論數(shù)學(xué)方程思想對高中物理解題的重要性

許軍　何蓉

摘 要：數(shù)學(xué)與物理在方法和思想方面有著不可分割的聯(lián)系，數(shù)學(xué)不僅是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，它也是很多物理問題解答的橋梁。尤其是數(shù)學(xué)方程思想，它不僅在代數(shù)和幾何學(xué)科中被廣泛應(yīng)用，也常應(yīng)用于其他學(xué)科，如物理學(xué)科。所以，本文在簡要闡述方程思想的含義及對高中物理解題的重要性的基礎(chǔ)上，著重分析了應(yīng)用方程思想來解答高中物理常見的幾類典型實(shí)例，并提出在解決物理問題時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)方程思想的建議，以此來幫助學(xué)生看透解題的本質(zhì)并引導(dǎo)學(xué)生善于應(yīng)用數(shù)學(xué)方程思想解題，讓高中物理問題在方程思想中迎刃而解。

關(guān)鍵詞：方程思想；高中物理；重要性；解題

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】1008-1216（2017）08B-0104-02

一、數(shù)學(xué)方程思想

關(guān)于方程思想的含義，不同的研究者在各自研究中有過不同的闡述。張奠宙和張廣祥認(rèn)為方程思想就是通過構(gòu)建已知量與未知量的關(guān)系而進(jìn)一步探討求出未知量的方法。簡而言之，就是建立已知與未知之間的橋梁。人們通常會認(rèn)為方程就是方程思想，可兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。方程屬于知識體系，而方程思想是屬于思維體系。當(dāng)然，方程思想的形成是根據(jù)物理量與量之間的關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，再解出未知量。利用方程思想解決問題，首先需要分析已知量和未知量之間的關(guān)系，其次根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建含有未知數(shù)的方程或方程組，最后根據(jù)方程或方程組的變形求出未知數(shù)的值。培養(yǎng)學(xué)生善于利用方程思想解題，這不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也能培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)模型的能力。

二、用方程思想解答高中物理題的實(shí)例

在高中物理解題過程中，使用方程思想解答物理問題的實(shí)例不勝枚舉，本文主要從高中物理力學(xué)和電磁學(xué)兩個(gè)方面來加以說明。

（一）力學(xué)

高中物理力學(xué)主要包括運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)以及靜力學(xué)，并且已經(jīng)形成了嚴(yán)密的邏輯體系，比如，運(yùn)動學(xué)部分，從直線到曲線，由勻速到變速，從運(yùn)動規(guī)律到具體分析都有嚴(yán)密的體系以及科學(xué)推理過程。同時(shí)，牛頓第二定律、動量定理、動量守恒、動能定理、機(jī)械能守恒都有嚴(yán)密的邏輯體系。此外，高中物理在定量計(jì)算方面相比于初中所學(xué)內(nèi)容較復(fù)雜，幾乎每部分都與方程相關(guān)，如建構(gòu)方程等式、如何解方程以及對解的驗(yàn)證與分析，這對高中生來說既是困難，也是挑戰(zhàn)。

【例1】A、B兩物相距為x，它們同時(shí)同向運(yùn)動，B在A前面做初速度為0，加速度為a1的勻加速直線運(yùn)動，A在后面做初速度為v0，加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動，則（ ）

A、若a1 = a2，它們只能相遇一次

B、若 a1>a2，它們可能相遇二次

C、若a1>a2，它們只能相遇二次

D、若a1

解析：對于此題，我們采用方程思想求解，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t以后兩物體相遇，抓住題中關(guān)鍵字“相遇”，可以得到位移相等的關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動學(xué)位移——時(shí)間公式列出等式方程：a1t2+x=v0t+a2t2，經(jīng)過整理得到（a1-a2）t2-2v0t+x=0；顯然，這是關(guān)于t的方程；當(dāng)a1=a2時(shí)，為數(shù)學(xué)形式的一元一次方程，t僅只有一解，即相遇一次；當(dāng)a1≠a2時(shí)，為一元二次方程，依據(jù)?=4v02-4x（a1-a2），當(dāng) a1>a2時(shí)，?可能大于零，從而t可能有兩解，由韋達(dá)定理可知兩解為正，即可能相遇兩次，當(dāng)a1

實(shí)際上，運(yùn)動學(xué)部分有關(guān)于初速度為零的勻變速直線運(yùn)動規(guī)律的一些推論，也是利用速度關(guān)系或者位移關(guān)系建構(gòu)物理等式方程，然后對其求解，得到相應(yīng)的結(jié)論。

（二）電磁學(xué)

如果說力學(xué)是物理學(xué)的基石，那么電磁學(xué)就是物理學(xué)的支柱，一般來說，力學(xué)和電磁學(xué)是中學(xué)物理最重要的兩部分內(nèi)容。電磁學(xué)主要分為電場、磁場以及電磁場，每部分都有各自的嚴(yán)密體系以及內(nèi)在邏輯，同時(shí)電磁場之間又是相互關(guān)聯(lián)，由麥克斯韋方程組可直觀了解。但這部分定性分析以及定量求解對高中生的要求較高，同時(shí)這部分內(nèi)容與數(shù)學(xué)方程聯(lián)系更為緊密。

【例2】如圖，O、A、B為同一豎直平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，OB沿豎直方向，∠BOA=60°OB=OA，將一質(zhì)量為m的小球以一定的初動能自O(shè)點(diǎn)水平向右拋出，小球在運(yùn)動過程中恰好通過A點(diǎn)。使此小球帶電，電荷量為q（q>0），同時(shí)加一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向與 所在平面平行，現(xiàn)從O點(diǎn)以同樣的初動能沿某一方向拋出此帶點(diǎn)小球，該小球通過了A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動能是初動能的3倍；若該小球從O點(diǎn)以同樣的初動能沿另一方向拋出，恰好通過B點(diǎn)，且到達(dá)B點(diǎn)的動能為初動能的6倍，重力加速度大小為g。（2014年全國卷Ⅰ卷25題）

求：該電場強(qiáng)度的大小和方向。

解析：如果從方程的角度去思考該問題，就更易解答。對此進(jìn)行分析：

我們可以對每個(gè)過程進(jìn)行分析，列出每個(gè)過程的運(yùn)動方程：

從O點(diǎn)到A點(diǎn)，沒有加電場時(shí)，列出動能定理方程：

mgOAcos60°=mvA2-mv02=EKO （1）

加電場后通過A點(diǎn)列出動能定理方程：

mgOAcos60°+qUOA=mvA'2-mv02=2EkO （2）

加電場后恰好通過B點(diǎn)，列出動能定理方程：

mgOB+qUOB=mgOA+qUOB=mvB2-mv02 （3）

通過（1）（2）（3）式可以解得UOA、UOB與EkO之間的關(guān)系，進(jìn)而確認(rèn)UOA、UOB之間的比例關(guān)系，后面的計(jì)算更為清晰。

通過力學(xué)和電磁學(xué)兩部分例題了解到，數(shù)學(xué)方程思想在高中物理解題中具有重要地位。方程思想主要有構(gòu)建方程、方程變形、解方程以及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理方程。所以，在高中物理解題中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方程思想顯得尤為重要。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)方程思想的幾點(diǎn)建議

（一）根據(jù)物理量與量之間的關(guān)系建構(gòu)方程

實(shí)際上，很多高中物理題在定性分析時(shí)較難把握，若以方程形式表達(dá)則物理量的關(guān)聯(lián)性、物理規(guī)律就會逐漸變得細(xì)微。正如華羅庚所說的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，物理習(xí)題中的多數(shù)運(yùn)算過程較為抽象，如果應(yīng)用數(shù)學(xué)方程，定性分析和定量計(jì)算就會較易把握。

如何培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)方程的能力，是解答高中物理題的重中之重。首先，培養(yǎng)建構(gòu)物理方程能力需要教師和學(xué)生的雙向合作，教師需要保證學(xué)生以物理學(xué)習(xí)心理為基礎(chǔ)，在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)方程基礎(chǔ)上，舉例說明如何將數(shù)學(xué)方程建構(gòu)應(yīng)用到物理題中。其次，建構(gòu)物理方程需要學(xué)生有較好的知識遷移能力。由遷移理論可知，不僅數(shù)學(xué)方程可以部分運(yùn)用到物理習(xí)題中，而且數(shù)學(xué)上有關(guān)如何建構(gòu)方程的思想也可以遷移到建構(gòu)物理方程過程中。所以，要注重提高學(xué)生的知識遷移能力。

（二）對已建構(gòu)方程變形并求解

關(guān)于方程的變形和求解，很多中學(xué)老師百思不得其解為什么學(xué)生掌握了如何建構(gòu)方程，卻在方程變形與求解過程中遇到困難。其實(shí)，這些困難有其出現(xiàn)的必然因素。根據(jù)教學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)有以下幾點(diǎn)原因：第一，運(yùn)算能力較差：在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)階段很多中學(xué)生都依賴于計(jì)算器，甚至連小學(xué)生也都紛紛借助計(jì)算器解題；長久的依賴勢必減弱學(xué)生對數(shù)字和代數(shù)的敏感度，從而導(dǎo)致學(xué)生在方程的變形與求解過程中耗時(shí)大，還易出錯(cuò)；第二，解方程時(shí)，方法選擇具有盲目性。很多學(xué)生在解方程過程中出現(xiàn)思維固化，如上文例1中問及“相遇”情況，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生是按部就班的解出一元二次方程，再對方程的解進(jìn)行分析。再如上文例2，對于已建構(gòu)的（1）（2）式若采用代入消元法，會使解方程更復(fù)雜；若采用數(shù)學(xué)中的加減消元法會使解的過程更為輕松。

綜上所述，如果要使我們的物理方程解得更快、更準(zhǔn)確，需要做到以下幾點(diǎn)：第一，擺脫計(jì)算器，多用筆算，逐漸產(chǎn)生對數(shù)字和代數(shù)的敏感性；第二，打破思維僵化，對于具體方程需要先觀察，盡可能避免做無用功，這樣可大大節(jié)省答題時(shí)間，這也是解答物理題非常重要的環(huán)節(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張奠宙，張廣祥.中學(xué)代數(shù)研究[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 史寧中，濮安山.中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的函數(shù)及其思想——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問題系列訪談錄之一[J].課程·教材·教法，2007，（27）.

[3]崔聲隆.函數(shù)與方程思想在求數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（2）.

[4]張娟.初中學(xué)生對方程思想的理解[D].華東師范大學(xué)，2007.

[5]張榮奎.高中物理教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的方法與實(shí)踐[D].山東師范大學(xué)，2014.

[6]張亞金.新課程標(biāo)準(zhǔn)下物理教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的探究[D].上海師范大學(xué)，2009.endprint