一類二階變系數(shù)線性微分方程的新解法

張道祥+李亭亭

摘 要：二階線性微分方程在常微分方程理論中占有重要地位.求解常系數(shù)線性微分方程的方法有特征根法、比較系數(shù)法、拉普拉斯變換法等，但二階變系數(shù)線性微分方程卻沒有一般的方法進(jìn)行求解。該文通過(guò)使用變量代換將一般的二階變系數(shù)齊次線性微分方程化為方程來(lái)進(jìn)行求解，給出了其具有通解的一個(gè)充分條件。同時(shí)，舉例說(shuō)明了該方法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二階變系數(shù)線性微分方程 通解 方程

中圖分類號(hào)：O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）07（b）-0207-02

Abstract： The second order linear differential equation plays an important role in the theory of ordinary differential equations. There have several methods on solving second order linear differential equation with constant coefficients， such as eigenvalue method， comparative coefficient method， Laplace transform method. While it has no normal method to solve second order linear differential equation with variable coefficients. By using the variable substitution method， the general solutions of second-order linear differential equations with variable coefficients are obtained. Moreover， two examples are given to illustrate the results.

Key Words： Second-order linear differential equation with variable coefficients； General solution； Riccati Equation

求解常系數(shù)線性微分方程的方法有特征根法、比較系數(shù)法、拉普拉斯變換法等，但是到目前為止，二階變系數(shù)線性微分方程仍然沒有一般的求解方法.因此二階變系數(shù)線性微分方程求解問題受到了眾多學(xué)者關(guān)注[1-6]。該文將利用變量代換將一般的二階變系數(shù)齊次線性微分方程變換成方程，并給出了二階變系數(shù)線性微分方程的一種解法，建立了相應(yīng)的通解公式。

3 結(jié)語(yǔ)

眾所周知，求二階變系數(shù)線性微分方程的解， 至今為止沒有一種統(tǒng)一的方法。該文利用變量代換方法推導(dǎo)二階變系數(shù)線性微分方程的特殊解法。從方程的自身特點(diǎn)出發(fā)， 當(dāng)二階變系數(shù)方程的系數(shù)滿足一定條件時(shí)，我們可以把一個(gè)二階變系數(shù)線性微分方程的求解問題轉(zhuǎn)嫁為求一個(gè)可求解的Ricatti方程的求解問題，從而獲得二階變系數(shù)線性微分方程的通解。

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