Fitting長(zhǎng)等于3的小群

唐 鋒

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

Fitting長(zhǎng)等于3的小群

唐 鋒

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

設(shè)G是階不超過(guò)50的有限群，且G的Fitting長(zhǎng)等于3. 本文給出了G的所有分類.

有限群；Fitting長(zhǎng)；可解群；群階

1 引言

本文中G總表示一個(gè)有限群，p，q，r表示不同的素?cái)?shù). 對(duì)有限群的研究離不開(kāi)群例的支撐，群例使得對(duì)群性質(zhì)有具體理解，又可避免在研究某一群性質(zhì)時(shí)，這樣的群是不存在的，即出現(xiàn)所謂“空中樓閣”.因此，構(gòu)造或找出滿足特定性質(zhì)的有限群是必要的. 進(jìn)一步，對(duì)具體的群例研究，可以發(fā)現(xiàn)新的群性質(zhì)并深入研究.

設(shè)G是群，F(xiàn)( G)為G的Fitting子群，F(xiàn)1( G)=F( G)，F(xiàn)2( G)F1( G)=F( G F1( G)). 一般地，F(xiàn)k+1(G)Fk( G)= F( G Fk( G))，k=1，2，L. 于是得G的一個(gè)特征子群列1≤F1( G)=F( G)≤F2( G)≤L≤Fk( G)≤L. 因?yàn)镚是有限群，所以該特征子群列只能有有限項(xiàng). 若G不可解，則一定存在正整數(shù)k，使得Fk( G)=Fk+1(G)

本文中的符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的，參見(jiàn)文獻(xiàn)［5］.

2 主要引理

引理1（文獻(xiàn)［6］定理1.31） 設(shè)群G的階為p2q，則G的Sylow子群至少有一個(gè)是正規(guī)子群.

引理2（Burnside） paqb階群必可解.

引理3（文獻(xiàn)［6］定理5.16） 設(shè)群G的所有Sylow子群皆循環(huán)，則G′和G G′都是循環(huán)群且階互素.

引理4 設(shè)群G的階為p2q2，則G的Sylow子群至少有一個(gè)是正規(guī)子群.

證明 設(shè)P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G). 不妨p

因?yàn)镻不正規(guī)，所以n2( G)>1，故n2( G)=3或9.

假設(shè)n2( G)=3. 令K=NG(P)，則從而GcoreG(K)同構(gòu)于S3的一個(gè)子群. 特別地，

假設(shè)n2( G)=9. 此時(shí)NG(P)=P，O2( G)1. 而Q不正規(guī)，于是我們得到G O3( G)是22?3=12階群，且Q O3( G)是G O3( G)的Sylow 3-子群，非正規(guī). 由引理1得，，于是PO3( G). 由Frattini論斷知，G=PO3( G) NG(P)=PO3( G)，矛盾.

引理5 設(shè)G是24階群，且G的所有Sylow子群皆不正規(guī)，則G?S4.

證明 設(shè)P∈Syl2(G)，Q∈Syl3(G). 由條件得n3( G)=4，所以令K=NG(Q)，則GcoreG(K)同構(gòu)于S4的一個(gè)子群.

假設(shè)coreG(K)>1. 因?yàn)閏oreG(K)≤K，所以

綜上，coreG(K)=1，故G?S4.

引理6（文獻(xiàn)［7］定理2.6.3） 設(shè)群G的階為16，則G有以下14類.

G交換，型不變量分別為(16)，(8,2)，(4,4)，(4,2,2)，(2，2，2，2)，標(biāo)號(hào)記為（1）—（5）.

G非交換

（6）G=a, b| a8=b2=1,ab=a3=SD16；

（7）G=a, b| a8=b2=1,ba=b5；

（8）G= D16；

（9）G= Q16；

（10）G=a, b, c| a4=b2=c2=[a, b]=[a, c]=1,[b, c]=a2；

（11）G=D8×Z2；

（12）G=Q8×Z2；

（13）G=a, b, c| a4=b2=c2=[a, b]=[b, c]=1,[a, c]=b；

（14）G是Z4與Z4的半直積.

證明 若G交換，則G為引理的(1)—(5). 下面討論G非交換. 顯然G中不能有16階元，且也不能全是2階元. 我們分兩種情況討論.

情形1 G中有8階元a.

任取b∈G，b?a. 因?yàn)閍是G的極大正規(guī)子群，所以b2∈a. 令b2=as，ab=at，其中0≤s≤7, 1

若t=3，則3s≡s(mod8)，即s≡0(mod4). 所以s=0或4. 當(dāng)s=0時(shí)，即對(duì)應(yīng)于引理的(6)成立. 當(dāng)s=4時(shí)，有b2=a4. 取b1=ba，則b12=baba=b2b?1aba=a8=1，即b1是2階元，且b1?a，ab1=ab=a3. 同樣得到(6)成立.

若t=5，則5s≡s(mod8)，即s≡0(mod2)，s是偶數(shù). 令s=2u，取b1=bau. 則b2b?1aubau=a2ua5uau=1，即b1是2階元，且b1?a，ab1=ab=a5. 得到引理的(7)成立（取b1的思想如下：因?yàn)镚=a, b，a是G的指數(shù)為2的正規(guī)子群，所以不屬于a的元素必有bai形式. 則(bai)2=baibai=b2b?1aibai=a2ua5iai=a2(u+3i). 取i=u，即有b1=bau是2階元）.

若t=7，則s≡?s(mod8)，即s≡0(mod4). 所以s=0或4. 若s=0，則b2=1，ab=a?1，即引理的(8)成立. 若s=4，則b2=a4，ab=a?1，即引理的(9)成立.

情形2 G中沒(méi)有8階元.

假設(shè)Z( G)=Z2×Z2. 因?yàn)镚′

顯然，引理的14種群是不同構(gòu)的，引理證畢.

引理6是熟知的結(jié)果，但文獻(xiàn)［7］的證明用到了極大類2-群的相關(guān)理論，我們的證明都是基本初等理論.

3 主要結(jié)論

不超過(guò)50的整數(shù)分解有pa，paqb和pqr 3種類型. 由引理2和引理3知，階為這3種類型的群都可解.我們的主要結(jié)論如下.

定理 設(shè)G是階不超過(guò)50的有限群，且l( G)>2. 則l( G)=3且G=24或48，G為以下幾類.

證明 因?yàn)閘( G)>2，所以G不是p-群. 由引理3得，pqr階群的Fitting長(zhǎng)小于3. 所以G是paqb階群. 由引理1和引理4得，p2q和p2q2階群的Fitting長(zhǎng)為1或2. 所以=24或48. 設(shè)P∈Syl2(G)，Q∈Syl3(G). 因?yàn)閘( G)>2，所以P和Q都不是G的正規(guī)子群. 于是F1( G)=O2( G)>1，F(xiàn)2( G)=O2( G) Q .因?yàn)镚 F2( G)=PQ O2( G) Q 是2-群，所以F3( G)=PQ=G. 于是l( G)=3.

令H：=O2( G)，則=8，且HQ是G的指數(shù)為2的正規(guī)子群. 顯然Q不正規(guī)于HQ. 由24階群的分類知，HQ只有兩種情況，即HQ=Z2×A4，或HQ為Z3與正規(guī)子群Q8的半直積，即HQ=SL(2,3). 對(duì)于HQ的兩種情況，均有Z( HQ)=Z2，所以Z( HQ)≤Z( G).

情形1 HQ=Z2×A4.

此時(shí)P非交換，有極大子群Z2×Z2×Z2，且有正規(guī)2階子群Z( HQ)使得P/ Z( HQ)?D8. 由引理6知，P=D8×Z2或P為非亞循環(huán)的內(nèi)交換群，即即引理6的（13）.

假設(shè)P=D8×Z2. 此時(shí)G有2階中心直因子Z( HQ)，且G Z( HQ)?S4，所以G=Z2×(D8Z3)=Z2×S4，即定理的（2.1）成立.

4從而成群，于是成群. 而是2-冪零的，所以a是Q的2階自同構(gòu)，于是，于是xa=x?1. 顯然所以a可看作是b×c的2階自同構(gòu)，的3階自同構(gòu). 構(gòu)造如下：

情形2 HQ為Z3與正規(guī)子群Q8的半直積，即HQ=SL(2,3).

此時(shí)HQ的Sylow 2-子群Q8在G中正規(guī)，且有2階正規(guī)子群Z( HQ)=Z( Q8)使得P Z( Q8)?D8.由引理6知，含有子群Q8的16階群為Q8×Z2，Q8?Z4，SD16，Q16. 但Q8×Z2的8階商群同構(gòu)于Q8或Z2×Z2×Z2,Q8?Z4的8階商群同構(gòu)于Z2×Z2×Z2，所以P只可能是SD16或Q16.

事實(shí)上，（2.1）—（2.4）這4種群的Fitting列形式上都是

它們的Fitting長(zhǎng)都是3.

顯然，（2.1）—（2.4）這4種群不同構(gòu)，定理證畢.

［1］THOMAS M. The Fitting length of solvable HPπ-group［sJ］. Israel J math， 1985， 51（1-2）： 68-78.

［2］RECAN G， Gülo?lui?. On the Fitting length of generalized Hughes subgroups［ J］. Arch Math， 1990， 55：5-9.

［3］ SILVANA F， FRANCESCODE G， HERMANN H， et al. On the Fitting length of a soluble product of nilpotent groups［ J］. Arch Math， 1991， 57： 313-318.

［4］ GIORGIO B， ENRICO J. The Fitting length of finite soluble groups I Hall subgroups［ J］. Arch Math， 2016， 106（5）： 409-416.［5］徐明曜. 有限群初步［M］. 北京： 科學(xué)出版社，2014：198-203.

［6］ISAACS I M. Finite Group Theor［yM］. New York： Academic Press， 2008： 160-161.

［7］徐明曜，曲海鵬. 有限P-群［M］. 北京：北京大學(xué)出版社，2010：69-82.

Abstract:Let be a finite group of order no more than 50 with Fitting length equal to 3. In this paper, is classified by isomorphism class.

Key words:finite group; Fitting height; solvable group; order of group

Small Groups with Fitting Length Equal to 3

TANG Feng
(School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Changshu 215500, China)

O152.1

A

1008-2794（2017）04-00108-08

2016-10-19

國(guó)家自然科學(xué)基金“M-特征標(biāo)及相關(guān)問(wèn)題”（11471054）；江蘇省自然科學(xué)基金“線性群的大軌道長(zhǎng)度”（BK20161265）

唐鋒，副教授，碩士，研究方向：有限群論，E-mail： tangfeng@cslg.edu.cn.