淺談一元二次方程的應(yīng)用

張曉燕

[摘 要]一元二次方程在初中教學(xué)內(nèi)容中，站著舉足輕重的地位，學(xué)好一元二次方程，是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的捷徑，也是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程。因此，本文將從函數(shù)入手，著重探討一下一元二次方程的概念、形式、解法以及應(yīng)用，以求對于一元二次方程有個(gè)深入的解析。

[關(guān)鍵詞]一元二次方程；應(yīng)用

一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法。學(xué)好一元二次方程，是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的捷徑，也是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程。應(yīng)該說，一元二次方程是初中教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。

一、一元二次方程的概念

等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.

二、一元二次方程的一般式

（其中a， b， c為常數(shù)，且a≠0），則稱y為x的二次函數(shù).頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.

經(jīng)過適當(dāng)變形，繼而我們可以得到：

1.頂點(diǎn)式：（）.

2.交點(diǎn)式（x軸）：.

3.兩根式：，其中x1， x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程的兩個(gè)根.

注意：

（1）任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，h=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h，k=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

（2）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對應(yīng)二次方程有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式， 二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式.

三、一元二次方程的解法

一元二次方程的求解和應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，方程思想也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程為基礎(chǔ)，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次變?yōu)閮蓚€(gè)一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式為，特點(diǎn)是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再進(jìn)行判斷.一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我們將舉例分析這四種方法的運(yùn)用：

例1 用直接開方法解下面的一元二次方程.

直接兩邊開方，得：或.

由得x1=3，由得x2=，

∴原方程的解為：x1=3，x2=.

說明：用直接開方法解一元二次方程，一般不用把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再兩邊同時(shí)開方的時(shí)候應(yīng)注意方程只需在一邊取正負(fù)號，還應(yīng)注意不要丟解.

四、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

一元二次方程根的判別式，是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，中考必考知識點(diǎn)，它是解答數(shù)學(xué)問題的重要工具和方法，應(yīng)用十分廣泛，不僅用于方程的解和根的差別，而且作為一種解題方法，在代數(shù)、方程（組）、不等式、函數(shù)、幾何等都有非常廣泛的應(yīng)用 .

1.判別拋物線與x軸的交點(diǎn). 若Δ>0，則該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；若Δ=0，則該拋物線與x有一個(gè)交點(diǎn)；若Δ<0，則該拋物線與x軸無交點(diǎn).

2.判別拋物線與直線的位置. 將兩式組成方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程. 當(dāng)Δ>0時(shí)，拋物線與直線相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，拋物線與直線相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，拋物線與直線相離.

只要我們潛心研究，還可發(fā)現(xiàn)一元二次方程判別式在更多領(lǐng)域的應(yīng)用. 在教學(xué)中，教師只要對學(xué)生認(rèn)真引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)精神，學(xué)生就會掌握更多解決數(shù)學(xué)問題的方法，感受學(xué)習(xí)成果的愉悅，提高數(shù)學(xué)興起，也為學(xué)生終身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)打下良好基礎(chǔ).

一元二次方程作為最基本的初等函數(shù)，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延?？梢砸运鼮樗夭膩硌芯亢瘮?shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間的關(guān)系。這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容，與近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ)。