臺灣初中數(shù)學教材中的數(shù)學史

覃淋

【摘 要】 數(shù)學教材中運用數(shù)學史料，是HPM研究的一個重要方面，教材中運用數(shù)學史的方式分為點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式五種.運用上述分類方式，對臺灣初中數(shù)學教材中的數(shù)學史料進行考察，研究發(fā)現(xiàn)：教材中數(shù)學史料的運用以點綴式、附加式等顯性呈現(xiàn)方式為主，將數(shù)學史有機融入數(shù)學教材的隱性方式較少.最后，對臺灣初中數(shù)學教材中運用數(shù)學史料的水平進行量化處理，得到臺灣教材數(shù)學史料的運用水平為2.73，在研究的教材中，數(shù)學2運用數(shù)學史料的水平最高.

【關鍵詞】 臺灣；初中數(shù)學教材；數(shù)學史；運用水平1 引言

在數(shù)學教材中融入數(shù)學史料，是HPM研究的一個重要方面.就數(shù)學教材的編寫而言，考察任意一套教材，可以發(fā)現(xiàn)教材編寫者都力圖在教材中融入數(shù)學史料.自1972年在第二屆國際數(shù)學教育大會上成立數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）后，人們已逐漸認識到數(shù)學史在數(shù)學教育中扮演著重要的作用，數(shù)學史的教育價值受到越來越多的數(shù)學教育工作者的關注，教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式也經(jīng)歷了較大的變化.

在數(shù)學教材中運用數(shù)學史料，有較為悠久的歷史.早在20世紀初的一些數(shù)學教材中，已經(jīng)開始在數(shù)學教材中運用數(shù)學史材料，只是大多以數(shù)學故事的形式出現(xiàn)，與教學內(nèi)容關系不是特別密切.一般而言，教材中數(shù)學史料的呈現(xiàn)方式可分為顯性和隱性兩大類[11].如數(shù)學家畫像、數(shù)學家的傳記、數(shù)學概念起源的介紹、數(shù)學符號的歷史、數(shù)學家的故事、歷史數(shù)學名題等，都屬于顯性方式.顯性數(shù)學史料主要是用于引起學生的學習興趣，激發(fā)學生的學習動機.隱性方式則是根據(jù)實際教學，對數(shù)學史料進行改編、重構，剔除其中無關緊要的細枝末節(jié)，以潤物無聲的方式體現(xiàn)數(shù)學史料提供的思想和方法等，所謂的“發(fā)生教學法”就屬于隱性方式.在隱性呈現(xiàn)方式中，數(shù)學史料的表現(xiàn)并不十分明顯，很多時候隱藏于一些數(shù)學概念、數(shù)學命題或例題習題之中的，按數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的順序展現(xiàn)相關數(shù)學內(nèi)容，讓學生在無意識中經(jīng)歷數(shù)學的“再創(chuàng)造”的過程.

關于教材中數(shù)學史料運用方式的分類，到目前為止，得到大家廣泛認可的分類方式還沒有.本文采用華東師大汪曉勤教授建立的分析框架[1]，見表1.該分類框架是按數(shù)學史與數(shù)學知識的關聯(lián)程度，將教材中運用數(shù)學史料的方式分為5類：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式.很顯然，前兩種方式是獨立于教學內(nèi)容的，其是否存在對教學的影響不大，后三種則與教材正文內(nèi)容相關.若從數(shù)學材料中史料的呈現(xiàn)方式來看，前3種屬于顯性，后2種屬于隱性方式.

2 臺灣初中數(shù)學教材中的數(shù)學史

按表1所列的分類方式，我們對臺灣初中數(shù)學教材數(shù)學第1-3冊[2-7]中的數(shù)學史料進行考察.

（1）點綴式

點綴式的數(shù)學史料一般出現(xiàn)在各章的章頭，主要包括一些與教材內(nèi)容相關的數(shù)學家的肖像、與教學主題相關的圖案.和臺灣高中數(shù)學教材不同的是，初中數(shù)學教材中沒有涉及任何數(shù)學家的肖像，而主要在章頭有一些相關的數(shù)學圖案來引入相關數(shù)學主題.

《數(shù)學1（上）》“整數(shù)的運算”一章的章頭有一幅雪地里的北極熊的圖片，以此引入負數(shù)這一教學主題.在每冊教材中，每章開頭幾乎都是如此設計的，通過相關的圖案引入相關主題.下表給出了6本教材中出現(xiàn)的部分數(shù)學圖案內(nèi)容及涉及的相關教學主題.

教材中點綴式的數(shù)學史料，一般而言，是引出相關主題，或是反映數(shù)學內(nèi)容的實際用途.可以用于激發(fā)學生的學習興趣，但與教材正文內(nèi)容無直接的依存關系，其存在與否，對教學的影響并不是很大.

（2） 附加式

教材中附加式的數(shù)學史料主要出現(xiàn)在教材正文內(nèi)容的開始、例題和習題，或是教材正文后的閱讀材料.

臺灣初中數(shù)學教材中在要介紹某一主題時，會介紹相關內(nèi)容的歷史起源，或是在課后以補充材料的形式出現(xiàn).如《數(shù)學1（上）》“整數(shù)的運算”一章的閱讀材料中，“數(shù)學好好玩”欄目介紹了負數(shù)的歷史，“公元前4世紀，中國數(shù)學家已經(jīng)了解負數(shù)的概念；公元1世紀，《九章算術》中記載了正負數(shù)的概念及其運算規(guī)則；公元628年，印度人才開始使用負數(shù)；歐洲人直到16-17世紀才理解負數(shù).”同章“指數(shù)律”一節(jié)中，介紹了國際象棋發(fā)明的故事；同冊“一元一次方程式”一章中的“數(shù)學好好玩”欄目介紹了丟番圖及其著作《算術》.

下表（表3）給出了6本教材中部分附加式的數(shù)學史料例子.

由表3可以看出，附加式數(shù)學史料一般介紹有關內(nèi)容的歷史背景，或是給出相關內(nèi)容的歷史發(fā)展脈絡，或是在閱讀材料中直接提供歷史上的數(shù)學問題.

（3） 復制式

復制式數(shù)學史料主要出現(xiàn)于正文開頭或是例題、習題中.

《數(shù)學1（上）》中，“因數(shù)與倍數(shù)”一節(jié)中，介紹了古希臘數(shù)學家埃拉托尼斯（Eratosthenes，公元前276—194）的“篩法”，同時利用百以內(nèi)的整數(shù)介紹了利用“篩法”選出百以內(nèi)質(zhì)數(shù)的具體步驟.

《數(shù)學2（下）》“尺規(guī)作圖”一節(jié)中，直接利用了《幾何原本》中的許多作圖問題.如，作一線段使其等于已知線段（例1），作一角使其等于已知角（例3），作已知角的角平分線（例6），過線上一點作已知直線的垂線（例7），過直線上一點作已知直線的垂線（例8）.這些問題都是《幾何原本》中的命題[8]，其中例1是《幾何原本》中的命題2：由一個所給定點作一線段等于已知線段.例6是《幾何原本》中的命題9，例7是命題11：由給定的直線上一已知點作一直線使其與已知直線成直角；例8是命題12.

（4） 順應式

順應式數(shù)學史料主要出現(xiàn)在教材正文介紹相關方法的內(nèi)容、例題和習題中.

《數(shù)學1（上）》“一元一次方程”一章中，有如下的問題：“已知父女年齡相差32歲，某日父親心算二人的年齡關系后，跟女兒說：目前我的年齡恰好是你的年齡的4倍.請問父女二人現(xiàn)在各多少歲？”這一問題改編自德·摩根《數(shù)學學習與困難》（1831）中的一個例子：“父親56歲，兒子29歲，請問什么時候父親年齡是兒子的2倍？”

《數(shù)學1（下）》“二元一次方程組”一章中有一個例題：“已知小圖和小龜相距300米.若它們各以固定速率同時相向而行，則10分鐘后相遇；若同時向右而行，則15分鐘后相遇.那么它們的速度各為多少？”這是一道相遇和追及問題，改編自意大利印刷最早的算術課本《Treviso Arithmetic》（1478）中的問題：“羅馬主教派一名信使到威尼斯，令其7天到達.威尼斯教會也派一名信使到羅馬，令其9天到達，兩地相距250英里.若兩個信使同時出發(fā)，問他們幾天后相遇，各走了多少英里？”[9]此外，其它一些數(shù)學著作中也有類似的問題，如巴克沙利手稿里有一追及問題：甲一日可行5里，當他走了7天后，乙以每日9里的速度追趕，問多少天后乙可以追上甲？

同節(jié)“自我測評”中有一習題：“小丑魚尼莫第一天上學，在學校認識了很多好朋友.回家后它告訴爸爸：我們班上的章魚同學和海龜同學共有11只，它們共有68只腳.你能算出班上章魚和海龜各有幾只嗎？”很顯然此題是改編自著名的“雞兔同籠”問題：今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞、兔各幾何？

《數(shù)學2（上）》“乘法公式與多項式”一章中，在介紹和的平方公式、差的平方公式、平方差公式時，都利用了幾何圖形來“證明”的方法.以和的平方公式為例，教材中利用一個邊長為101 cm的大正方形，將其分解為：一個小正方形（邊長為1 cm）、2個長方形（長為100 cm，寬為1 cm）、一個邊長為100 cm的次大正方形.那么由圖可以得出：大正方形的面積=次大正方形面積+2個長方形的面積+小正方形面積，此即1012=（100+1）2=1002+2×100×1+12.在此基礎上，推廣到一般的情況（a+b），也可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

從“符號代數(shù)”的歷史發(fā)展來看，其發(fā)展順序大致經(jīng)歷了“言辭代數(shù)——縮略代數(shù)——符號代數(shù)”三個階段，最遠可以追溯到古巴比倫，巴比倫人利用這類方法去解二次方程.歐幾里得在其著作《幾何原本》中也利用“幾何代數(shù)”的方法證明了許多代數(shù)學的公式，而后伊斯蘭數(shù)學家也使用了同樣的方法來解一元二次方程.

同冊“平方根與畢氏定理”一章中，有一個例題，“某天下午突然發(fā)生了劇烈的地震，一根長1.3米的橫梁從天花板上掉了下來，正好靠在墻上.（1）此時墻角和橫梁的尾端距離為0.5米，則橫梁頂端距離墻角多少米？（2）再經(jīng)過一次余震后，橫梁下滑頂住了樓梯，則橫梁尾端滑動了多少米？”例題后還有一個類似的練習.此題改編自古巴比倫泥版BM85196中的一個問題：“長30尺的梯子靠墻直立，當頂端下移6尺時，底端距墻多少尺？”[10]

同章還利用畢達哥拉斯螺線設置了例題和習題，習題如下：“如圖1，在數(shù)軸上O為原點，A點坐標為1.在直角三角形OAB、OBC、OCD、ODE中，AB=BC=CD=DE=1.則（1）OE=？（2）利用圓規(guī)，在圖1中找到E′點圖1使E′的坐標為-5.”此外，在《數(shù)學2（下）》中還利用此設置了一道習題，只是角的度數(shù)變了，由原來的等腰直角三角形變成了角度為30°、60°的直角三角形.

《數(shù)學3（上）》“相似三角形的應用”一節(jié)中有一個測量大樹高度的例題，此題改編自古希臘數(shù)學家希帕蒂亞測量金字塔高度的問題.同節(jié)還有一個測量河寬的問題，是改編自泰勒斯測量海船距離的問題.

（5） 重構式

重構式數(shù)學史料一般出現(xiàn)于某個概念或方法的引入中，或是隱含于某個主題的整個脈絡之中.這種運用數(shù)學史料的方式，突破了“為歷史而歷史”的淺層次使用，是融歷史于無形，在無形之中向?qū)W生滲透了數(shù)學史料體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法.但是，這種處理數(shù)學史料的方式，對教材編寫者和教師都有較高的要求.因此，教材中的重構式數(shù)學史料比較少.

從以上的分析可以看出，臺灣初中數(shù)學教材中涉及的數(shù)學史內(nèi)容僅有55處，平均每本教材不到10處，以“順應式”、“附加式”、“點綴式”為主.從具體史料內(nèi)容來看，選材較為偏向我國古代的數(shù)學史，內(nèi)容比較單一，數(shù)學史料的介紹也比較簡潔，一般是幾句話帶過.在內(nèi)容上淺嘗輒止，很難恢復數(shù)學歷史的原貌和展現(xiàn)數(shù)學思維發(fā)生、發(fā)展的過程，使用不當甚至會造成學生對數(shù)學發(fā)展過程的片面理解.整體來說，教材中數(shù)學史料內(nèi)容比較貧乏.

此外，在數(shù)學教材中融入數(shù)學史料的水平上，也是較低層次的，大都以顯性的方式呈現(xiàn)數(shù)學史素材.由表4可以知道，以顯性方式呈現(xiàn)數(shù)學史料占60%，真正與數(shù)學內(nèi)容有機結合、融歷史于無形的重構式數(shù)學史料比較少，僅有7.3%.再加上很多數(shù)學教師本身數(shù)學史素養(yǎng)不高，又缺乏專家層面上的指導，使得數(shù)學史的教育價值浮于表面.這樣可能導致教師在課堂教學中對數(shù)學史料的處理上走向兩個極端：一是直接忽略不管，二是本末倒置，將數(shù)學史的融入搞成了單純的數(shù)學史教學.

最后，我們統(tǒng)計6本教材中的數(shù)學史料的數(shù)量，分別為：10、8、12、16、6、3.可以看出，數(shù)學史料在教材中的分布是很不均衡的，最少與最多者相差達到5倍多.從教材中數(shù)學史料的運用方式看，其分布也不均衡.

總之，雖然教材中編入了一些數(shù)學史，可以為學生提供進一步學習和教師在教學中使用.但從教材中數(shù)學史料融入的總體情況來看，大都是宏觀上的簡述，對數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展則一筆略過，著墨非常少.從HPM研究的目的來看，這只是數(shù)學史料淺層次的運用.同時，教材中這樣運用數(shù)學史料的方式也會在一定程度上影響教師在教學中對數(shù)學史料的使用，導致在教學實踐中，數(shù)學史“高評價，低應用”的現(xiàn)象普遍存在.

參考文獻

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