對(duì)極端法應(yīng)用的有關(guān)思考

王智榮

(山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山西 太原 030031)

對(duì)極端法應(yīng)用的有關(guān)思考

王智榮

(山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山西 太原 030031)

以豎直上拋運(yùn)動(dòng)的初速度和單擺周期的取值變化為研究?jī)?nèi)容，闡述了極端法在探究物理規(guī)律中的應(yīng)用和限制條件.

極端法 外推 極限情況

極端法(又稱極限法)是一種科學(xué)的思維方法.假若某物理量在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)變化的，我們可以將該物理量或它的變化過程和現(xiàn)象外推到該區(qū)域內(nèi)的極限情況或極端值，使問題的本質(zhì)迅速暴露出來(lái)，并依此作出科學(xué)分析，得到規(guī)律性的認(rèn)識(shí)或正確的判斷.但是，極端法絕非“走極端”，因?yàn)槲锢硪?guī)律的成立一般都是有限制條件的，忽視了物理內(nèi)容，只是純數(shù)學(xué)地?zé)o限外推，可能會(huì)進(jìn)入死胡同而得出錯(cuò)誤的結(jié)果，下面以例說(shuō)明.

1 初速度必須無(wú)窮大嗎

設(shè)上拋物體的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，地表的重力加速度為g，在地表豎直上拋的初速度為v0，上升至距地表h高度處時(shí)的速度為v.物體在上升過程中不考慮阻力影響，則從地表拋出到上升至距地表高度為h處，對(duì)物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.有

又因?yàn)?/p>

易得v和h的關(guān)系為

下面對(duì)上式進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)h無(wú)限大，即將物體豎直上拋至無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，有

并且v剛好減為零.代入上面等式，有

得

此即第二宇宙速度.可見要將物體豎直上拋至無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，初速度v0并非無(wú)窮大.

(2)當(dāng)h?R時(shí)，即物體從地球表面以初速度v0向上拋出，到達(dá)高度h速度減為零時(shí)，有

則有

得

此即中學(xué)物理中為了研究問題的方便，總是把物體上升過程受到的地球引力看成恒力mg，從而把豎直上拋運(yùn)動(dòng)處理成勻減速直線運(yùn)動(dòng)而得到的結(jié)果.

(3)當(dāng)h=R時(shí)，即假若上拋高度等于地球半徑R，有

則有

得

此即為第一宇宙速度，表明要把小球豎直上拋至距地表高度為地球的半徑，所需的初速度v0為第一宇宙速度.

2 單擺的周期一定無(wú)限大嗎

圖1 單擺分析圖示

因?yàn)閿[球距地表的距離相對(duì)地球半徑而言很小，可近似認(rèn)為r≈R，則有

F萬(wàn)垂直擺線方向的分力充當(dāng)回復(fù)力F回，設(shè)此時(shí)擺球偏離平衡位置的位移為x，且方向?yàn)檎?，則

F回=-mgsin(α+β)

考慮到α角很小，顯然β也很小，(α+β)亦很小，有

因此回復(fù)力

所以其周期為

下面對(duì)上式進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)l?R時(shí)，即l無(wú)限長(zhǎng)時(shí)

數(shù)值上恰好與近地環(huán)繞衛(wèi)星周期相同，等價(jià)于擺長(zhǎng)為地球半徑的單擺的周期，并非無(wú)窮大.

(2)當(dāng)l?R時(shí)

(3)當(dāng)l=R時(shí)，即假若擺長(zhǎng)和地球半徑等長(zhǎng)

3 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)則，如果我們研究的物理問題是非連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)時(shí)，一般都不能從數(shù)學(xué)式的表面現(xiàn)象出發(fā)，簡(jiǎn)單地外推到極限，否則就會(huì)走向“極端”.我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思考習(xí)慣，形成良好的物理思維.

sin(α+β)≈α+β

2017-04-19)