回歸本源是基礎(chǔ) 選準(zhǔn)形式顯奇效

陜西 李 歆

(作者單位：陜西省武功縣教育局教研室)

回歸本源是基礎(chǔ) 選準(zhǔn)形式顯奇效

一、試題呈現(xiàn)

【例1】(2014·新課標(biāo)Ⅱ理·17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

二、試題解析

如果這種“代入法”，在短時間內(nèi)無法消去分子和分母中的相同因式，怎么辦？還有其他方法嗎？我們不妨回歸課本，聯(lián)系到數(shù)列中的一些概念、公式、定理等，在形成與生成的過程中都滲透了觀察、歸納、猜想、證明等基本的解題思想和方法，因此，在解決數(shù)列問題時，應(yīng)當(dāng)考慮最原始的方法即“歸納猜想法”.

由已知得

即知①式也成立.

綜合(1)(2)知,對一切n∈N+都有①式成立.

【點評】以上兩種方法，不論是定義法，還是歸納猜想法，都比較貼近學(xué)生的思維實際，都是學(xué)生在解題時最先容易想到的方法.雖然后者沒有前者那么簡單，但對第(Ⅱ)問的求解卻起到了潛移默化的作用.

2.求{an}的通項公式

根據(jù)已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，一般會想到“待定系數(shù)法”.即：

3.1用通項公式②證明不等式③遇到的困境

3.2數(shù)列{an}的通項公式的另一種表示

【證明】由已知得

a1=1,

a2=3a1+1=3+1,

a3=3a2+1=32+3+1,

……

猜想:an=3n-1+3n-2+…+32+3+1.④

(1)當(dāng)n=1時,a1=1,可知④式成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,④式成立,即有ak=3k-1+3k-2+…+32+3+1,那么當(dāng)n=k+1時,得

ak+1=3ak+1=3(3k-1+3k-2+…+3+1)+1=3k+3k-1+…+3+1,

即知④式也成立.

綜合(1)(2)知,對一切n∈N+，④式都成立.

【點評】如果將前3項寫成:a1=1,a2=4,a3=13,那么就發(fā)現(xiàn)不了各項之間的規(guī)律,使歸納猜想法陷入困境.此解正是注意到了這塊危險境地,巧妙地避險排難,采取將前3項中的各個加法項擱置起來,使各項之間的規(guī)律性得以充分彰顯,從而讓④式順利浮出水面,同時也為證明第(Ⅱ)問打通了思路.

3.3不等式③的幾種證明及加強

公式④是數(shù)列{an}的通項公式的另一種表示形式,雖然在結(jié)構(gòu)上比②式要復(fù)雜一些，但用公式④證明不等式③如“水到渠成”,暢通無阻，因此，從某個意義上來說，形式?jīng)Q定思路.

當(dāng)n≥2時,由④式得

綜上可知,不等式③成立.

當(dāng)n≥3時,由④式得

綜上可知,不等式③成立.

當(dāng)n≥4時,由④式得

綜上可知,不等式③成立.

很顯然,按照上述模式繼續(xù)下去,還可以得到證法4、證法5等等.

根據(jù)上述證法2和證法3，可以得到不等式③的如下兩個加強.

【加強1】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1,則有

【加強2】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1,則有

【點評】利用通項公式④之后,使放縮的內(nèi)容發(fā)生了質(zhì)的變化,從而使不等式③的證明實現(xiàn)了根本性的突破.這樣的證明不僅思路自然,別具一格,而且在放縮過程中沒有任何的技巧性,容易被多數(shù)學(xué)生所接受.將②式和④式的結(jié)構(gòu)加以比較,以及它們在不等式③的證明中所起到的作用加以分析,就會得到這樣的結(jié)論:在數(shù)學(xué)解題中,追求某種最佳結(jié)果固然重要,但有時將某種過程暫時停留,往往卻能獲得異樣的精彩.

三、試題推廣

對以上探究進(jìn)一步分析,可以將上述高考試題做如下推廣.

已知數(shù)列{an}滿足a1=q,an+1=pan+q,其中p,q為常數(shù),且p>1,q>0.

(作者單位：陜西省武功縣教育局教研室)