淺談解析幾何中參數(shù)取值范圍的求法

沈向前

解析幾何中確定參數(shù)的取值范圍，幾乎成了高考必考題之一，是綜合性較強(qiáng)的一類(lèi)問(wèn)題。

在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解普遍感覺(jué)困難。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，總結(jié)歸納出解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：尋找所求變量與相關(guān)變量的關(guān)系，從中建立相應(yīng)的函數(shù)方程或不等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)、方程或不等式中有關(guān)變量的取值范圍。即轉(zhuǎn)化為代數(shù)中求值域或最值問(wèn)題的求解，或建立相應(yīng)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為幾何表示，根據(jù)關(guān)系式的幾何意義求解。

本文通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，加以解釋。首先，明確解析幾何中產(chǎn)生范圍的因素主要有兩個(gè)方向面：一是當(dāng)直線與曲線相交時(shí)，消元后得到的一元二次方程的判別式大于零。二是圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)所具有的范圍。這個(gè)范圍往往隱含在已知條件中，而恰恰是這個(gè)范圍決定了所要解決的目標(biāo)的范圍問(wèn)題。下列通過(guò)實(shí)例介紹解決這兩類(lèi)問(wèn)題的方法。

一、利用消元后的一元二次方程的判別式大于零

例1：直線Y=kx+1與雙曲線。X2-y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)。另一條直線L過(guò)點(diǎn)（-2，0）和AB中點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為。

滿分解答：由方程組y=kx+1

x2-y2=1消去y

得（1-k2）x2-2kx-2=0 ①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由于直線y=kx+1與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，則方程①應(yīng)有不大于-1的不等實(shí)根。

令f（x）=（1-k2）x2-2kx-2則Δ=（-2k）2+8（1-k2）>0

2-k1-k2<-1

（1-k2）f（-1）>0且1-k2≠0

解得-2 -11

k>1或k<-1 得1 又由一元二次方程根與函數(shù)關(guān)系，知x1+x2=2k1-k2

∴AB中點(diǎn)為（k1-k2，11-k2）

∴直線L的方程為y-011-k2-0=x+2k1-k2+2

即y=x+2-2k2+k+2令x=0，得

b = 2-2k2 + k + 2 = 1-（k-14）2 + 1716

（找到目標(biāo)b與k的函數(shù)關(guān)系）

∵12

例2：已知拋物線C方程為y2=-4x，設(shè)過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線L斜率為k，且與拋物線C相交于點(diǎn)P、Q，若P、Q兩點(diǎn)只在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線交X軸于點(diǎn)M，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍為

解題思路：根據(jù)條件設(shè)出PQ的方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系確定線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，求出垂直平分線方程，從而可求范圍。

解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得PQ方程為y=k（x-1）（k≠0）與y2=-4x聯(lián)立消元得ky2+4y+4k=0，y1+y2=-4k，y1y2=4∵直線L交拋物線C于兩點(diǎn)

∴Δ=16-16k>0

y1>0

y2>0 ∴得-1 可求得線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2k2+1，-2k）

∴線段PQ的垂直平分線為y+2k=-1k（x+2k2-1）

令y=0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xm=-2k2-1<-3

（k2>1）

∴M橫坐標(biāo)取值范圍（-∞，-6）。

歸納：①由判別式確定變量K范圍

②用K表示目標(biāo)變量

二、轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)求解范圍

例3：已知F1F2是橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1·MF2=0點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)，求橢圓離心率范圍。

解：∴MF1·MF2=0∴MF1⊥MF2

∵點(diǎn)M在以O(shè)為圓心、以C為半徑的圓上∵點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，∵c 又∵a2=b2+c2∴a2>2c2∴0 例3：若點(diǎn)A（4，0）在線L與曲線（x-2）2+y2=1有公共點(diǎn)，求直線L斜率取值范圍。

解：顯然直線L斜率存在，設(shè)直線L方程為y=k（x-3）

即：kx-y-1=0∵直線L與曲線（x-2）2+y2=1有公共點(diǎn)

∴2k-0-3kk2+1≤1∴-33≤k≤33

（也可以轉(zhuǎn)化為判別式法）

例4：已知坐標(biāo)平面內(nèi)定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和動(dòng)點(diǎn)P（x，y），若AP·BP=3求MP·NP取值范圍？

滿分解答：根據(jù)AP·BP=3得（x+1，y）·（x-1，y）=3即X2+y2=4

由MP·NP=x2+y2-4x-4y=（x-2）2+（y-2）2-8

∵（x-2）2+（y-2）2表示圓x2+y2=4上的點(diǎn)到點(diǎn)（2，2）距離，

這個(gè)距離的最小值是22-2，最大值為22+2

∴MP·NP的范圍是4-82，4+82

三、點(diǎn)在曲線上確定范圍

例5：雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，則PF1=2PF2，則雙曲線離心率范圍？

解：設(shè)PF2=m，則PF1=2m，∴m=2a

又∵P在橢圓上，且PF2≥c-a，∴2a≥c-a，1 例6：已知F1F2是橢圓x24+y2b2=1（b>0）在X軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使PF1·PF2=0，求b點(diǎn)取值范圍。

解：先證結(jié)論，若B為橢圓短軸端點(diǎn)

則∠F1PF2≤∠F1BF2設(shè)∠F1PF2=θ

PF1=r1，PF2=r2

cosθ = r21 + r22 -4c22r1 r2 = 4a2-4c22r1 r2 -1

又∵r1r2≤（r1+r22）2=a2

∴cosθ≥a2+b2-4c22a2=cosF1BF2

當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)等號(hào)成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2，題中橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=90°

當(dāng)且僅當(dāng)∠F1BF2≥90°即cos∠F1B0≤22∴b≤22a∵a≤2

∴b≤22*2=2∴b∈（0，2]

另法：∵r1+r2=2ar12+r22=4c2

∴r1r2=2b2又2r1r2≤r12+r22

∴b2≤c2=4-b2即b∈（0，2]

例7：若點(diǎn)O過(guò)點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線x2a2-y2=1（a>0）中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，求OM·FM取值范圍。

思路分析：①首先，根據(jù)雙曲線中心過(guò)焦點(diǎn)求出雙曲線方程

②再將OM，F(xiàn)M用坐標(biāo)表示出來(lái)，列出OM·FM的表達(dá)式

③根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)范圍，從而求出結(jié)果

解：∵a2=（-2）2-1=3∴雙曲線方程式：x23-y2=1endprint