ的吸引子軌跡矩陣[4]：

(1)

式中：q=N-(p-1)·τ，且p>q。

為得到合適的嵌入維數(shù)p，F(xiàn).Takens提出在假設(shè)數(shù)據(jù)不受噪聲影響且無(wú)限長(zhǎng)的條件下，只要嵌入維數(shù)p≥2u+1，其中u為原動(dòng)力系統(tǒng)吸引子維數(shù)，則重構(gòu)軌跡構(gòu)成的系統(tǒng)與原動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)涞葍r(jià)。此為延遲嵌入定理[5]，后來(lái)T.Sauer等把該定理推廣到了存在噪聲的情形。

1.2 嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲的確定

在相空間重構(gòu)中，嵌入維數(shù)p與時(shí)間延遲τ的選取非常重要，其精度直接影響著相空間重構(gòu)后描述奇異吸引子特征不變量的準(zhǔn)確度。大量實(shí)驗(yàn)證明，p和τ的選取并不是相互獨(dú)立的，而是有著較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)[6]。為建立時(shí)間延遲與嵌入維數(shù)的關(guān)聯(lián)，引入廣義嵌入窗長(zhǎng)的定義[7]。

假設(shè)能夠從給定的觀測(cè)量中確定一個(gè)合適的延遲Γ，得到的重構(gòu)相空間從整體上反映了原系統(tǒng)特性。那么，對(duì)于嵌入維數(shù)為p的相空間矢量，能夠計(jì)算出重構(gòu)相空間中任意兩個(gè)元素的時(shí)間延遲與Γ差值的和[7]：

(2)

因此，當(dāng)J=0時(shí)所選擇的τ能夠使重構(gòu)相空間任意兩個(gè)元素時(shí)間延遲的平均值為適當(dāng)?shù)摩＃?/p>

(3)

由式(3)可以得出：

(4)

式中：p為嵌入維數(shù)；τ為時(shí)間延遲。此時(shí)的延遲Γ為廣義嵌入窗長(zhǎng)，對(duì)于任意的觀測(cè)量，廣義嵌入窗長(zhǎng)是一個(gè)確定的值，對(duì)于式(4)中的3個(gè)變量，只要知道其中的2個(gè)變量，就可以求得另一個(gè)變量[6]。

定義r(Γ)為

(5)

r(Γ)反映了觀測(cè)量之間的非關(guān)聯(lián)程度，因此，當(dāng)c(Γ)=r(Γ)時(shí)的Γ為最佳的廣義嵌入窗長(zhǎng)，將r(Γ)代入式(5)得到c(Γ)=0.707 ，此時(shí)的Γ即為所求。

為求得時(shí)間延遲τ，引入時(shí)間延遲的自動(dòng)算法，該算法利用平均位移計(jì)算最佳的時(shí)間延遲，克服了自相關(guān)函數(shù)法的不足。將式(1)中的各列元素記為矢量 {σi}，i= 1,2，…q，在每個(gè)確定的τ處得出整個(gè)矢量空間的平均位移：

(6)

給定一個(gè)嵌入維數(shù)p，當(dāng)S(τ)的值飽和時(shí)，此時(shí)的時(shí)間延遲τ即為對(duì)應(yīng)嵌入維數(shù)p下的準(zhǔn)最佳值。雖然沒(méi)有得到時(shí)間延遲τ的最佳值，但在實(shí)際應(yīng)用中準(zhǔn)最佳值也是可以接受的。為得到準(zhǔn)最佳時(shí)間延遲τ對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)最佳嵌入維數(shù)，只需將τ代入式(4)就可以得到準(zhǔn)最佳的嵌入維數(shù)。

2 基于動(dòng)態(tài)聚類的奇異值分解重構(gòu)

2.1 基于奇異值分解構(gòu)造虛擬觀測(cè)信號(hào)

根據(jù)矩陣?yán)碚?，?1)中的吸引子軌跡矩陣X的奇異值分解為

X=UΛVT。

(7)

2.2 基于動(dòng)態(tài)聚類的重構(gòu)階次確定方法

反映吸引子軌跡矩陣X特征的奇異值主要集中在若干幅值較大奇異值上，噪聲的奇異值幅值相對(duì)較小。如果將奇異值投影到某一坐標(biāo)軸上，反映信號(hào)特征的奇異值將分散在坐標(biāo)軸上，而噪聲信號(hào)的奇異值分布相對(duì)集中，將其作為奇異值的分布規(guī)律，對(duì)信號(hào)的奇異值進(jìn)行聚類，較小奇異值會(huì)聚集在一起，而一些較大的奇異值會(huì)單獨(dú)聚類。因此，可以認(rèn)為單獨(dú)成類的奇異值的個(gè)數(shù)為最佳重構(gòu)階次[8]。利用k-means方法對(duì)奇異值進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類，其具體計(jì)算過(guò)程如下：

1) 將樣本劃分為K個(gè)聚類區(qū)域，計(jì)算m1,m2,…mK和Je;

2) 任選其中的樣本x∈ωi；

3) 如果Ni=1 ，則重新循環(huán)到步驟2)，如果Ni≠1，則循環(huán)到步驟4)中；

4) 計(jì)算下式的值：

5) 對(duì)所有的樣本進(jìn)行計(jì)算，如果ρM≤ρj，則將x從ωi移到ωM中去;

6) 再次計(jì)算mi和mM的值，并修改聚類準(zhǔn)則函數(shù)Je；

7) 將所有的樣本循環(huán)迭代后，聚類準(zhǔn)則函數(shù)Je的值如果仍然不變，則k-means聚類停止，聚類準(zhǔn)則函數(shù)Je的值如果變化則循環(huán)到步驟2)。

3 仿真信號(hào)分析

3.1 相空間重構(gòu)方法實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證相空間重構(gòu)中嵌入維數(shù)與重構(gòu)階數(shù)的有效性，對(duì)Lorenz吸引子方程得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)。Lorenz吸引子方程為

(8)

式中：σ=10，R=30，b=5。

根據(jù)方程模型產(chǎn)生試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)間ts=1s，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000個(gè)。圖1示出廣義嵌入窗長(zhǎng)和自關(guān)聯(lián)函數(shù)的關(guān)系，表1示出計(jì)算得到的準(zhǔn)最佳嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲，圖2示出原始信號(hào)與不同準(zhǔn)最佳嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲下的重構(gòu)信號(hào)及其頻譜分布。

圖1 Lorenz的廣義嵌入窗長(zhǎng)和自關(guān)聯(lián)函數(shù)

編號(hào)嵌入維數(shù)給定值/維嵌入維數(shù)計(jì)算值/維時(shí)間延遲計(jì)算值/s12040．0482120170．0153220540．005

從圖2可以看出:如果嵌入維數(shù)不滿足嵌入定理，得到的重構(gòu)信號(hào)誤差較大；當(dāng)滿足嵌入定理后，維數(shù)在一定取值范圍內(nèi)，維數(shù)較高的重構(gòu)信號(hào)精度更高。試驗(yàn)結(jié)果表明，在遵守嵌入定理的前提下，利用提出的算法得到了準(zhǔn)最佳的嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲。

圖2 不同重構(gòu)參數(shù)下的重構(gòu)信號(hào)及其頻譜

3.2 欠定盲源分離方法仿真試驗(yàn)

引入3個(gè)仿真源信號(hào)：s1=sin(20πt2),s2=sin(20πt)，s3為高斯白噪聲。式中，t∈[0 1s] 。

構(gòu)造觀測(cè)矩陣A：

(9)

則觀測(cè)信號(hào)Z為

(10)

試驗(yàn)中構(gòu)造3個(gè)仿真源信號(hào)，2個(gè)觀測(cè)信號(hào)，模擬盲源分離中的欠定問(wèn)題。各仿真信號(hào)的時(shí)域波形見(jiàn)圖3。

圖3 源信號(hào)時(shí)域波形

圖4示出第1個(gè)觀測(cè)信號(hào)軌跡矩陣的奇異值分布，易確定最佳重構(gòu)階次為8。通過(guò)重構(gòu)得到1個(gè)虛擬觀測(cè)信號(hào)。

圖4 觀測(cè)信號(hào)軌跡矩陣的奇異值分布

圖5示出實(shí)際觀測(cè)信號(hào)與虛擬觀測(cè)信號(hào)的時(shí)域波形。利用其組成混合信號(hào)，從而將觀測(cè)信號(hào)的盲源分離從欠定變換為適定，滿足了觀測(cè)信號(hào)數(shù)不小于源信號(hào)數(shù)的基本要求。

圖5 瞬時(shí)混合觀測(cè)信號(hào)

將2個(gè)實(shí)際觀測(cè)信號(hào)與虛擬觀測(cè)信號(hào)組成傳播路徑，采用自適應(yīng)Parafac方法對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，得到圖6所示的分離信號(hào)。

圖6 分離信號(hào)時(shí)域波形

比較圖6和圖3可知，從觀測(cè)信號(hào)中很好地分離出了源信號(hào)。仿真結(jié)果表明，基于相空間重構(gòu)和動(dòng)態(tài)聚類奇異值分解的方法可有效獲取虛擬觀測(cè)信號(hào)，將欠定盲源分離轉(zhuǎn)換為適定或超定，并準(zhǔn)確分離出有效的源信號(hào)。

4 試驗(yàn)分析

4.1 柴油機(jī)曲軸軸承振動(dòng)信號(hào)采集方案

試驗(yàn)在EQ6BT型6缸四沖程柴油機(jī)上進(jìn)行，將振動(dòng)傳感器安裝在油底殼與缸體結(jié)合部正對(duì)第4道主軸承左右處(測(cè)點(diǎn)Ⅰ、測(cè)點(diǎn)Ⅱ)和油底殼處(測(cè)點(diǎn)Ⅲ)(見(jiàn)圖7)。

圖7 傳感器的安裝位置

通過(guò)相關(guān)分析后發(fā)現(xiàn)測(cè)點(diǎn)Ⅰ、測(cè)點(diǎn)Ⅱ與內(nèi)部激勵(lì)源同方向信號(hào)的相關(guān)程度較高，而測(cè)點(diǎn)Ⅲ與內(nèi)部激勵(lì)源同方向信號(hào)相關(guān)程度不高[9-10]，因此，本試驗(yàn)選擇將振動(dòng)傳感器安裝在測(cè)點(diǎn)1(測(cè)點(diǎn)Ⅰ)、測(cè)點(diǎn)2(測(cè)點(diǎn)Ⅱ)處，并在各自下方不遠(yuǎn)處安裝另外2個(gè)振動(dòng)傳感器，分別為測(cè)點(diǎn)3和測(cè)點(diǎn)4，在柴油機(jī)勻速狀態(tài)下同步采集各振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為20kHz。試驗(yàn)設(shè)置的曲軸軸承技術(shù)狀態(tài)見(jiàn)表2。

表2 曲軸軸承故障設(shè)置

試驗(yàn)以第4道曲軸軸承為試驗(yàn)對(duì)象，通過(guò)設(shè)置不同軸頸與軸承的配合間隙來(lái)模擬磨損狀態(tài)。為了模仿實(shí)際的曲軸軸承磨損故障，設(shè)置故障軸承間隙的同時(shí)，還需改變相鄰兩道軸承的間隙。試驗(yàn)安裝的4個(gè)傳感器離軸承故障振源較近，測(cè)量得到的信號(hào)對(duì)軸承配合間隙變化敏感[11]。

4.2 軸承故障診斷

曲軸軸承正常時(shí)4個(gè)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)信號(hào)時(shí)域波形及其時(shí)頻譜見(jiàn)圖8。

圖8 正常觀測(cè)信號(hào)時(shí)域波形與時(shí)頻分布

圖9示出各測(cè)點(diǎn)正常觀測(cè)信號(hào)的奇異值變化，此時(shí)假設(shè)有3個(gè)聚類中心，將奇異值分為4段，從高到低分別為第1，2，3和4段，利用第1段奇異值進(jìn)行重構(gòu)得到的信號(hào)稱為重構(gòu)信號(hào)1，其他以此類推。

圖9 各測(cè)點(diǎn)正常觀測(cè)信號(hào)軌跡矩陣的奇異值分布

通過(guò)動(dòng)態(tài)聚類分析分別得到4個(gè)觀測(cè)信號(hào)的4段重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的奇異值重構(gòu)階次分段情況(見(jiàn)表3)。

表3 信號(hào)重構(gòu)階次分段情況

圖10示出各測(cè)點(diǎn)不同階數(shù)重構(gòu)信號(hào)的時(shí)頻譜。從圖中可以看出，正常觀測(cè)信號(hào)的能量主要集中在重構(gòu)信號(hào)1和重構(gòu)信號(hào)2中。

圖10 正常狀態(tài)各測(cè)點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)的時(shí)頻譜

通過(guò)在信號(hào)時(shí)頻圖上對(duì)時(shí)間軸做切片來(lái)跟蹤信號(hào)在某時(shí)刻的頻率變化。圖11示出信號(hào)能量最大時(shí)的切片，從圖中可以看出，觀測(cè)信號(hào)正常時(shí)各測(cè)點(diǎn)的重構(gòu)信號(hào)1更接近原始信號(hào)在頻率軸上的能量變化。

圖11 正常狀態(tài)各測(cè)點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)的時(shí)頻譜切片

經(jīng)分析可知，當(dāng)曲軸軸承出現(xiàn)輕微故障、中度故障和嚴(yán)重故障時(shí)，振動(dòng)信號(hào)的能量也主要集中于重構(gòu)信號(hào)1與重構(gòu)信號(hào)2中，且重構(gòu)信號(hào)1的能量變化與原信號(hào)更接近。

以重構(gòu)信號(hào)1和重構(gòu)信號(hào)2組成奇異值分解矩陣，以奇異值的均值和脈沖指標(biāo)組成特征向量，其空間分布見(jiàn)圖12。

圖12 重構(gòu)信號(hào)1和2的奇異值特征向量空間分布

由圖12可知，重構(gòu)信號(hào)1和 2包含的信息與曲軸軸承振源信息有較強(qiáng)的相關(guān)性，但是還存在部分交疊，可能是信號(hào)在傳輸過(guò)程中存在延遲濾波造成的。因此，利用重構(gòu)信號(hào)1和 2所在的重構(gòu)階次重構(gòu)虛擬觀測(cè)信號(hào)，從而將盲源分離從欠定變?yōu)檫m定，然后采用自適應(yīng)Parafac盲源分離方法消除傳輸路徑上的延遲濾波，得到分離信號(hào)的特征向量空間分布(見(jiàn)圖13)。

圖13 分離信號(hào)的奇異值特征向量空間分布

為定量描述故障診斷精度，定義診斷誤差Ei為

(11)

式中：樣本號(hào)i=1,2,3,4，分別對(duì)應(yīng)軸承正常、輕微故障、中度故障和嚴(yán)重故障；mi為樣本i錯(cuò)誤聚類點(diǎn)數(shù)；ni為樣本i的點(diǎn)數(shù)。重構(gòu)信號(hào)1和2特征值和分離信號(hào)特征值表征的整體故障診斷準(zhǔn)確率分別為81.6%和100%。由此可知，基于盲源分離后信號(hào)的故障診斷準(zhǔn)確率提高了18.4%。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)引入廣義嵌入窗長(zhǎng)的概念，改進(jìn)了相空間重構(gòu)嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲的自動(dòng)算法，得到了準(zhǔn)最佳嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲值。提出基于動(dòng)態(tài)聚類的奇異值分解重構(gòu)算法，構(gòu)造虛擬觀測(cè)信號(hào)，從而將欠定盲源分離問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫m定或超定。將虛擬觀測(cè)信號(hào)與原信號(hào)組成傳播路徑，利用自適應(yīng)Parafac方法對(duì)實(shí)現(xiàn)了信號(hào)盲源分離。仿真與試驗(yàn)結(jié)果表明，本方法準(zhǔn)確分離出了有效源信號(hào)，并將柴油機(jī)曲軸軸承故障診斷準(zhǔn)確率提高了18.4%。

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[編輯: 李建新]

Fault Diagnosis for Crankshaft Bearing of Diesel Engine Based on Underdetermined Blind Source Separation

ZHU Jiangtao

(Shanxi Traffic Vocational And Technical College， Taiyuan 030031， China)

In order to solve the problems of underdetermined blind source separation for diesel engine crankshaft bearing vibration signal, a determined method based on singular value decomposition by using dynamic clustering and phase space reconstruction was proposed. A quasi-optimal embedding dimension and time delay values were first acquired through introducing the concept of generalized embedded window length in order to reconstruct phase space matrix. Then the singular value decomposition was applied to the matrix, the obtained singular values were conducted by using dynamic clustering to determine the optimal reconstruction order, the virtual observation signals were obtained, and hence the underdetermined problems became determined or overdetermined. Finally, the virtual observed signal and the original signal were composed into propagation paths so that the signal containing bearing fault characteristics was extracted by the blind source separation based on the algorithm of adaptive Parafac. The simulation results show that the method can extract the source signal from mixed signals effectively. The diagnosis accuracy increases by 18.4% by applying the method to diesel engine crankshaft bearing fault diagnosis.

vibration signal; underdetermined blind source separation; phase space reconstruction; singular value decomposition； dynamic clustering； fault diagnosis

2017-03-22;

2017-08-12

朱江濤(1981—)，男，講師，主要研究方向?yàn)楣こ虣C(jī)械設(shè)計(jì)與運(yùn)用；zhujtn@163.com。

10.3969/j.issn.1001-2222.2017.04.008

TK418

B

1001-2222(2017)04-0036-07